Algebra di Giordania

Algebra di Giordania (Reindirizzato da teorema di Shirshov-Cohn) Vai alla navigazione Vai alla ricerca In algebra astratta, un'algebra di Jordan è un'algebra non associativa su un campo la cui moltiplicazione soddisfa i seguenti assiomi: {stile di visualizzazione xy=yx} (legge commutativa) {stile di visualizzazione (xy)(xx)=x(y(xx))} (Identità giordana).

Il prodotto di due elementi xey in un'algebra di Jordan è anche indicato con x ∘ y, in particolare per evitare confusione con il prodotto di un'algebra associativa correlata.

Gli assiomi implicano[1] che un'algebra di Jordan è un potere associativo, intendendo che {stile di visualizzazione x^{n}=xcpunti x} è indipendente da come tra parentesi questa espressione. Implicano anche[1] Quello {stile di visualizzazione x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)} per tutti gli interi positivi m e n. così, possiamo equivalentemente definire un'algebra di Jordan come commutativa, algebra associativa di potenza tale che per qualsiasi elemento {stile di visualizzazione x} , le operazioni di moltiplicazione per poteri {stile di visualizzazione x^{n}} tutti fanno il pendolare.

Jordan algebras were first introduced by Pascual Jordan (1933) formalizzare la nozione di algebra di osservabili in meccanica quantistica. Inizialmente erano chiamati "sistemi di numeri r", ma furono rinominati "Algebre di Jordan" by Abraham Adrian Albert (1946), che iniziò lo studio sistematico delle algebre generali di Jordan.

Contenuti 1 Algebre speciali di Jordan 1.1 Algebre Hermitian Jordan 2 Esempi 3 Derivazioni e algebra di struttura 4 Algebre di Jordan formalmente reali 5 Decomposizione di Peirce 6 generalizzazioni 6.1 Algebre di Jordan a dimensione infinita 6.2 Algebre degli operatori di Jordan 6.3 Jordan squilla 6.4 Superalgebre di Giordania 6.5 J-strutture 6.6 Algebre quadratiche di Jordan 7 Guarda anche 8 Appunti 9 Riferimenti 10 Ulteriori letture 11 External links Special Jordan algebras Given an associative algebra A (non di caratteristica 2), si può costruire un'algebra di Jordan A+ usando lo stesso spazio vettoriale di addizione sottostante. Si noti innanzitutto che un'algebra associativa è un'algebra di Jordan se e solo se è commutativa. Se non è commutativo possiamo definire una nuova moltiplicazione su A per renderlo commutativo, e infatti ne fanno un'algebra di Jordan. La nuova moltiplicazione x ∘ y è il prodotto di Jordan: {displaystyle xcirc y={frac {xy+yx}{2}}.} Questo definisce un'algebra di Jordan A+, e chiamiamo queste algebre di Jordan, così come tutte le sottoalgebre di queste algebre di Jordan, algebre speciali di Jordan. Tutte le altre algebre di Jordan sono chiamate algebre di Jordan eccezionali. Il teorema di Shirshov-Cohn afferma che qualsiasi algebra di Jordan con due generatori è speciale.[2] In relazione a questo, Il teorema di Macdonald afferma che qualsiasi polinomio in tre variabili, che ha grado uno in una delle variabili, e questo svanisce in ogni speciale algebra di Jordan, svanisce in ogni algebra di Jordan.[3] Hermitian Jordan algebras If (UN, p) è un'algebra associativa con un'involuzione σ, allora se σ(X)=x e σ(y)=y ne consegue che {displaystyle sigma (xy+yx)=xy+yx.} Quindi l'insieme di tutti gli elementi fissati dall'involuzione (a volte chiamati gli elementi eremiti) formare una sottoalgebra di A+, che a volte è indicato con H(UN,p).

Esempi 1. L'insieme del reale autoaggiunto, complesso, o matrici quaternioniche con moltiplicazione {stile di visualizzazione (xy+yx)/2} formare una speciale algebra di Jordan.

2. L'insieme delle matrici autoaggiunte 3×3 sugli ottoni, ancora con la moltiplicazione {stile di visualizzazione (xy+yx)/2,} è un 27 dimensionale, eccezionale algebra di Jordan (è eccezionale perché gli ottoni non sono associativi). Questo è stato il primo esempio di algebra di Albert. Il suo gruppo di automorfismi è l'eccezionale gruppo di Lie F4. Poiché oltre i numeri complessi questa è l'unica algebra di Jordan eccezionale semplice fino all'isomorfismo,[4] è spesso indicato come "il" eccezionale algebra di Jordan. Sui numeri reali ci sono tre classi di isomorfismo di semplici algebre di Jordan eccezionali.[4] Derivations and structure algebra A derivation of a Jordan algebra A is an endomorphism D of A such that D(xy) = d(X)y+xD(y). Le derivazioni formano una Lie algebra der(UN). L'identità di Jordan implica che se xey sono elementi di A, quindi l'endomorfismo che invia z a x(yz)−y(xz) è una derivazione. Quindi la somma diretta di A e der(UN) può essere trasformato in un'algebra di Lie, chiamata algebra delle strutture di A, str(UN).

Un semplice esempio è fornito dalle algebre hermitian Jordan H(UN,p). In questo caso qualsiasi elemento x di A con σ(X)=−x definisce una derivazione. In molti esempi importanti, l'algebra strutturale di H(UN,p) è un.

Anche le algebre di derivazione e struttura fanno parte della costruzione di Tits del quadrato magico di Freudenthal.

Formally real Jordan algebras A (possibilmente non associativo) l'algebra sui numeri reali si dice formalmente reale se soddisfa la proprietà che una somma di n quadrati può svanire solo se ciascuno svanisce individualmente. In 1932, Jordan ha tentato di assiomatizzare la teoria quantistica dicendo che l'algebra delle osservabili di qualsiasi sistema quantistico dovrebbe essere un'algebra formalmente reale che è commutativa (xy = yx) e potere associativo (la legge associativa vale per i prodotti che coinvolgono solo x, in modo che le potenze di qualsiasi elemento x siano definite in modo inequivocabile). Ha dimostrato che qualsiasi algebra del genere è un'algebra di Jordan.

Non tutte le algebre di Jordan sono formalmente reali, ma Giordano, von Neumann & Wigner (1934) classificato le algebre di Jordan formalmente reali a dimensione finita, dette anche algebre di Giordania euclidea. Ogni algebra di Jordan formalmente reale può essere scritta come somma diretta di cosiddette semplici, che non sono esse stesse somme dirette in modo non banale. A dimensioni finite, le semplici algebre di Jordan formalmente reali vengono in quattro famiglie infinite, insieme ad un caso eccezionale: L'algebra di Jordan di n×n matrici reali autoaggiunte, come sopra. L'algebra di Jordan di n×n matrici complesse autoaggiunte, come sopra. L'algebra di Jordan di n×n matrici quaternioniche autoaggiunte. come sopra. L'algebra di Jordan generata liberamente da Rn con le relazioni {stile di visualizzazione x^{2}=angolo x,xrangle } dove il lato destro è definito utilizzando il solito prodotto interno su Rn. Questo è talvolta chiamato fattore di spin o algebra di Jordan di tipo Clifford. L'algebra di Jordan di matrici ottoniche autoaggiunte 3×3, come sopra (un'eccezionale algebra di Jordan chiamata algebra di Albert).

Di queste possibilità, finora sembra che la natura faccia uso solo delle n×n matrici complesse come algebre di osservabili. Tuttavia, i fattori di spin giocano un ruolo nella relatività speciale, e tutte le algebre di Jordan formalmente reali sono legate alla geometria proiettiva.

Peirce decomposition If e is an idempotent in a Jordan algebra A (e2 = e) e R è l'operazione di moltiplicazione per e, then R(2R − 1)(R − 1) = 0 so the only eigenvalues of R are 0, 1/2, 1. Se l'algebra di Jordan A è a dimensione finita su un campo di caratteristica no 2, this implies that it is a direct sum of subspaces A = A0(e) ⊕ A1/2(e) ⊕ A1(e) dei tre autospazi. Questa decomposizione è stata considerata per la prima volta da Jordan, von Neumann & Wigner (1934) per algebre di Jordan totalmente reali. Successivamente fu studiato in piena generalità da Albert (1947) and called the Peirce decomposition of A relative to the idempotent e.[5] Generalizations Infinite-dimensional Jordan algebras In 1979, Efim Zelmanov ha classificato il semplice infinito-dimensionale (e primo non degenerato) Algebre di Jordan. Sono di tipo hermitiano o di Clifford. In particolare, le uniche eccezionali algebre di Jordan semplici sono le algebre di Albert a dimensione finita, che hanno dimensione 27.

Algebre degli operatori Jordan Articolo principale: Jordan operator algebra The theory of operator algebras has been extended to cover Jordan operator algebras.

Le controparti delle algebre C* sono le algebre JB, che in dimensioni finite sono dette algebre euclidee di Jordan. La norma sull'algebra reale di Jordan deve essere completa e soddisfare gli assiomi: {stile di visualizzazione stile di visualizzazione {|acirc b|leq |un|cdot |b|,,,,|un^{2}|=|un|^{2},,,,|un^{2}|leq |un^{2}+b^{2}|.}} Questi assiomi garantiscono che l'algebra di Jordan sia formalmente reale, affinché, se la somma dei quadrati dei termini è zero, quei termini devono essere zero. Le complessificazioni delle algebre JB sono chiamate Jordan C*-algebre o JB*-algebre. Sono stati ampiamente utilizzati nella geometria complessa per estendere il trattamento algebrico di Jordan di Koecher di domini simmetrici limitati a dimensioni infinite. Non tutte le algebre JB possono essere realizzate come algebre di Jordan di operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert, esattamente come nelle dimensioni finite. L'eccezionale algebra di Albert è l'ostacolo comune.

L'analogo dell'algebra di Jordan delle algebre di von Neumann è interpretato dalle algebre di JBW. Queste risultano essere algebre JB che, come spazi di Banach, sono gli spazi duali degli spazi di Banach. Gran parte della teoria della struttura delle algebre di von Neumann può essere trasferita alle algebre JBW. In particolare i fattori JBW, quelli con centro ridotto a R, sono completamente compresi in termini di algebre di von Neumann. A parte l'eccezionale algebra di Albert, tutti i fattori JWB possono essere realizzati come algebre di Jordan di operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert chiuso nella topologia dell'operatore debole. Di questi i fattori di spin possono essere costruiti molto semplicemente da spazi di Hilbert reali. Tutti gli altri fattori JWB sono o la parte autoaggiuntiva di un fattore di von Neumann o la sua subalgebra a punto fisso in un periodo 2 *-antiautomorfismo del fattore di von Neumann.[6] Jordan rings A Jordan ring is a generalization of Jordan algebras, richiedendo solo che l'anello del Giordano si trovi su un anello generale piuttosto che su un campo. In alternativa si può definire un anello Jordan come un anello commutativo non associativo che rispetta l'identità Jordan.

Jordan superalgebras Jordan superalgebras were introduced by Kac, Kantor e Kaplansky; questi sono {displaystyle mathbb {Z} /2} -algebre graduate {stile di visualizzazione J_{0}oplus J_{1}} dove {stile di visualizzazione J_{0}} è un'algebra di Jordan e {stile di visualizzazione J_{1}} ha un "Come una bugia" prodotto con valori in {stile di visualizzazione J_{0}} .[7] Qualunque {displaystyle mathbb {Z} /2} -algebra associativa graduata {stile di visualizzazione A_{0}più A_{1}} diventa una superalgebra Jordan rispetto alla doppietta Jordan graduata {stile di visualizzazione {X_{io},si_{j}}=x_{io}si_{j}+(-1)^{ij}si_{j}X_{io} .} Jordan semplici superalgebre su un campo caratteristico algebricamente chiuso 0 sono stati classificati da Kac (1977). Includono diverse famiglie e alcune algebre eccezionali, in particolare {stile di visualizzazione K_{3}} e {stile di visualizzazione K_{10}} .

J-strutture Articolo principale: J-structure The concept of J-structure was introduced by Springer (1973) sviluppare una teoria delle algebre di Jordan utilizzando gruppi e assiomi algebrici lineari prendendo l'inversione di Jordan come operazione di base e l'identità di Hua come relazione di base. In caratteristica non uguale a 2 la teoria delle J-strutture è essenzialmente la stessa di quella delle algebre di Jordan.

Algebre quadratiche di Jordan Articolo principale: Quadratic Jordan algebra Quadratic Jordan algebras are a generalization of (lineare) Jordan algebras introduced by Kevin McCrimmon (1966). Le identità fondamentali della rappresentazione quadratica di un'algebra di Jordan lineare sono usate come assiomi per definire un'algebra di Jordan quadratica su un campo di caratteristiche arbitrarie. Esiste una descrizione uniforme delle semplici algebre di Jordan quadratiche a dimensione finita, indipendente dalla caratteristica: in caratteristica non uguale a 2 la teoria delle algebre di Jordan quadratiche si riduce a quella delle algebre di Jordan lineari.

Vedi anche Algebra di Freudenthal Jordan triplo sistema Jordan coppia Kantor–Koecher–Tits costruzione Varietà Scorza Note ^ Salta su: a b Jacobson 1968, pp. 35–36, specificatamente osservazione prima (56) e teorema 8 ^ McCrimmon 2004, p. 100 ^ McCrimmon 2004, p. 99 ^ Salta su: a b Springer & Veldkamp 2000, §5.8, p. 153 ^ McCrimmon 2004, pp. 99 et seq, 235 e seguenti ^ Vedi: Hanche-Olsen & Størmer 1984 Upmeier 1985 Upmeier 1987 Faraut & Koranyi 1994 ^ McCrimmon 2004, pp. 9–10 References Albert, UN. Adriano (1946), "Sulle algebre di Jordan delle trasformazioni lineari", Transazioni dell'American Mathematical Society, 59 (3): 524–555, doi:10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990270, SIG 0016759 Alberto, UN. Adriano (1947), "Una teoria della struttura per le algebre di Jordan", Annali di matematica, Seconda serie, 48 (3): 546–567, doi:10.2307/1969128, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969128, SIG 0021546 Baez, John C. (2002). "§3: Geometria ottonionica proiettiva". Le Octonions. Bollettino dell'American Mathematical Society. Toro. Amer. Matematica. soc. vol. 39. pp. 145–205. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. SIG 1886087. S2CID 586512.. Versione HTML in linea. Caccia, J.; Koranyi, UN. (1994), Analisi su coni simmetrici, Monografie matematiche di Oxford, la stampa dell'università di Oxford, ISBN 0198534779 Hanche-Olsen, H.; Tempesta, e. (1984), Algebre degli operatori di Jordan, Monografie e studi in matematica, vol. 21, Pitman, ISBN 0273086197 Jacobson, Nathan (2008) [1968], Struttura e rappresentazioni delle algebre di Jordan, Pubblicazioni del colloquio dell'American Mathematical Society, vol. 39, Provvidenza, RI: Società matematica americana, ISBN 9780821831793, SIG 0251099 Jordan, Pasquale (1933), "Sulle possibilità di generalizzazione del formalismo della meccanica quantistica", Nachr. Ritardo. Wiss. Gottinga. Matematica. Phys. Kl. io, 41: 209–217 Giordania, P.; di Neumann, J.; Wigner, e. (1934), "Su una generalizzazione algebrica del formalismo quantomeccanico", Annali di matematica, 35 (1): 29–64, doi:10.2307/1968117, JSTOR 1968117 Kac, Victor G (1977), "Classificazione delle superalgebre di Lie semplici con grado Z e delle superalgebre di Jordan semplici", Comunicazioni in Algebra, 5 (13): 1375–1400, doi:10.1080/00927877708822224, ISSN 0092-7872, SIG 0498755 McCrimmon, Kevin (1966), "Una teoria generale degli anelli di Giordania", Proc. Natl. Accad. Sci. STATI UNITI D'AMERICA., 56 (4): 1072–1079, Bibcode:1966PNA...56.1072M, doi:10.1073/pnas.56.4.1072, JSTOR 57792, SIG 0202783, PMC 220000, PMID 16591377, Zbl 0139.25502 McCrimmon, Kevin (2004), Un assaggio delle algebre di Jordan, Universitext, Berlino, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, SIG 2014924, Zbl 1044.17001, Errata di Ichiro Satake (1980), Strutture algebriche di domini simmetrici, Stampa dell'Università di Princeton, ISBN 978-0-691-08271-4. Recensione Schafer, Riccardo D. (1996), Introduzione alle algebre non associative, Pubblicazioni Courier Dover, ISBN 978-0-486-68813-8, Zbl 0145.25601 Zhevlakov, K.A.; Slin'ko, SONO.; Shestakov, I.P.; Shirshov, AI. (1982) [1978]. Anelli che sono quasi associativi. Stampa accademica. ISBN 0-12-779850-1. SIG 0518614. Zbl 0487.17001. Slin'ko, SONO. (2001) [1994], "Algebra di Giordania", Enciclopedia della matematica, EMS Press Springer, Tonny A. (1998) [1973], Algebre di Jordan e gruppi algebrici, I classici in matematica, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-61970-0, ISBN 978-3-540-63632-8, SIG 1490836, Zbl 1024.17018 Springer, Tonny A.; Campo da campo, Ferdinando D. (2000) [1963], Ottoni, Algebre di Jordan e gruppi eccezionali, Monografie di Springer in matematica, Berlino, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12622-6, ISBN 978-3-540-66337-9, SIG 1763974 Upmeier, H. (1985), Varietà simmetriche di Banach e algebre di Jordan C∗, Studi di matematica dell'Olanda settentrionale, vol. 104, ISBN 0444876510 Upmeier, H. (1987), Algebre di Jordan in analisi, teoria degli operatori, e meccanica quantistica, Serie di conferenze regionali CBMS in matematica, vol. 67, Società matematica americana, ISBN 082180717X Further reading Knus, Max-Albert; di Mercurio, Alessandro; Rost, Marco; Tignol, JeanPierre (1998), Il libro delle involuzioni, Pubblicazioni Colloquio, vol. 44, Con una prefazione di J. Tette, Provvidenza, RI: Società matematica americana, ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001 External links Jordan algebra at PlanetMath Jordan-Banach and Jordan-Lie algebras at PlanetMath Authority control: National libraries IsraelUnited StatesJapan Categories: Algebre non associative