Krener's theorem

Krener's theorem In mathematics, Krener's theorem is a result attributed to Arthur J. Krener in geometric control theory about the topological properties of attainable sets of finite-dimensional control systems. It states that any attainable set of a bracket-generating system has nonempty interior or, equivalentemente, that any attainable set has nonempty interior in the topology of the corresponding orbit. Heuristically, Krener's theorem prohibits attainable sets from being hairy.

Theorem Let {estilo de exibição { }{ponto {q}}=f(q,você)} be a smooth control system, Onde {estilo de exibição { q}} belongs to a finite-dimensional manifold {estilo de exibição M} e {estilo de exibição você} belongs to a control set {estilo de exibição U} . Consider the family of vector fields {estilo de exibição {matemática {F}}={f(cdot ,você)mid uin U}} .

Deixar {matemática de estilo de exibição {Lie} ,{matemática {F}}} be the Lie algebra generated by {estilo de exibição {matemática {F}}} with respect to the Lie bracket of vector fields. Given {displaystyle qin M} , if the vector space {matemática de estilo de exibição {Lie} _{q},{matemática {F}}={g(q)mid gin mathrm {Lie} ,{matemática {F}}}} é igual a {estilo de exibição T_{q}M} , então {estilo de exibição q} belongs to the closure of the interior of the attainable set from {estilo de exibição q} .

Remarks and consequences Even if {matemática de estilo de exibição {Lie} _{q},{matemática {F}}} is different from {estilo de exibição T_{q}M} , the attainable set from {estilo de exibição q} has nonempty interior in the orbit topology, as it follows from Krener's theorem applied to the control system restricted to the orbit through {estilo de exibição q} .

When all the vector fields in {estilo de exibição {matemática {F}}} are analytic, {matemática de estilo de exibição {Lie} _{q},{matemática {F}}=T_{q}M} se e apenas se {estilo de exibição q} belongs to the closure of the interior of the attainable set from {estilo de exibição q} . This is a consequence of Krener's theorem and of the orbit theorem.

As a corollary of Krener's theorem one can prove that if the system is bracket-generating and if the attainable set from {displaystyle qin M} is dense in {estilo de exibição M} , then the attainable set from {estilo de exibição q} is actually equal to {estilo de exibição M} .

References Agrachev, Andrei A.; Sachkov, Yuri L. (2004). Control theory from the geometric viewpoint. Springer-Verlag. pp. xiv+412. ISBN 3-540-21019-9. Jurdjevic, Velimir (1997). Geometric control theory. Cambridge University Press. pp. xviii+492. ISBN 0-521-49502-4.[permanent dead link] Sussmann, Héctor J.; Jurdjevic, Velimir (1972). "Controllability of nonlinear systems". J. Differential Equations. 12 (1): 95-116. doi:10.1016/0022-0396(72)90007-1. Krener, Arthur J. (1974). "A generalization of Chow's theorem and the bang-bang theorem to non-linear control problems". SIAM J. Control Optim. 12: 43-52. doi:10.1137/0312005. Categorias: Control theoryTheorems in dynamical systems