Théorème de Kachurovski

Kachurovskii's theorem In mathematics, Kachurovskii's theorem is a theorem relating the convexity of a function on a Banach space to the monotonicity of its Fréchet derivative.

Statement of the theorem Let K be a convex subset of a Banach space V and let f : K → R ∪ {+∞} be an extended real-valued function that is Fréchet differentiable with derivative df(X) : V → R at each point x in K. (En réalité, df(X) is an element of the continuous dual space V∗.) Then the following are equivalent: f is a convex function; for all x and y in K, {style d'affichage mathrm {ré} F(X)(y-x)leq f(y)-F(X);} df is an (increasing) monotone operator, c'est à dire., for all x and y in K, {style d'affichage {gros (}mathrm {ré} F(X)-mathrm {ré} F(y){gros )}(x-y)gq 0.} References Kachurovskii, je. R. (1960). "On monotone operators and convex functionals". Uspekhi Mat. Nauk. 15 (4): 213–215. Showalter, Ralph E. (1997). Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Enquêtes mathématiques et monographies 49. Providence, IR: Société mathématique américaine. pp. 80. ISBN 0-8218-0500-2. MR1422252 (Proposition 7.4) cacher vte Analyse fonctionnelle (sujets – glossaire) Espaces BanachBesovFréchetHilbertHölderNucléaireOrliczSchwartzSobolevvecteur topologique Propriétés tonneaucomplètedouble (algébrique/topologique)localement convexe réflexif séparable Théorèmes Hahn–Banach Représentation de Riesz graphe fermé principe de délimitation uniforme Kakutani virgule fixeKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Opérateurs adjointlimitécompactHilbert–Schmidtnormalnucléairetraceclasstransposéillimitéunitaire problème de sous-espaceconjecture de MahlerApplicationsespace de Hardythéorie spectrale des équations différentielles ordinairesnoyau de chaleurthéorème d'indexcalcul des variationscalcul fonctionnelopérateur intégralpolynôme de Jonesthéorie des champs quantiques topologiquesgéométrie non commutativehypothèse de Riemanndistribution (ou fonctions généralisées) Sujets avancés propriété d'approximationensemble équilibréThéorie de Choquettopologie faibleDistance de Banach–MazurThéorie de Tomita–Takesaki Catégories: Convex analysisTheorems in functional analysis