teorema de Kneser (equações diferenciais)

teorema de Kneser (equações diferenciais) Na matemática, no campo das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Kneser, nomeado após Adolf Kneser, fornece critérios para decidir se uma equação diferencial é oscilante ou não.

Conteúdo 1 Declaração do teorema 2 Exemplo 3 Extensões 4 Referências Declaração do teorema Considere uma equação diferencial homogênea linear ordinária da forma {estilo de exibição y''+q(x)y=0} com {estilo de exibição q:[0,+infty )para mathbb {R} } contínuo. Dizemos que esta equação é oscilante se ela tem uma solução y com infinitos zeros, e não oscilante caso contrário.

O teorema afirma[1] que a equação é não oscilante se {displaystyle limsup _{xto +infty }x^{2}q(x)<{tfrac {1}{4}}} and oscillating if {displaystyle liminf _{xto +infty }x^{2}q(x)>{tfrac {1}{4}}.} Exemplo Para ilustrar o teorema considere {estilo de exibição q(x)= esquerda({fratura {1}{4}}-corretamente)x^{-2}quadrilátero {texto{por}}quad x>0} Onde {estilo de exibição a} é real e diferente de zero. De acordo com o teorema, soluções serão oscilantes ou não, dependendo se {estilo de exibição a} é positivo (não oscilante) ou negativo (oscilante) Porque {displaystyle limsup _{xto +infty }x^{2}q(x)=liminf_{xto +infty }x^{2}q(x)={fratura {1}{4}}-uma} Para encontrar as soluções para esta escolha de {estilo de exibição q(x)} , e verifique o teorema para este exemplo, substituir a 'abordagem' {estilo de exibição y(x)=x^{n}} que dá {estilo de exibição m(n-1)+{fratura {1}{4}}-a=esquerda(n-{fratura {1}{2}}certo)^{2}-a=0} Isso significa que (para diferente de zero {estilo de exibição a} ) a solução geral é {estilo de exibição y(x)= Machado ^{{fratura {1}{2}}+{quadrado {uma}}}+Bx^{{fratura {1}{2}}-{quadrado {uma}}}} Onde {estilo de exibição A} e {estilo de exibição B} são constantes arbitrárias.

Não é difícil ver que para positivo {estilo de exibição a} as soluções não oscilam enquanto para negativo {estilo de exibição a=-omega ^{2}} a identidade {estilo de exibição x^{{fratura {1}{2}}pm iomega }={quadrado {x}} e^{PM (iomega )ln {x}}={quadrado {x}} (porque {(ômega lnx)}pm está chegando {(ômega lnx)})} mostra que eles fazem.

O resultado geral decorre deste exemplo pelo teorema de comparação de Sturm-Picone.

Extensões Existem muitas extensões para este resultado. Para uma conta recente, consulte.[2] Referências ^ Teschl, Geraldo (2012). Equações Diferenciais Ordinárias e Sistemas Dinâmicos. Providência: Sociedade Americana de Matemática. ISBN 978-0-8218-8328-0. ^ Helge Krüger e Gerald Teschl, Ângulos efetivos de Prüfer e critérios relativos de oscilação, J. Diferença. Eq. 245 (2008), 3823–3848 [1] Categorias: Equações diferenciais ordináriasTeoremas em análiseOscilação