Algèbre de Jordanie

Algèbre de Jordanie (Redirigé à partir du théorème de Shirshov-Cohn) Aller à la navigation Aller à la recherche En algèbre abstraite, une algèbre de Jordan est une algèbre non associative sur un corps dont la multiplication satisfait les axiomes suivants: {style d'affichage xy=yx} (Loi commutative) {style d'affichage (xy)(xx)=x(y(xx))} (Identité jordanienne).

Le produit de deux éléments x et y dans une algèbre de Jordan est également noté x ∘ y, en particulier pour éviter toute confusion avec le produit d'une algèbre associative apparentée.

Les axiomes impliquent[1] qu'une algèbre de Jordan est associative de puissance, qui veut dire {style d'affichage x^{n}=xcdots x} est indépendant de la façon dont nous mettons cette expression entre parenthèses. Ils impliquent également[1] ce {style d'affichage x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)} pour tous les entiers positifs m et n. Ainsi, nous pouvons définir de manière équivalente une algèbre de Jordan comme étant commutative, algèbre associative de puissance telle que pour tout élément {style d'affichage x} , les opérations de multiplication par des puissances {style d'affichage x^{n}} tous font la navette.

Jordan algebras were first introduced by Pascual Jordan (1933) formaliser la notion d'algèbre d'observables en mécanique quantique. Ils s'appelaient à l'origine "systèmes de nombres r", mais ont été renommés "Algèbres de Jordan" by Abraham Adrian Albert (1946), qui a commencé l'étude systématique des algèbres générales de Jordan.

Contenu 1 Algèbres de Jordan spéciales 1.1 Algèbres hermitiennes de Jordan 2 Exemples 3 Dérivations et algèbre de structure 4 Algèbres de Jordan formellement réelles 5 Décomposition de Peirce 6 Généralisations 6.1 Algèbres de Jordan de dimension infinie 6.2 Algèbres d'opérateurs de Jordan 6.3 Jordan anneaux 6.4 Superalgèbres de Jordan 6.5 Structures en J 6.6 Algèbres de Jordan quadratiques 7 Voir également 8 Remarques 9 Références 10 Lectures complémentaires 11 External links Special Jordan algebras Given an associative algebra A (pas de caractéristique 2), on peut construire une algèbre de Jordan A+ en utilisant le même espace vectoriel d'addition sous-jacent. Remarquons d'abord qu'une algèbre associative est une algèbre de Jordan si et seulement si elle est commutative. S'il n'est pas commutatif on peut définir une nouvelle multiplication sur A pour le rendre commutatif, et en fait en faire une algèbre de Jordan. La nouvelle multiplication x ∘ y est le produit de Jordan: {style d'affichage xcirc y={frac {xy+yx}{2}}.} Ceci définit une algèbre de Jordan A+, et nous appelons ces algèbres de Jordan, ainsi que toutes les sous-algèbres de ces algèbres de Jordan, algèbres de Jordan spéciales. Toutes les autres algèbres de Jordan sont appelées algèbres de Jordan exceptionnelles. Le théorème de Shirshov-Cohn stipule que toute algèbre de Jordan avec deux générateurs est spéciale.[2] Lié à ceci, Le théorème de Macdonald stipule que tout polynôme à trois variables, qui a le degré un dans l'une des variables, et qui disparaît dans chaque algèbre spéciale de Jordan, disparaît dans chaque algèbre de Jordan.[3] Hermitian Jordan algebras If (UN, p) est une algèbre associative d'involution σ, alors si σ(X)=x et σ(y)=y il s'ensuit que {style d'affichage sigma (xy+yx)=xy+yx.} Ainsi l'ensemble de tous les éléments fixés par l'involution (parfois appelés les éléments hermitiens) former une sous-algèbre de A+, qui est parfois noté H(UN,p).

Exemples 1. L'ensemble des réels auto-adjoints, complexe, ou matrices quaternioniques avec multiplication {style d'affichage (xy+yx)/2} former une algèbre de Jordan spéciale.

2. L'ensemble des matrices auto-adjointes 3 × 3 sur les octonions, encore une fois avec multiplication {style d'affichage (xy+yx)/2,} est un 27 dimensionnel, algèbre de Jordan exceptionnelle (c'est exceptionnel car les octonions ne sont pas associatifs). C'était le premier exemple d'une algèbre d'Albert. Son groupe d'automorphismes est le groupe de Lie exceptionnel F4. Puisque sur les nombres complexes c'est la seule algèbre de Jordan exceptionnelle simple jusqu'à l'isomorphisme,[4] on l'appelle souvent "la" algèbre de Jordan exceptionnelle. Sur les nombres réels, il existe trois classes d'isomorphismes d'algèbres de Jordan exceptionnelles simples.[4] Derivations and structure algebra A derivation of a Jordan algebra A is an endomorphism D of A such that D(xy) =D(X)a+xD(y). Les dérivations forment une algèbre de Lie der(UN). L'identité de Jordan implique que si x et y sont des éléments de A, alors l'endomorphisme envoyant z vers x(yz)−y(xz) est une dérivation. Ainsi la somme directe de A et der(UN) peut être transformé en une algèbre de Lie, appelée algèbre de structure de A, chaîne(UN).

Un exemple simple est fourni par les algèbres hermitiennes de Jordan H(UN,p). Dans ce cas tout élément x de A avec σ(X)=−x définit une dérivation. Dans de nombreux exemples importants, l'algèbre de structure de H(UN,p) est un.

Les algèbres de dérivation et de structure font également partie de la construction par Tits du carré magique de Freudenthal.

Formally real Jordan algebras A (éventuellement non associatif) l'algèbre sur les nombres réels est dite formellement réelle si elle satisfait la propriété qu'une somme de n carrés ne peut disparaître que si chacun disparaît individuellement. Dans 1932, Jordan a tenté d'axiomatiser la théorie quantique en disant que l'algèbre des observables de tout système quantique devrait être une algèbre formellement réelle commutative (xy = yx) et pouvoir-associatif (la loi associative vaut pour les produits impliquant seulement x, de sorte que les puissances de tout élément x sont définies sans ambiguïté). Il a prouvé que toute algèbre de ce type est une algèbre de Jordan.

Toutes les algèbres de Jordan ne sont pas formellement réelles, mais la Jordanie, von Neumann & Wigner (1934) classifié les algèbres de Jordan formellement réelles de dimension finie, aussi appelées algèbres euclidiennes de Jordan. Chaque algèbre de Jordan formellement réelle peut être écrite comme une somme directe de soi-disant simples, qui ne sont pas eux-mêmes des sommes directes de manière non triviale. En dimensions finies, les algèbres de Jordan formellement réelles simples se répartissent en quatre familles infinies, ainsi qu'un cas exceptionnel: L'algèbre de Jordan des matrices réelles auto-adjointes n × n, comme ci-dessus. L'algèbre de Jordan des matrices complexes auto-adjointes n × n, comme ci-dessus. L'algèbre de Jordan des matrices quaternioniques auto-adjointes n × n. comme ci-dessus. L'algèbre de Jordan librement engendrée par Rn avec les relations {style d'affichage x^{2}=angle x,xrangle } où le membre de droite est défini par le produit scalaire usuel sur Rn. Ceci est parfois appelé un facteur de spin ou une algèbre de Jordan de type Clifford. L'algèbre de Jordan des matrices octonioniques auto-adjointes 3 × 3, comme ci-dessus (une algèbre de Jordan exceptionnelle appelée algèbre d'Albert).

De ces possibilités, jusqu'à présent, il semble que la nature n'utilise que les matrices complexes n × n comme algèbres d'observables. Cependant, les facteurs de spin jouent un rôle dans la relativité restreinte, et toutes les algèbres de Jordan formellement réelles sont liées à la géométrie projective.

Peirce decomposition If e is an idempotent in a Jordan algebra A (e2 = e) et R est l'opération de multiplication par e, then R(2R − 1)(R − 1) = 0 so the only eigenvalues of R are 0, 1/2, 1. Si l'algèbre de Jordan A est de dimension finie sur un corps de caractéristique non 2, this implies that it is a direct sum of subspaces A = A0(e) ⊕ A1/2(e) ⊕ A1(e) des trois espaces propres. Cette décomposition a d'abord été envisagée par Jordan, von Neumann & Wigner (1934) pour des algèbres de Jordan totalement réelles. Il a ensuite été étudié en toute généralité par Albert (1947) and called the Peirce decomposition of A relative to the idempotent e.[5] Generalizations Infinite-dimensional Jordan algebras In 1979, Efim Zelmanov classé simple de dimension infinie (et premier non dégénéré) Algèbres de Jordan. Ils sont soit de type hermitien, soit de type Clifford. En particulier, les seules algèbres de Jordan simples exceptionnelles sont les algèbres d'Albert de dimension finie, qui ont une dimension 27.

Algèbres d'opérateurs de Jordan Article principal: Jordan operator algebra The theory of operator algebras has been extended to cover Jordan operator algebras.

Les homologues des algèbres C* sont les algèbres JB, qui en dimensions finies sont appelées algèbres euclidiennes de Jordan. La norme sur l'algèbre de Jordan réelle doit être complète et satisfaire les axiomes: {style d'affichage style d'affichage {|acirc b|leq |un|cdot |b|,,,,|un ^{2}|=|un|^{2},,,,|un ^{2}|leq |un ^{2}+b^{2}|.}} Ces axiomes garantissent que l'algèbre de Jordan est formellement réelle, pour que, si la somme des carrés des termes est nulle, ces termes doivent être nuls. Les complexifications des algèbres JB sont appelées Jordan C*-algèbres ou JB*-algèbres. Ils ont été largement utilisés en géométrie complexe pour étendre le traitement algébrique de Jordan de Koecher des domaines symétriques bornés à des dimensions infinies. Toutes les algèbres JB ne peuvent pas être réalisées comme des algèbres de Jordan d'opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert, exactement comme en dimension finie. L'algèbre d'Albert exceptionnelle est l'obstacle commun.

L'analogue de l'algèbre de Jordan des algèbres de von Neumann est joué par les algèbres JBW. Celles-ci s'avèrent être des algèbres JB qui, comme espaces de Banach, sont les espaces duaux des espaces de Banach. Une grande partie de la théorie de la structure des algèbres de von Neumann peut être transposée aux algèbres JBW. En particulier, les facteurs JBW - ceux dont le centre est réduit à R - sont complètement compris en termes d'algèbres de von Neumann. En dehors de l'exceptionnelle algèbre d'Albert, tous les facteurs JWB peuvent être réalisés comme des algèbres de Jordan d'opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert fermé dans la topologie des opérateurs faibles. Parmi ceux-ci, les facteurs de spin peuvent être construits très simplement à partir d'espaces de Hilbert réels. Tous les autres facteurs JWB sont soit la partie auto-adjointe d'un facteur de von Neumann, soit sa sous-algèbre à virgule fixe sous une période 2 *-anti-automorphisme du facteur de von Neumann.[6] Jordan rings A Jordan ring is a generalization of Jordan algebras, exigeant seulement que l'anneau de Jordanie soit au-dessus d'un anneau général plutôt qu'un champ. Alternativement, on peut définir un anneau de Jordan comme un anneau commutatif non associatif qui respecte l'identité de Jordan.

Jordan superalgebras Jordan superalgebras were introduced by Kac, Kantor et Kaplansky; ceux-ci sont {style d'affichage mathbb {Z} /2} -algèbres graduées {displaystyle J_{0}plus J_{1}} où {displaystyle J_{0}} est une algèbre de Jordan et {displaystyle J_{1}} a un "Comme un mensonge" produit avec des valeurs dans {displaystyle J_{0}} .[7] N'importe quel {style d'affichage mathbb {Z} /2} -algèbre associative graduée {style d'affichage A_{0}plus A_{1}} devient une superalgèbre de Jordan par rapport à l'accolade de Jordan graduée {style d'affichage {X_{je},y_{j}}=x_{je}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}X_{je} .} Superalgèbres simples de Jordan sur un corps de caractéristique algébriquement clos 0 ont été classés par Kac (1977). Elles comprennent plusieurs familles et quelques algèbres exceptionnelles, notamment {style d'affichage K_{3}} et {style d'affichage K_{10}} .

Structures en J Article principal: J-structure The concept of J-structure was introduced by Springer (1973) développer une théorie des algèbres de Jordan en utilisant des groupes algébriques linéaires et des axiomes prenant l'inversion de Jordan comme opération de base et l'identité de Hua comme relation de base. En caractéristique non égale à 2 la théorie des J-structures est essentiellement la même que celle des algèbres de Jordan.

Algèbres de Jordan quadratiques Article principal: Quadratic Jordan algebra Quadratic Jordan algebras are a generalization of (linéaire) Jordan algebras introduced by Kevin McCrimmon (1966). Les identités fondamentales de la représentation quadratique d'une algèbre de Jordan linéaire sont utilisées comme axiomes pour définir une algèbre de Jordan quadratique sur un corps de caractéristique arbitraire. Il existe une description uniforme des algèbres de Jordan quadratiques simples de dimension finie, indépendant de la caractéristique: en caractéristique non égale à 2 la théorie des algèbres de Jordan quadratiques se réduit à celle des algèbres de Jordan linéaires.

Voir aussi Algèbre freudentale Triple système de Jordan Paire de Jordan Construction de Kantor–Koecher–Tits Variété de Scorza Notes: a b Jacobson 1968, pp. 35–36, remarquez spécifiquement avant (56) et théorème 8 ^ McCrimmon 2004, p. 100 ^ McCrimmon 2004, p. 99 ^ Sauter à: a b Springer & Veldkamp 2000, §5.8, p. 153 ^ McCrimmon 2004, pp. 99 et seq, 235 et suivants ^ Voir: Hanche-Olsen & Størmer 1984 Upmeier 1985 Upmeier 1987 Faraut & Koranyi 1994 ^ McCrimmon 2004, pp. 9–10 References Albert, UN. Adrien (1946), "Sur les algèbres de Jordan des transformations linéaires", Transactions de l'American Mathematical Society, 59 (3): 524–555, est ce que je:10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990270, M 0016759 Albert, UN. Adrien (1947), "Une théorie de structure pour les algèbres de Jordan", Annales de Mathématiques, Deuxième série, 48 (3): 546–567, est ce que je:10.2307/1969128, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969128, M 0021546 Baez, Jean C. (2002). "§3: Géométrie octonionique projective". Les Octonions. Bulletin de l'American Mathematical Society. Taureau. Amer. Math. Soc. Volume. 39. pp. 145–205. est ce que je:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. M 1886087. S2CID 586512.. Version HTML en ligne. Chasse, J; Koranyi, UN. (1994), Analyse sur cônes symétriques, Monographies mathématiques d'Oxford, Presse universitaire d'Oxford, ISBN 0198534779 Hanche-Olsen, H; Assaut, E. (1984), Algèbres d'opérateurs de Jordan, Monographies et études en mathématiques, volume. 21, Pitman, ISBN 0273086197 Jacobson, Nath (2008) [1968], Structure et représentations des algèbres de Jordan, Publications du colloque de l'American Mathematical Society, volume. 39, Providence, R.I.: Société mathématique américaine, ISBN 9780821831793, M 0251099 Jordan, Pascal (1933), "Sur les possibilités de généralisation du formalisme de la mécanique quantique", Nachr. Décalages. Wiss. Göttingen. Math. Physique. Kl. je, 41: 209–217 Jordanie, P; par Neumann, J; Wigner, E. (1934), "Sur une généralisation algébrique du formalisme de la mécanique quantique", Annales de Mathématiques, 35 (1): 29–64, est ce que je:10.2307/1968117, JSTOR 1968117 Kac, Victor G. (1977), "Classification des superalgèbres de Lie simples graduées en Z et des superalgèbres de Jordan simples", Communications en algèbre, 5 (13): 1375–1400, est ce que je:10.1080/00927877708822224, ISSN 0092-7872, M 0498755 McCrimmon, Kévin (1966), "Une théorie générale des anneaux de Jordan", Proc. Natl. Acad. SCI. ETATS-UNIS., 56 (4): 1072–1079, Code bib:1966PNAS...56.1072M, est ce que je:10.1073/pnas.56.4.1072, JSTOR 57792, M 0202783, PMC 220000, PMID 16591377, Zbl 0139.25502 McCrimmon, Kévin (2004), Un avant-goût des algèbres de Jordan, Universitext, Berlin, New York: Springer Verlag, est ce que je:10.1007/b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, M 2014924, Zbl 1044.17001, Errata d'Ichiro Satake (1980), Structures algébriques des domaines symétriques, Presse de l'Université de Princeton, ISBN 978-0-691-08271-4. Donnez votre avis sur Schäfer, Richard D.. (1996), Une introduction aux algèbres non associatives, Courrier Douvres Publications, ISBN 978-0-486-68813-8, Zbl 0145.25601 Zhevlakov, KA; Slin'ko, UN M.; Shestakov, IP; Chirchov, IA. (1982) [1978]. Des anneaux presque associatifs. Presse académique. ISBN 0-12-779850-1. M 0518614. Zbl 0487.17001. Slin'ko, UN M. (2001) [1994], "Algèbre de Jordanie", Encyclopédie des mathématiques, Presse EMS Springer, Tony A. (1998) [1973], Algèbres de Jordan et groupes algébriques, Classiques en mathématiques, Springer Verlag, est ce que je:10.1007/978-3-642-61970-0, ISBN 978-3-540-63632-8, M 1490836, Zbl 1024.17018 Springer, Tony A.; Camp sur le terrain, Ferdinand D.. (2000) [1963], Octonions, Algèbres de Jordan et groupes exceptionnels, Monographies Springer en mathématiques, Berlin, New York: Springer Verlag, est ce que je:10.1007/978-3-662-12622-6, ISBN 978-3-540-66337-9, M 1763974 Upmeier, H. (1985), Variétés symétriques de Banach et algèbres C∗ de Jordan, Études de mathématiques en Hollande du Nord, volume. 104, ISBN 0444876510 Upmeier, H. (1987), Algèbres de Jordan en analyse, théorie des opérateurs, et mécanique quantique, Série de conférences régionales CBMS en mathématiques, volume. 67, Société mathématique américaine, ISBN 082180717X Further reading Knus, Max Albert; Mercure, Alexandre; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), Le livre des involutions, Publications du colloque, volume. 44, Avec une préface de J.. Seins, Providence, IR: Société mathématique américaine, ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001 External links Jordan algebra at PlanetMath Jordan-Banach and Jordan-Lie algebras at PlanetMath Authority control: National libraries IsraelUnited StatesJapan Categories: Algèbres non associatives