Il teorema di Kachurovskii

Kachurovskii's theorem In mathematics, Kachurovskii's theorem is a theorem relating the convexity of a function on a Banach space to the monotonicity of its Fréchet derivative.

Statement of the theorem Let K be a convex subset of a Banach space V and let f : K → R ∪ {+∞} be an extended real-valued function that is Fréchet differentiable with derivative df(X) : V → R at each point x in K. (Infatti, df(X) is an element of the continuous dual space V∗.) Then the following are equivalent: f is a convex function; for all x and y in K, {displaystyle matematica {d} f(X)(y-x)leq f(y)-f(X);} df is an (increasing) monotone operator, cioè., for all x and y in K, {stile di visualizzazione {grande (}matematica {d} f(X)-matematica {d} f(y){grande )}(x-y)geq 0.} References Kachurovskii, io. R. (1960). "On monotone operators and convex functionals". Uspekhi Mat. Nauk. 15 (4): 213–215. Showalter, Ralph E. (1997). Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Indagini matematiche e monografie 49. Provvidenza, RI: Società matematica americana. pp. 80. ISBN 0-8218-0500-2. MR1422252 (Proposizione 7.4) nascondi vte Analisi funzionale (argomenti – glossario) Spazi BanachBesovFréchetHilbertHölderNucleareOrliczSchwartzSobolevVettore topologico Proprietà barrelledcompletatodual (algebrico/topologico)localmente convessoriflessivoseparabile TeoremiHahn–BanachRieszrappresentazionegrafo chiusoprincipio di limitatezza uniformeKakutani punto fissoKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatori adjointboundedcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebres Algebra di BanachC*-algebraspettro di un'algebra C*problemi di un operatore algebra localmente compatto di un'algebra di Neumanngruppo compatto di un'algebra di Neumann Problema del sottospazio Congettura di Mahler Applicazioni Spazio di Hardy Teoria spettrale delle equazioni differenziali ordinarie Heat Kernel Teorema dell'indice Calcolo delle variazioni Calcolo funzionale Operatore integrale Polinomio di Jones Teoria dei campi quantistici topologici Geometria non commutativa Ipotesi di Riemann Distribuzione (o funzioni generalizzate) Argomenti avanzati proprietà di approssimazione insieme bilanciato Teoria di Choquet topologia debole Distanza di Banach–Mazur Teoria di Tomita–Takesaki Categorie: Convex analysisTheorems in functional analysis