Théorème de Kochen-Specker

Théorème de cuisine-Specker En mécanique quantique, le cuisiniste (KS) théorème,[1] également connu sous le nom de théorème de Bell – Kochen – Specker,[2] est un "Ne pas aller" théorème[3] prouvé par John S. Cloche dans 1966 et par Simon B. Cuisine et Ernst Specker dans 1967. Il impose certaines contraintes sur les types autorisés de théories des variables cachées, qui tentent d'expliquer les prédictions de la mécanique quantique de manière indépendante du contexte. La version du théorème prouvée par Kochen et Specker a également donné un exemple explicite de cette contrainte en termes d'un nombre fini de vecteurs d'état.

Le théorème est un complément au théorème de Bell (à distinguer de la (Cloche-)Théorème de Kochen-Specker de cet article). Alors que le théorème de Bell établissait que la non-localité était une caractéristique de toute théorie des variables cachées qui récupère les prédictions de la mécanique quantique, le théorème KS a établi la contextualité comme une caractéristique inévitable de ces théories.

Le théorème prouve qu'il existe une contradiction entre deux hypothèses de base des théories des variables cachées destinées à reproduire les résultats de la mécanique quantique: que toutes les variables cachées correspondant aux observables de la mécanique quantique ont des valeurs définies à un moment donné, et que les valeurs de ces variables sont intrinsèques et indépendantes de l'appareil utilisé pour les mesurer. La contradiction est causée par le fait que les observables de la mécanique quantique n'ont pas besoin d'être commutatives. Il s'avère impossible de plonger simultanément toutes les sous-algèbres commutantes de l'algèbre de ces observables dans une algèbre commutative, supposé représenter la structure classique de la théorie des variables cachées, si la dimension de l'espace de Hilbert est d'au moins trois.

Le théorème de Kochen-Specker exclut les théories des variables cachées qui supposent que les éléments de la réalité physique peuvent tous être représentés simultanément de manière cohérente par le formalisme de l'espace mécanique quantique de Hilbert sans tenir compte du contexte d'un cadre particulier (techniquement une décomposition projective de l'opérateur d'identité) lié à l'expérience ou au point de vue analytique considéré. Comme le résume succinctement Isham et Butterfield,[4] (sous l'hypothèse d'un espace d'échantillon probabiliste universel comme dans les théories des variables cachées non contextuelles) le théorème de Kochen-Specker "affirme l'impossibilité d'attribuer des valeurs à toutes les grandeurs physiques alors que, à la fois, en préservant les relations fonctionnelles entre eux".

Contenu 1 Histoire 2 Aperçu 3 Remarques 3.1 Contextualité 3.2 Différents niveaux de description 4 Voir également 5 Références 6 Liens externes Histoire Le théorème KS est une étape importante dans le débat sur la (dans)complétude de la mécanique quantique, boosté en 1935 par la critique de l'hypothèse de complétude de Copenhague dans l'article d'Einstein, Podolski et Rosen, créant le soi-disant paradoxe EPR. Ce paradoxe découle de l'hypothèse selon laquelle un résultat de mesure de mécanique quantique est généré de manière déterministe en conséquence de l'existence d'un élément de réalité physique supposé être présent avant la mesure en tant que propriété de l'objet microscopique.. Dans l'article de l'EPR, il était supposé que la valeur mesurée d'un observable de mécanique quantique pouvait jouer le rôle d'un tel élément de la réalité physique. En conséquence de cette supposition métaphysique, la critique de l'EPR n'a pas été prise très au sérieux par la majorité de la communauté des physiciens. En outre, dans sa réponse[5] Bohr avait pointé une ambiguïté dans l'article de l'EPR, à l'effet qu'il suppose que vous pouvez supposer que rien n'aurait changé dans les résultats distants des mesures en changeant la base de mesure locale, même si tout le contexte universel était différent. La prise en compte de la contextualité issue du dispositif de mesure serait, selon Bohr, rendre invalide le raisonnement EPR. Il a ensuite été observé par Einstein[6] que la dépendance de Bohr à la contextualité implique la non-localité ("action effrayante à distance"), et cela, en conséquence, il faudrait accepter l'incomplétude si l'on voulait éviter la non-localité.

Dans les années 1950 et 1960, deux voies de développement étaient ouvertes pour ceux qui n'étaient pas opposés à la métaphysique, les deux lignes s'améliorent sur un "Ne pas aller" théorème présenté par von Neumann,[7] prétendant prouver l'impossibilité des théories des variables cachées donnant les mêmes résultats que la mécanique quantique. Première, Bohm a développé une interprétation de la mécanique quantique, généralement acceptée comme une théorie des variables cachées sous-tendant la mécanique quantique. La non-localité de la théorie de Bohm a incité Bell à supposer que la réalité quantique est non locale, et que probablement seules les théories locales des variables cachées sont en désaccord avec la mécanique quantique. Plus important, Bell a réussi à élever le problème du niveau de la métaphysique à la physique en dérivant une inégalité, l'inégalité de Bell, qui est susceptible d'être testé expérimentalement.

Une deuxième ligne est celle de Kochen-Specker. La différence essentielle avec l'approche de Bell est que la possibilité de sous-tendre la mécanique quantique par une théorie des variables cachées est traitée indépendamment de toute référence à la localité ou à la non-localité., mais à la place une restriction plus forte que la localité est faite, à savoir que les variables cachées sont exclusivement associées au système quantique mesuré; aucun n'est associé à l'appareil de mesure. C'est ce qu'on appelle l'hypothèse de non-contextualité. La contextualité est ici liée à l'incompatibilité des observables de la mécanique quantique, l'incompatibilité étant associée à l'exclusivité mutuelle des dispositions de mesure. Le théorème de Kochen-Specker stipule qu'aucun modèle à variable cachée non contextuel ne peut reproduire les prédictions de la théorie quantique lorsque la dimension de l'espace de Hilbert est de trois ou plus.

Bell a publié une preuve du théorème de Kochen-Specker dans 1966, dans un article qui avait été soumis à une revue avant son célèbre article sur l'inégalité de Bell, mais a été perdu sur le bureau d'un éditeur pendant deux ans. Des preuves considérablement plus simples que celle de Kochen-Specker ont été données plus tard, entre autres, par Mermin[8][9] et par Peres.[10] Cependant, de nombreuses preuves plus simples établissent seulement le théorème pour les espaces de Hilbert de dimension supérieure, par exemple., de la dimension quatre.

Le premier test expérimental de contextualité a été réalisé en 2000,[11] et une version sans détection, des failles de netteté et de compatibilité ont été atteintes dans 2022.[12] Le théorème KS explore s'il est possible d'intégrer l'ensemble d'observables de la mécanique quantique dans un ensemble de quantités classiques, malgré le fait que toutes les grandeurs classiques sont mutuellement compatibles. Le premier constat fait dans l'article de Kochen-Specker est que cela est possible de manière triviale, à savoir, en ignorant la structure algébrique de l'ensemble des observables de la mécanique quantique. En effet, laissez pA(et) soit la probabilité que l'observable A ait la valeur ak, alors le produit ΠApA(et), pris en charge toutes les observables possibles A, est une distribution de probabilité conjointe valide, donnant toutes les probabilités des observables de la mécanique quantique en prenant des marginales. Kochen et Specker notent que cette distribution de probabilité conjointe n'est pas acceptable, toutefois, puisqu'il ignore toutes les corrélations entre les observables. Ainsi, en mécanique quantique A2 vaut ak2 si A vaut ak, ce qui implique que les valeurs de A et A2 sont fortement corrélées.

Plus généralement, il est exigé par Kochen et Specker que pour une fonction arbitraire f la valeur {style d'affichage v{gros (}F(mathbf {UN} ){gros )}} d'observable {style d'affichage f(mathbf {UN} )} satisfait {style d'affichage v{gros (}F(mathbf {UN} ){gros )}=f{gros (}v(mathbf {UN} ){gros )}.} Si A1 et A2 sont compatibles (mesurable) observables, alors, par la même occasion, on devrait avoir les deux égalités suivantes: {style d'affichage v(c_{1}mathbf {UN} _{1}+c_{2}mathbf {UN} _{2})=c_{1}v(mathbf {UN} _{1})+c_{2}v(mathbf {UN} _{2}),} {displaystyle c_{1}} et {displaystyle c_{2}} réel, et {style d'affichage v(mathbf {UN} _{1}mathbf {UN} _{2})=v(mathbf {UN} _{1})v(mathbf {UN} _{2}).} Le premier d'entre eux est un affaiblissement considérable par rapport à l'hypothèse de von Neumann selon laquelle cette égalité devrait tenir indépendamment du fait que A1 et A2 soient compatibles ou incompatibles.. Kochen et Specker ont pu prouver qu'une attribution de valeur n'est pas possible même sur la base de ces hypothèses plus faibles. Afin de le faire, ils ont restreint les observables à une classe spéciale, à savoir, soi-disant oui-non observables, n'ayant que des valeurs 0 et 1, correspondant à des opérateurs de projection sur les vecteurs propres de certaines bases orthogonales d'un espace de Hilbert.

Tant que l'espace de Hilbert est au moins tridimensionnel, ils ont pu trouver un ensemble de 117 de tels opérateurs de projection, ne permettant pas d'attribuer à chacun d'eux de manière univoque ni valeur 0 ou 1. Au lieu de la preuve plutôt compliquée de Kochen et Specker, il est plus éclairant de reproduire ici une des preuves beaucoup plus simples données beaucoup plus tard, qui emploie un nombre inférieur d'opérateurs de projection, mais ne prouve le théorème que lorsque la dimension de l'espace de Hilbert est au moins 4. Il s'avère qu'il est possible d'obtenir un résultat similaire sur la base d'un ensemble de 18 opérateurs de projection.[13] Afin de le faire, il suffit de se rendre compte que si u1, u2, u3 et u4 sont les quatre vecteurs orthogonaux d'une base orthogonale dans l'espace de Hilbert à quatre dimensions, puis les opérateurs de projection P1, P2, P3, P4 sur ces vecteurs commutent tous mutuellement (et, Par conséquent, correspondent à des observables compatibles, permettant une attribution simultanée de valeurs 0 ou 1). Depuis {style d'affichage mathbf {P} _{1}+mathbf {P} _{2}+mathbf {P} _{3}+mathbf {P} _{4}= mathbf {je} ,} il s'ensuit que {style d'affichage v(mathbf {P} _{1}+mathbf {P} _{2}+mathbf {P} _{3}+mathbf {P} _{4})=v(mathbf {je} )=1.} Mais depuis {style d'affichage v(mathbf {P} _{1}+mathbf {P} _{2}+mathbf {P} _{3}+mathbf {P} _{4})=v(mathbf {P} _{1})+v(mathbf {P} _{2})+v(mathbf {P} _{3})+v(mathbf {P} _{4}),} il découle de {style d'affichage v(mathbf {P} _{je})} = 0 ou 1, {style d'affichage i=1,ldots ,4} , que sur les quatre valeurs {style d'affichage v(mathbf {P} _{1}),v(mathbf {P} _{2}),v(mathbf {P} _{3}),v(mathbf {P} _{4})} on doit être 1, tandis que les trois autres doivent être 0.

Cabello,[14][15] étendant un argument développé par Kernaghan[16] considéré 9 bases orthogonales, chaque base correspondant à une colonne du tableau suivant, dans lequel les vecteurs de base sont explicitement affichés. Les socles sont choisis de manière à ce que chaque projecteur apparaisse dans exactement deux contextes, établissant ainsi des relations fonctionnelles entre les contextes.

en 1 (0, 0, 0, 1) (0, 0, 0, 1) (1, −1, 1, −1) (1, −1, 1, −1) (0, 0, 1, 0) (1, −1, −1, 1) (1, 1, −1, 1) (1, 1, −1, 1) (1, 1, 1, −1) u2 (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (1, −1, −1, 1) (1, 1, 1, 1) (0, 1, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, −1) (−1, 1, 1, 1) (−1, 1, 1, 1) u3 (1, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) (1, 1, 0, 0) (1, 0, −1, 0) (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, −1) (1, −1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) (1, 0, 0, 1) u4 (1, −1, 0, 0) (1, 0, −1, 0) (0, 0, 1, 1) (0, 1, 0, −1) (1, 0, 0, −1) (0, 1, −1, 0) (0, 0, 1, 1) (0, 1, 0, −1) (0, 1, −1, 0) Maintenant le "Ne pas aller" théorème suit en s'assurant que le suivant est impossible: placer une valeur, soit un 1 ou un 0, dans chaque case du tableau ci-dessus de manière à ce que: (un) la valeur 1 apparaît exactement une fois par colonne, les autres entrées de la colonne étant 0; (b) les compartiments de même couleur contiennent la même valeur - soit les deux contiennent 1 ou les deux contiennent 0.

Comme ça arrive, tout ce que nous avons à faire maintenant est de poser la question, combien de fois la valeur doit-elle 1 apparaître dans le tableau? D'un côté, (un) implique que 1 devrait apparaître 9 fois: il y a 9 colonnes et (un) dit ça 1 doit apparaître exactement une fois par colonne. D'autre part, (b) implique que 1 doit apparaître un nombre pair de fois: les compartiments viennent tous par paires de couleurs égales, et (b) dit que si un membre d'une paire contient 1, alors l'autre membre doit contenir 1 aussi bien. Répéter, (un) dit ça 1 apparaît 9 fois, tandis que (b) dit qu'il apparaît un nombre pair de fois. Depuis 9 n'est même pas, il s'ensuit que (un) et (b) sont mutuellement contradictoires; aucune distribution de 1 et de 0 dans les compartiments ne pourrait satisfaire les deux.

La preuve habituelle du théorème de Bell (Inégalité CHSH) peut également être converti en une preuve simple du théorème KS en dimension au moins 4. La configuration de Bell implique quatre mesures avec quatre résultats (quatre paires d'une mesure binaire simultanée dans chaque aile de l'expérience) et quatre avec deux résultats (les deux mesures binaires dans chaque aile de l'expérience, non accompagné), Donc 24 opérateurs de projection.

Remarques Contextualité Article principal: Contextualité quantique Dans l'article de Kochen-Specker, la possibilité est discutée que l'attribution de valeur {style d'affichage v(mathbf {UN} )} peut dépendre du contexte, c'est à dire. les observables correspondant à des vecteurs égaux dans différentes colonnes du tableau n'ont pas besoin d'avoir des valeurs égales car différentes colonnes correspondent à différentes dispositions de mesure. Depuis la réalité subquantique (tel que décrit par la théorie des variables cachées) peut dépendre du contexte de mesure, il est possible que les relations entre les observables de la mécanique quantique et les variables cachées soient simplement homomorphes plutôt qu'isomorphes. Cela rendrait obsolète l'exigence d'une attribution de valeur indépendante du contexte. Ainsi, le théorème KS n'exclut que les théories des variables cachées non contextuelles. La possibilité de contextualité a donné naissance aux interprétations dites modales de la mécanique quantique.

Différents niveaux de description Par le théorème KS, l'impossibilité est prouvée de l'hypothèse d'Einstein selon laquelle un élément de la réalité physique est représenté par une valeur d'une observable de mécanique quantique. La valeur d'une observable de mécanique quantique se réfère en premier lieu à la position finale de l'aiguille d'un instrument de mesure, qui n'apparaît que pendant la mesure, et qui, Pour cette raison, ne peut pas jouer le rôle d'un élément de la réalité physique. Éléments de réalité physique, si existant, semblerait avoir besoin d'un sous-quantum (variable cachée) la théorie pour leur description plutôt que la mécanique quantique. Dans des publications ultérieures[17] les inégalités de Bell sont discutées sur la base des théories des variables cachées dans lesquelles la variable cachée est supposée faire référence à une propriété sous-quantique de l'objet microscopique différente de la valeur d'une observable mécanique quantique. Cela ouvre la possibilité de distinguer différents niveaux de réalité décrits par différentes théories, qui avait déjà été pratiquée par Louis de Broglie. Pour ces théories plus générales, le théorème KS n'est applicable que si la mesure est supposée être fidèle, en ce sens qu'il existe une relation déterministe entre un élément subquantique de la réalité physique et la valeur de l'observable trouvée sur la mesure.

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