Kelvin's circulation theorem

Kelvin's circulation theorem In fluid mechanics, Kelvin's circulation theorem (named after William Thomson, 1st Baron Kelvin who published it in 1869) states In a barotropic ideal fluid with conservative body forces, the circulation around a closed curve (which encloses the same fluid elements) moving with the fluid remains constant with time.[1][2] Stated mathematically: {estilo de exibição {fratura {matemática {D} Gama }{matemática {D} t}}=0} Onde {displaystyle Gama } is the circulation around a material contour {estilo de exibição C(t)} . Stated more simply this theorem says that if one observes a closed contour at one instant, and follows the contour over time (by following the motion of all of its fluid elements), the circulation over the two locations of this contour are equal.

This theorem does not hold in cases with viscous stresses, nonconservative body forces (for example a coriolis force) or non-barotropic pressure-density relations.

Conteúdo 1 Mathematical proof 2 Poincaré–Bjerknes circulation theorem 3 Veja também 4 Notes Mathematical proof See also: Euler equations (fluid dynamics) The circulation {displaystyle Gama } around a closed material contour {estilo de exibição C(t)} é definido por: {displaystyle Gama (t)= unção _{C}{símbolo em negrito {você}}cdot mathrm {d} {símbolo em negrito {s}}} where u is the velocity vector, and ds is an element along the closed contour.

The governing equation for an inviscid fluid with a conservative body force is {estilo de exibição {fratura {matemática {D} {símbolo em negrito {você}}}{matemática {D} t}}=-{fratura {1}{rho }}{símbolo em negrito {nabla }}p+{símbolo em negrito {nabla }}Phi } where D/Dt is the convective derivative, ρ is the fluid density, p is the pressure and Φ is the potential for the body force. These are the Euler equations with a body force.

The condition of barotropicity implies that the density is a function only of the pressure, ou seja. {displaystyle rho =rho (p)} .

Taking the convective derivative of circulation gives {estilo de exibição {fratura {matemática {D} Gama }{matemática {D} t}}= unção _{C}{fratura {matemática {D} {símbolo em negrito {você}}}{matemática {D} t}}cdot mathrm {d} {símbolo em negrito {s}}+pomada _{C}{símbolo em negrito {você}}cdot {fratura {matemática {D} matemática {d} {símbolo em negrito {s}}}{matemática {D} t}}.} For the first term, we substitute from the governing equation, and then apply Stokes' theorem, portanto: {displaystyle ungido_{C}{fratura {matemática {D} {símbolo em negrito {você}}}{matemática {D} t}}cdot mathrm {d} {símbolo em negrito {s}}=int_{UMA}{símbolo em negrito {nabla }}times left(-{fratura {1}{rho }}{símbolo em negrito {nabla }}p+{símbolo em negrito {nabla }}Phi right)cdot {símbolo em negrito {n}},matemática {d} S=int _{UMA}{fratura {1}{oh ^{2}}}deixei({símbolo em negrito {nabla }}rho times {símbolo em negrito {nabla }}pright)cdot {símbolo em negrito {n}},matemática {d} S=0.} The final equality arises since {estilo de exibição {símbolo em negrito {nabla }}rho times {símbolo em negrito {nabla }}p=0} owing to barotropicity. We have also made use of the fact that the curl of any gradient is necessarily 0, ou {estilo de exibição {símbolo em negrito {nabla }}vezes {símbolo em negrito {nabla }}f=0} for any function {estilo de exibição f} .

For the second term, we note that evolution of the material line element is given by {estilo de exibição {fratura {matemática {D} matemática {d} {símbolo em negrito {s}}}{matemática {D} t}}= esquerda(matemática {d} {símbolo em negrito {s}}cdot {símbolo em negrito {nabla }}certo){símbolo em negrito {você}}.} Por isso {displaystyle ungido_{C}{símbolo em negrito {você}}cdot {fratura {matemática {D} matemática {d} {símbolo em negrito {s}}}{matemática {D} t}}= unção _{C}{símbolo em negrito {você}}cdot esquerda(matemática {d} {símbolo em negrito {s}}cdot {símbolo em negrito {nabla }}certo){símbolo em negrito {você}}={fratura {1}{2}}pomada _{C}{símbolo em negrito {nabla }}deixei(|{símbolo em negrito {você}}|^{2}certo)cdot mathrm {d} {símbolo em negrito {s}}=0.} The last equality is obtained by applying gradient theorem.

Since both terms are zero, we obtain the result {estilo de exibição {fratura {matemática {D} Gama }{matemática {D} t}}=0.} Poincaré–Bjerknes circulation theorem A similar principle which conserves a quantity can be obtained for the rotating frame also, known as the Poincaré–Bjerknes theorem, named after Henri Poincaré and Vilhelm Bjerknes, who derived the invariant in 1893[3][4] e 1898.[5][6] The theorem can be applied to a rotating frame which is rotating at a constant angular velocity given by the vector {estilo de exibição {símbolo em negrito {Ómega }}} , for the modified circulation {displaystyle Gama (t)= unção _{C}({símbolo em negrito {você}}+{símbolo em negrito {Ómega }}vezes {símbolo em negrito {r}})cdot mathrm {d} {símbolo em negrito {s}}} Aqui {estilo de exibição {símbolo em negrito {r}}} is the position of the area of fluid. From Stokes' theorem, this is: {displaystyle Gama (t)=int_{UMA}{símbolo em negrito {nabla }}vezes ({símbolo em negrito {você}}+{símbolo em negrito {Ómega }}vezes {símbolo em negrito {r}})cdot {símbolo em negrito {n}},matemática {d} S=int _{UMA}({símbolo em negrito {nabla }}vezes {símbolo em negrito {você}}+2{símbolo em negrito {Ómega }})cdot {símbolo em negrito {n}},matemática {d} S} The Vorticity of a velocity field in fluid dynamics is defined by: {estilo de exibição {símbolo em negrito {ómega }}={símbolo em negrito {nabla }}vezes {símbolo em negrito {você}}} Então: {displaystyle Gama (t)=int_{UMA}({símbolo em negrito {ómega }}+2{símbolo em negrito {Ómega }})cdot {símbolo em negrito {n}},matemática {d} S} See also Bernoulli's principle Euler equations (fluid dynamics) Helmholtz's theorems Thermomagnetic convection Notes ^ Katz, Plotkin: Low-Speed Aerodynamics ^ Kundu, P and Cohen, EU: Fluid Mechanics, página 130. Imprensa Acadêmica 2002 ^ Poincaré, H. (1893). Théorie des tourbillons: Leçons professées pendant le deuxième semestre 1891-92 (Volume. 11). Gauthier-Villars. Artigo 158 ^ Truesdell, C. (2018). The kinematics of vorticity. Publicações Courier Dover. ^ Bjerknes, V., Rubenson, R., & Lindstedt, UMA. (1898). Ueber einen Hydrodynamischen Fundamentalsatz und seine Anwendung: besonders auf die Mechanik der Atmosphäre und des Weltmeeres. Kungl. Boktryckeriet. PA Norstedt & Söner. ^ Chandrasekhar, S. (2013). Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Courier Corporation. Categorias: Equations of fluid dynamicsFluid dynamicsEquationsWilliam Thomson, 1st Baron Kelvin