Álgebra da Jordânia

Álgebra da Jordânia (Redirecionado do teorema de Shirshov-Cohn) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Em álgebra abstrata, uma álgebra de Jordan é uma álgebra não associativa sobre um corpo cuja multiplicação satisfaz os seguintes axiomas: {estilo de exibição xy = yx} (Lei comutativa) {estilo de exibição (xy)(xx)=x(y(xx))} (identidade da Jordânia).

O produto de dois elementos x e y em uma álgebra de Jordan também é denotado por x ∘ y, particularmente para evitar confusão com o produto de uma álgebra associativa relacionada.

Os axiomas implicam[1] que uma álgebra de Jordan é associativa de potência, significa que {estilo de exibição x^{n}=xcpontos x} é independente de como colocamos entre parênteses essa expressão. Eles também implicam[1] este {estilo de exibição x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)} para todos os inteiros positivos m e n. Desta forma, podemos definir equivalentemente uma álgebra de Jordan como uma comutativa, álgebra associativa de potência tal que para qualquer elemento {estilo de exibição x} , as operações de multiplicação por potências {estilo de exibição x^{n}} todo o trajeto.

Jordan algebras were first introduced by Pascual Jordan (1933) formalizar a noção de uma álgebra de observáveis ​​em mecânica quântica. Eles foram originalmente chamados "sistemas de números r", mas foram renomeados "Álgebras da Jordânia" by Abraham Adrian Albert (1946), que começou o estudo sistemático de álgebras gerais de Jordan.

Conteúdo 1 Álgebras especiais de Jordan 1.1 Álgebras de Hermitian Jordan 2 Exemplos 3 Derivações e álgebra de estrutura 4 Álgebras de Jordan formalmente reais 5 Decomposição de Peirce 6 Generalizações 6.1 Álgebras de Jordan de dimensão infinita 6.2 álgebras do operador de Jordan 6.3 anéis da Jordânia 6.4 Superálgebras de Jordan 6.5 J-estruturas 6.6 Álgebras de Jordan quadrática 7 Veja também 8 Notas 9 Referências 10 Leitura adicional 11 External links Special Jordan algebras Given an associative algebra A (não de característica 2), pode-se construir uma álgebra de Jordan A+ usando o mesmo espaço vetorial de adição subjacente. Observe primeiro que uma álgebra associativa é uma álgebra de Jordan se e somente se for comutativa. Se não for comutativo podemos definir uma nova multiplicação em A para torná-lo comutativo, e de fato torná-lo uma álgebra de Jordan. A nova multiplicação x ∘ y é o produto de Jordan: {estilo de exibição xcirc y={fratura {xy+yx}{2}}.} Isso define uma álgebra de Jordan A+, e chamamos essas álgebras de Jordan, bem como quaisquer subálgebras dessas álgebras de Jordan, álgebras especiais de Jordan. Todas as outras álgebras de Jordan são chamadas de álgebras de Jordan excepcionais. O teorema de Shirshov-Cohn afirma que qualquer álgebra de Jordan com dois geradores é especial.[2] Relacionado a isso, O teorema de Macdonald afirma que qualquer polinômio em três variáveis, que tem grau um em uma das variáveis, e isso desaparece em cada álgebra especial de Jordan, desaparece em toda álgebra de Jordan.[3] Hermitian Jordan algebras If (UMA, p) é uma álgebra associativa com uma involução σ, então se σ(x)=x e σ(y)=y segue que {estilo de exibição sigma (xy+yx)=xy+yx.} Assim, o conjunto de todos os elementos fixados pela involução (às vezes chamados de elementos hermitianos) formar uma subálgebra de A+, que às vezes é denotado H(UMA,p).

Exemplos 1. O conjunto de reais auto-adjuntos, complexo, ou matrizes quaterniônicas com multiplicação {estilo de exibição (xy+yx)/2} formar uma álgebra de Jordan especial.

2. O conjunto de matrizes auto-adjuntas 3×3 sobre os octonions, novamente com multiplicação {estilo de exibição (xy+yx)/2,} é um 27 dimensional, álgebra de Jordan excepcional (é excepcional porque os octonions não são associativos). Este foi o primeiro exemplo de uma álgebra de Albert. Seu grupo de automorfismo é o excepcional grupo de Lie F4. Uma vez que sobre os números complexos esta é a única álgebra de Jordan excepcional simples até o isomorfismo,[4] é muitas vezes referido como "a" álgebra de Jordan excepcional. Sobre os números reais existem três classes de isomorfismo de álgebras de Jordan excepcionais simples.[4] Derivations and structure algebra A derivation of a Jordan algebra A is an endomorphism D of A such that D(xy) = D(x)y+xD(y). As derivações formam uma álgebra de Lie der(UMA). A identidade de Jordan implica que se x e y são elementos de A, então o endomorfismo enviando z para x(yz)−y(xz) é uma derivação. Assim, a soma direta de A e der(UMA) pode ser transformado em uma álgebra de Lie, chamada de álgebra de estrutura de A, str(UMA).

Um exemplo simples é fornecido pelas álgebras de Hermitian Jordan H(UMA,p). Neste caso, qualquer elemento x de A com σ(x)=−x define uma derivação. Em muitos exemplos importantes, a álgebra estrutural de H(UMA,p) é um.

Álgebras de derivação e estrutura também fazem parte da construção de Tits do quadrado mágico de Freudenthal.

Formally real Jordan algebras A (possivelmente não associativo) a álgebra sobre os números reais é formalmente real se satisfaz a propriedade de que uma soma de n quadrados só pode desaparecer se cada um desaparecer individualmente. Dentro 1932, Jordan tentou axiomatizar a teoria quântica dizendo que a álgebra dos observáveis ​​de qualquer sistema quântico deveria ser uma álgebra formalmente real que fosse comutativa. (x = x) e associativo de poder (a lei associativa vale para produtos envolvendo apenas x, de modo que as potências de qualquer elemento x são definidas sem ambiguidade). Ele provou que qualquer tal álgebra é uma álgebra de Jordan.

Nem toda álgebra de Jordan é formalmente real, mas a Jordânia, von Neumann & Wigner (1934) classificou as álgebras de Jordan formalmente reais de dimensão finita, também chamado de álgebras euclidianas de Jordan. Toda álgebra de Jordan formalmente real pode ser escrita como uma soma direta das chamadas simples, que não são somas diretas de uma maneira não trivial. Em dimensões finitas, as simples álgebras de Jordan formalmente reais vêm em quatro famílias infinitas, juntamente com um caso excepcional: A álgebra de Jordan de n × n matrizes reais auto-adjuntas, como acima. A álgebra de Jordan de n × n matrizes complexas auto-adjuntas, como acima. A álgebra de Jordan de n × n matrizes quaterniônicas auto-adjuntas. como acima. A álgebra de Jordan gerada livremente por Rn com as relações {estilo de exibição x^{2}=lang x,xrangle } onde o lado direito é definido usando o produto interno usual em Rn. Isso às vezes é chamado de fator de spin ou álgebra de Jordan do tipo Clifford. A álgebra de Jordan de matrizes octoniônicas auto-adjuntas 3 × 3, como acima (uma álgebra de Jordan excepcional chamada álgebra de Albert).

Dessas possibilidades, até agora parece que a natureza faz uso apenas das matrizes complexas n×n como álgebras de observáveis. No entanto, os fatores de spin desempenham um papel na relatividade especial, e todas as álgebras de Jordan formalmente reais estão relacionadas à geometria projetiva.

Peirce decomposition If e is an idempotent in a Jordan algebra A (e2 = e) e R é a operação de multiplicação por e, then R(2R − 1)(R − 1) = 0 so the only eigenvalues of R are 0, 1/2, 1. Se a álgebra de Jordan A é de dimensão finita sobre um corpo de característica não 2, this implies that it is a direct sum of subspaces A = A0(e) ⊕ A1/2(e) ⊕ A1(e) dos três autoespaços. Esta decomposição foi considerada pela primeira vez por Jordan, von Neumann & Wigner (1934) para álgebras de Jordan totalmente reais. Mais tarde, foi estudado em plena generalidade por Albert (1947) and called the Peirce decomposition of A relative to the idempotent e.[5] Generalizations Infinite-dimensional Jordan algebras In 1979, Efim Zelmanov classificou o simples de dimensão infinita (e primo não degenerado) Álgebras da Jordânia. Eles são do tipo Hermitian ou Clifford. Em particular, as únicas álgebras de Jordan simples excepcionais são as álgebras de Albert de dimensão finita, que tem dimensão 27.

álgebras do operador de Jordan Ver artigo principal: Jordan operator algebra The theory of operator algebras has been extended to cover Jordan operator algebras.

As contrapartes de C*-álgebras são álgebras JB, que em dimensões finitas são chamadas de álgebras euclidianas de Jordan. A norma na álgebra real de Jordan deve ser completa e satisfazer os axiomas: {estilo de exibição estilo de exibição {|acirc b|leq |uma|cdot |b|,,,,|um^{2}|=|uma|^{2},,,,|um^{2}|leq |um^{2}+b^{2}|.}} Esses axiomas garantem que a álgebra de Jordan é formalmente real, de modo a, se a soma dos quadrados dos termos é zero, esses termos devem ser zero. As complexificações das álgebras JB são chamadas de Jordan C*-álgebras ou JB*-álgebras. Eles têm sido usados ​​extensivamente em geometria complexa para estender o tratamento algébrico de Jordan de Koecher de domínios simétricos limitados para dimensões infinitas. Nem todas as álgebras JB podem ser realizadas como álgebras de Jordan de operadores auto-adjuntos em um espaço de Hilbert, exatamente como em dimensões finitas. A excepcional álgebra de Albert é a obstrução comum.

O análogo de álgebra de Jordan de álgebras de von Neumann é jogado por álgebras JBW. Estas acabam por ser álgebras JB que, como espaços de Banach, são os espaços duais dos espaços de Banach. Grande parte da teoria da estrutura das álgebras de von Neumann pode ser transportada para as álgebras JBW. Em particular, os fatores JBW - aqueles com centro reduzido a R - são completamente compreendidos em termos de álgebras de von Neumann. Além da excepcional álgebra de Albert, todos os fatores JWB podem ser realizados como álgebras de Jordan de operadores auto-adjuntos em um espaço de Hilbert fechado na topologia de operador fraco. Destes, os fatores de spin podem ser construídos muito simplesmente a partir de espaços de Hilbert reais. Todos os outros fatores JWB são a parte auto-adjunta de um fator de von Neumann ou sua subálgebra de ponto fixo sob um período 2 *-anti-automorfismo do fator von Neumann.[6] Jordan rings A Jordan ring is a generalization of Jordan algebras, exigindo apenas que o anel do Jordão esteja sobre um anel geral em vez de um campo. Alternativamente, pode-se definir um anel de Jordan como um anel não associativo comutativo que respeita a identidade de Jordan.

Jordan superalgebras Jordan superalgebras were introduced by Kac, Kantor e Kaplansky; estes são {estilo de exibição mathbb {Z} /2} -álgebras graduadas {estilo de exibição J_{0}mais J_{1}} Onde {estilo de exibição J_{0}} é uma álgebra de Jordan e {estilo de exibição J_{1}} tem um "Mentira" produto com valores em {estilo de exibição J_{0}} .[7] Algum {estilo de exibição mathbb {Z} /2} -álgebra associativa graduada {estilo de exibição A_{0}mais A_{1}} torna-se uma superálgebra de Jordan em relação à cinta de Jordan graduada {estilo de exibição {x_{eu},s_{j}}=x_{eu}s_{j}+(-1)^{eu j}s_{j}x_{eu} .} Superálgebras simples de Jordan sobre um campo algebricamente fechado de características 0 foram classificados por Kac (1977). Eles incluem várias famílias e algumas álgebras excepcionais, notavelmente {estilo de exibição K_{3}} e {estilo de exibição K_{10}} .

J-estruturas Ver artigo principal: J-structure The concept of J-structure was introduced by Springer (1973) desenvolver uma teoria de álgebras de Jordan usando grupos algébricos lineares e axiomas tomando a inversão de Jordan como operação básica e a identidade de Hua como relação básica. Em característica não igual a 2 a teoria das estruturas J é essencialmente a mesma que a das álgebras de Jordan.

Álgebras de Jordan quadrática Ver artigo principal: Quadratic Jordan algebra Quadratic Jordan algebras are a generalization of (linear) Jordan algebras introduced by Kevin McCrimmon (1966). As identidades fundamentais da representação quadrática de uma álgebra de Jordan linear são usadas como axiomas para definir uma álgebra de Jordan quadrática sobre um campo de característica arbitrária. Existe uma descrição uniforme de álgebras de Jordan quadráticas simples de dimensão finita, independente da característica: em característica não igual a 2 a teoria das álgebras de Jordan quadráticas se reduz à das álgebras de Jordan lineares.

Ver também álgebra de Freudenthal Sistema triplo de Jordan Par de Jordan Kantor–Koecher–Tits construção Variedade de Scorza Notas ^ Saltar para: a b Jacobson 1968, pp. 35–36, comentar especificamente antes (56) e teorema 8 ^ McCrimmon 2004, p. 100 ^ McCrimmon 2004, p. 99 ^ Saltar para: a b Springer & Veldkamp 2000, §5.8, p. 153 ^ McCrimmon 2004, pp. 99 et seq, 235 e segs ^ Veja: Hanche-Olsen & Størmer 1984 Upmeier 1985 Upmeier 1987 Faraut & Koranyi 1994 ^ McCrimmon 2004, pp. 9–10 References Albert, UMA. Adriano (1946), "Em álgebras de Jordan de transformações lineares", Transações da American Mathematical Society, 59 (3): 524-555, doi:10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990270, MR 0016759 Alberto, UMA. Adriano (1947), "Uma teoria de estrutura para álgebras de Jordan", Anais da Matemática, Segunda Série, 48 (3): 546–567, doi:10.2307/1969128, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969128, MR 0021546 Baez, João C. (2002). "§3: Geometria Octoniônica Projetiva". Os Octonions. Boletim da American Mathematical Society. Touro. América. Matemática. Soc. Volume. 39. pp. 145-205. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087. S2CID 586512.. Versão HTML on-line. Caçar, J.; Koranyi, UMA. (1994), Análise em cones simétricos, Monografias Matemáticas Oxford, imprensa da Universidade de Oxford, ISBN 0198534779 Hanche-Olsen, H.; Tempestade, E. (1984), álgebras do operador de Jordan, Monografias e Estudos em Matemática, volume. 21, pitman, ISBN 0273086197 Jacobson, Natan (2008) [1968], Estrutura e representações das álgebras de Jordan, Publicações do Colóquio da American Mathematical Society, volume. 39, Providência, R.I.: Sociedade Americana de Matemática, ISBN 9780821831793, MR 0251099 Jordan, Pascal (1933), "Sobre possibilidades de generalização do formalismo da mecânica quântica", Nachr. Atrasos. Wiss. Göttingen. Matemática. Física. Kl. EU, 41: 209–217 Jordânia, P.; por Neumann, J.; Wigner, E. (1934), "Sobre uma generalização algébrica do formalismo da mecânica quântica", Anais da Matemática, 35 (1): 29-64, doi:10.2307/1968117, JSTOR 1968117 Kac, Victor G (1977), "Classificação de superálgebras de Lie simples graduadas em Z e superálgebras simples de Jordan", Comunicações em Álgebra, 5 (13): 1375-1400, doi:10.1080/00927877708822224, ISSN 0092-7872, MR 0498755 McCrimmon, Kevin (1966), "Uma teoria geral dos anéis de Jordan", Proc. Nacional. Acad. Sci. EUA., 56 (4): 1072–1079, Bibcode:1966PNAS...56.1072M, doi:10.1073/pnas.56.4.1072, JSTOR 57792, MR 0202783, PMC 220000, PMID 16591377, Zbl 0139.25502 McCrimmon, Kevin (2004), Um gosto de álgebras da Jordânia, Universittext, Berlim, Nova york: Springer-Verlag, doi:10.1007/b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, MR 2014924, Zbl 1044.17001, Errata de Ichiro Satake (1980), Estruturas Algébricas de Domínios Simétricos, Imprensa da Universidade de Princeton, ISBN 978-0-691-08271-4. Revisão Schafer, Ricardo D. (1996), Uma introdução à álgebras não associativas, Publicações Courier Dover, ISBN 978-0-486-68813-8, Zbl 0145.25601 Zhevlakov, K.A.; Slin'ko, SOU.; Shestakov, IP; Shirshov, A.I. (1982) [1978]. Anéis que são quase associativos. Imprensa Acadêmica. ISBN 0-12-779850-1. MR 0518614. Zbl 0487.17001. Slin'ko, SOU. (2001) [1994], "Álgebra da Jordânia", Enciclopédia de Matemática, Imprensa EMS Springer, Tony A. (1998) [1973], Álgebras de Jordan e grupos algébricos, Clássicos da Matemática, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-61970-0, ISBN 978-3-540-63632-8, MR 1490836, Zbl 1024.17018 Springer, Tony A.; Acampamento, Fernando D. (2000) [1963], Octônio, Álgebras de Jordan e grupos excepcionais, Monografias Springer em Matemática, Berlim, Nova york: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12622-6, ISBN 978-3-540-66337-9, MR 1763974 Upmeier, H. (1985), Variedades simétricas de Banach e Jordan C∗-álgebras, Estudos de Matemática do Norte da Holanda, volume. 104, ISBN 0444876510 Upmeier, H. (1987), Álgebras de Jordan em análise, teoria do operador, e mecânica quântica, Série de Conferências Regionais do CBMS em Matemática, volume. 67, Sociedade Americana de Matemática, ISBN 082180717X Further reading Knus, Max-Albert; de Mercúrio, Alexandre; Rost, Markus; Tignol, Jean Pierre (1998), O livro das involuções, Publicações do Colóquio, volume. 44, Com prefácio de J.. Peitos, Providência, RI: Sociedade Americana de Matemática, ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001 External links Jordan algebra at PlanetMath Jordan-Banach and Jordan-Lie algebras at PlanetMath Authority control: National libraries IsraelUnited StatesJapan Categories: Álgebras não associativas