Satz von Kachurovskii

Kachurovskii's theorem In mathematics, Kachurovskii's theorem is a theorem relating the convexity of a function on a Banach space to the monotonicity of its Fréchet derivative.

Statement of the theorem Let K be a convex subset of a Banach space V and let f : K → R ∪ {+∞} be an extended real-valued function that is Fréchet differentiable with derivative df(x) : V → R at each point x in K. (In der Tat, df(x) is an element of the continuous dual space V∗.) Then the following are equivalent: f is a convex function; for all x and y in K, {Anzeigestil mathrm {d} f(x)(y-x)leq f(j)-f(x);} df is an (increasing) monotone operator, d.h., for all x and y in K, {Anzeigestil {groß (}Mathrm {d} f(x)-Mathrm {d} f(j){groß )}(x-y)geq 0.} References Kachurovskii, ich. R. (1960). "On monotone operators and convex functionals". Uspekhi Mat. Nauk. 15 (4): 213–215. Showalter, Ralph E. (1997). Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Mathematische Übersichten und Monographien 49. Vorsehung, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft. pp. 80. ISBN 0-8218-0500-2. MR1422252 (Vorschlag 7.4) verbergen vte Funktionsanalyse (Themen – Glossar) Leerzeichen BanachBesovFréchetHilbertHölderNuclearOrliczSchwartzSobolevtopological vector Properties barrelledcompletedual (algebraisch/topologisch)lokal konvexreflexivseparable Theoreme Hahn-BanachRiesz-Darstellunggeschlossener Graphgleichmäßiges BeschränktheitsprinzipKakutani-FixpunktKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatoren adjointboundcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebren Banach-AlgebraC*-AlgebraSpektrum einer C*-AlgebraOperator-Algebravon Gruppenalgebra einer lokalvariant-kompakten Gruppe SubraumproblemMahlersche Vermutung Anwendungen Hardy-RaumSpektraltheorie gewöhnlicher DifferentialgleichungenWärmekernindexsatzVariationsrechnungFunktionsrechnungIntegraloperatorJones-PolynomTopologische QuantenfeldtheorieNichtkommutative GeometrieRiemann-HypotheseVerteilung (oder verallgemeinerte Funktionen) Fortgeschrittene Themen Approximation PropertyBalanced SetChoquet-TheorieSchwache TopologieBanach-Mazur-AbstandTomita-Takesaki-Theorie Kategorien: Convex analysisTheorems in functional analysis