Jordanische Algebra

Jordanische Algebra (Umgeleitet vom Shirshov-Cohn-Theorem) Zur Navigation springen Zur Suche springen In abstrakter Algebra, Eine Jordan-Algebra ist eine nichtassoziative Algebra über einem Körper, dessen Multiplikation die folgenden Axiome erfüllt: {Anzeigestil xy=yx} (Kommutativgesetz) {Anzeigestil (xy)(xx)=x(j(xx))} (Jordanische Identität).

Das Produkt zweier Elemente x und y in einer Jordan-Algebra wird auch als x ∘ y bezeichnet, insbesondere um Verwechslungen mit dem Produkt einer verwandten assoziativen Algebra zu vermeiden.

Die Axiome implizieren[1] dass eine Jordan-Algebra potenzassoziativ ist, bedeutet, dass {Anzeigestil x^{n}=xcPunkte x} ist unabhängig davon, wie wir diesen Ausdruck in Klammern setzen. Sie implizieren auch[1] das {Anzeigestil x^{m}(x^{n}j)=x^{n}(x^{m}j)} für alle positiven ganzen Zahlen m und n. Daher, Wir können äquivalent eine Jordan-Algebra als Kommutativ definieren, Potenz-assoziative Algebra so dass für jedes Element {Anzeigestil x} , die Operationen der Multiplikation mit Potenzen {Anzeigestil x^{n}} alle pendeln.

Jordan algebras were first introduced by Pascual Jordan (1933) den Begriff einer Algebra von Observablen in der Quantenmechanik zu formalisieren. Ursprünglich hießen sie "r-Nummernsysteme", wurden aber umbenannt "Jordanische Algebren" by Abraham Adrian Albert (1946), der mit dem systematischen Studium der allgemeinen Jordan-Algebren begann.

Inhalt 1 Spezielle Jordan-Algebren 1.1 Hermitische Jordan-Algebren 2 Beispiele 3 Ableitungen und Strukturalgebra 4 Formal reelle Jordan-Algebren 5 Peirce-Zerlegung 6 Verallgemeinerungen 6.1 Unendlichdimensionale Jordan-Algebren 6.2 Jordanische Operatoralgebren 6.3 Jordan klingelt 6.4 Jordanische Superalgebren 6.5 J-Strukturen 6.6 Quadratische Jordan-Algebren 7 Siehe auch 8 Anmerkungen 9 Verweise 10 Weiterlesen 11 External links Special Jordan algebras Given an associative algebra A (nicht charakteristisch 2), Man kann eine Jordan-Algebra A+ konstruieren, indem man denselben zugrunde liegenden Additionsvektorraum verwendet. Beachten Sie zunächst, dass eine assoziative Algebra genau dann eine Jordan-Algebra ist, wenn sie kommutativ ist. Wenn es nicht kommutativ ist, können wir eine neue Multiplikation auf A definieren, um es kommutativ zu machen, und machen es tatsächlich zu einer Jordan-Algebra. Die neue Multiplikation x ∘ y ist das Jordanprodukt: {Anzeigestil xcirc y={frac {xy+yx}{2}}.} Dies definiert eine Jordan-Algebra A+, und wir nennen diese Jordan-Algebren, sowie alle Unteralgebren dieser Jordan-Algebren, spezielle Jordan-Algebren. Alle anderen Jordan-Algebren heißen außergewöhnliche Jordan-Algebren. Das Shirshov-Cohn-Theorem besagt, dass jede Jordan-Algebra mit zwei Generatoren speziell ist.[2] Im Zusammenhang damit, Der Satz von Macdonald besagt, dass jedes Polynom in drei Variablen, das in einer der Variablen Grad eins hat, und das verschwindet in jeder speziellen Jordan-Algebra, verschwindet in jeder Jordan-Algebra.[3] Hermitian Jordan algebras If (EIN, p) ist eine assoziative Algebra mit einer Involution σ, dann wenn σ(x)=x und σ(j)=y daraus folgt {Display-Sigma (xy+yx)=xy+yx.} Also die durch die Involution festgelegte Menge aller Elemente (manchmal auch hermitische Elemente genannt) eine Unteralgebra von A+ bilden, was manchmal als H bezeichnet wird(EIN,p).

Beispiele 1. Die Menge der selbstadjungierten reellen Zahlen, Komplex, oder quaternionische Matrizen mit Multiplikation {Anzeigestil (xy+yx)/2} eine spezielle Jordan-Algebra bilden.

2. Der Satz von 3 × 3 selbstadjungierten Matrizen über den Oktonionen, wieder mit Multiplikation {Anzeigestil (xy+yx)/2,} ist ein 27 dimensional, außergewöhnliche Jordan-Algebra (es ist außergewöhnlich, weil die Oktonionen nicht assoziativ sind). Dies war das erste Beispiel einer Albert-Algebra. Seine Automorphismengruppe ist die außergewöhnliche Lie-Gruppe F4. Denn über den komplexen Zahlen ist dies bis auf Isomorphie die einzige einfache außergewöhnliche Jordan-Algebra,[4] es wird oft als bezeichnet "das" außergewöhnliche Jordan-Algebra. Über den reellen Zahlen gibt es drei Isomorphieklassen einfacher außergewöhnlicher Jordan-Algebren.[4] Derivations and structure algebra A derivation of a Jordan algebra A is an endomorphism D of A such that D(xy) = D(x)y+xD(j). Die Ableitungen bilden eine Lie-Algebra der(EIN). Die Jordan-Identität impliziert, dass wenn x und y Elemente von A sind, dann sendet der Endomorphismus z an x(ja)−y(xz) ist eine Ableitung. Also die direkte Summe von A und der(EIN) kann in eine Lie-Algebra umgewandelt werden, heißt Strukturalgebra von A, Str(EIN).

Ein einfaches Beispiel liefern die hermitischen Jordan-Algebren H(EIN,p). In diesem Fall jedes Element x von A mit σ(x)=−x definiert eine Ableitung. An vielen wichtigen Beispielen, die Strukturalgebra von H(EIN,p) ist ein.

Ableitungs- und Strukturalgebren sind auch Teil von Tits' Konstruktion des Freudenthaler magischen Quadrats.

Formally real Jordan algebras A (möglicherweise nicht assoziativ) Algebra über den reellen Zahlen heißt formal reell, wenn sie die Eigenschaft erfüllt, dass eine Summe von n Quadraten nur dann verschwinden kann, wenn jedes einzeln verschwindet. Im 1932, Jordan versuchte, die Quantentheorie zu axiomatisieren, indem er sagte, dass die Algebra der Observablen jedes Quantensystems eine formal reelle Algebra sein sollte, die kommutativ ist (xy = yx) und machtassoziativ (das Assoziativgesetz gilt für Produkte, die nur x enthalten, so dass Potenzen jedes Elements x eindeutig definiert sind). Er bewies, dass jede solche Algebra eine Jordan-Algebra ist.

Nicht jede Jordan-Algebra ist formal reell, aber Jordanien, von Neumann & Wigner (1934) klassifizierte die endlichdimensionalen formal reellen Jordan-Algebren, auch Euklidische Jordan-Algebren genannt. Jede formal reelle Jordan-Algebra lässt sich als direkte Summe sogenannter einfacher schreiben, die auf nichttriviale Weise selbst keine direkten Summen sind. In endlichen Dimensionen, Die einfachen, formal reellen Jordan-Algebren kommen in vier unendliche Familien, zusammen mit einem Ausnahmefall: Die Jordan-Algebra von n × n selbstadjungierten reellen Matrizen, wie oben. Die Jordan-Algebra von n × n selbstadjungierten komplexen Matrizen, wie oben. Die Jordan-Algebra von n × n selbstadjungierten quaternionischen Matrizen. wie oben. Die von Rn frei generierte Jordan-Algebra mit den Relationen {Anzeigestil x^{2}=lang x,xrangle } wobei die rechte Seite mit dem üblichen Skalarprodukt auf Rn definiert ist. Dies wird manchmal als Spinfaktor oder als Jordan-Algebra vom Clifford-Typ bezeichnet. Die Jordan-Algebra von 3 × 3 selbstadjungierten oktonionischen Matrizen, wie oben (eine außergewöhnliche Jordan-Algebra namens Albert-Algebra).

Von diesen Möglichkeiten, Bisher scheint es, dass die Natur nur die n × n komplexen Matrizen als Algebren von Observablen verwendet. Jedoch, die Spinfaktoren spielen in der speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, und alle formal reellen Jordan-Algebren beziehen sich auf die projektive Geometrie.

Peirce decomposition If e is an idempotent in a Jordan algebra A (e2 = e) und R ist die Multiplikationsoperation mit e, then R(2R − 1)(R − 1) = 0 so the only eigenvalues of R are 0, 1/2, 1. Wenn die Jordan-Algebra A über einem Eigenschaftsfeld nicht endlichdimensional ist 2, this implies that it is a direct sum of subspaces A = A0(e) ⊕ A1/2(e) ⊕ A1(e) der drei Eigenräume. Diese Zerlegung wurde zuerst von Jordan betrachtet, von Neumann & Wigner (1934) für völlig echte Jordan-Algebren. Es wurde später in voller Allgemeinheit von Albert studiert (1947) and called the Peirce decomposition of A relative to the idempotent e.[5] Generalizations Infinite-dimensional Jordan algebras In 1979, Efim Zelmanov klassifiziert unendlichdimensional einfach (und prime nicht entartet) Jordanische Algebren. Sie sind entweder vom hermitischen oder vom Clifford-Typ. Im Speziellen, Die einzigen außergewöhnlichen einfachen Jordan-Algebren sind endlichdimensionale Albert-Algebren, die Dimension haben 27.

Jordanische Operatoralgebren Hauptartikel: Jordan operator algebra The theory of operator algebras has been extended to cover Jordan operator algebras.

Die Gegenstücke zu C*-Algebren sind JB-Algebren, die in endlichen Dimensionen euklidische Jordan-Algebren genannt werden. Die Norm zur reellen Jordan-Algebra muss vollständig sein und die Axiome erfüllen: {Anzeigestil Anzeigestil {|acirc b|leq |a|cdot |b|,,,,|ein^{2}|=|a|^{2},,,,|ein^{2}|leq |ein^{2}+b^{2}|.}} Diese Axiome garantieren, dass die Jordan-Algebra formal reell ist, so dass, wenn eine Summe von Quadraten von Termen Null ist, diese Terme müssen Null sein. Die Komplexifizierungen von JB-Algebren heißen Jordan C*-Algebren oder JB*-Algebren. Sie wurden ausgiebig in der komplexen Geometrie verwendet, um Koechers Jordan-algebraische Behandlung begrenzter symmetrischer Bereiche auf unendliche Dimensionen zu erweitern. Nicht alle JB-Algebren können als Jordan-Algebren selbstadjungierter Operatoren auf einem Hilbert-Raum realisiert werden, genau wie in endlichen Dimensionen. Die außergewöhnliche Albert-Algebra ist das gemeinsame Hindernis.

Das Jordan-Algebra-Analogon der von Neumann-Algebren wird von JBW-Algebren gespielt. Diese entpuppen sich als JB-Algebren, die, als Banachräume, sind die dualen Räume der Banachräume. Ein Großteil der Strukturtheorie der von Neumann-Algebren kann auf JBW-Algebren übertragen werden. Insbesondere die JBW-Faktoren – diejenigen, deren Zentrum auf R reduziert ist – werden vollständig in Bezug auf von Neumann-Algebren verstanden. Abgesehen von der außergewöhnlichen Albert-Algebra, alle JWB-Faktoren können als Jordan-Algebren selbstadjungierter Operatoren auf einem in der schwachen Operatortopologie abgeschlossenen Hilbert-Raum realisiert werden. Davon lassen sich die Spinfaktoren sehr einfach aus echten Hilberträumen konstruieren. Alle anderen JWB-Faktoren sind entweder der selbstadjungierte Teil eines von Neumann-Faktors oder seine Fixpunkt-Subalgebra unter einem Punkt 2 *-antiautomorphism of the von Neumann factor.[6] Jordan rings A Jordan ring is a generalization of Jordan algebras, Es ist nur erforderlich, dass der Jordanring über einem allgemeinen Ring und nicht über einem Feld liegt. Alternativ kann man einen Jordan-Ring als kommutativen nichtassoziativen Ring definieren, der die Jordan-Identität respektiert.

Jordan superalgebras Jordan superalgebras were introduced by Kac, Kantor und Kaplansky; diese sind {Anzeigestil mathbb {Z} /2} -abgestufte Algebren {Anzeigestil J_{0}oplus J_{1}} wo {Anzeigestil J_{0}} ist eine Jordan-Algebra und {Anzeigestil J_{1}} hat ein "Lügenhaft" Produkt mit Werten in {Anzeigestil J_{0}} .[7] Irgendein {Anzeigestil mathbb {Z} /2} -Graduierte assoziative Algebra {Anzeigestil A_{0}oplus A_{1}} wird eine Jordan-Superalgebra in Bezug auf die abgestufte Jordan-Klammer {Anzeigestil {x_{ich},y_{j}}=x_{ich}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{ich} .} Jordan einfache Superalgebren über einem algebraisch abgeschlossenen Eigenschaftsfeld 0 wurden von Kac klassifiziert (1977). Sie umfassen mehrere Familien und einige außergewöhnliche Algebren, vor allem {Anzeigestil K_{3}} und {Anzeigestil K_{10}} .

J-Strukturen Hauptartikel: J-structure The concept of J-structure was introduced by Springer (1973) Entwicklung einer Theorie der Jordan-Algebren unter Verwendung linearer algebraischer Gruppen und Axiome, wobei die Jordan-Inversion als grundlegende Operation und Huas Identität als grundlegende Beziehung verwendet werden. In Eigenschaft ungleich 2 Die Theorie der J-Strukturen ist im Wesentlichen dieselbe wie die der Jordan-Algebren.

Quadratische Jordan-Algebren Hauptartikel: Quadratic Jordan algebra Quadratic Jordan algebras are a generalization of (linear) Jordan algebras introduced by Kevin McCrimmon (1966). Die fundamentalen Identitäten der quadratischen Darstellung einer linearen Jordan-Algebra werden als Axiome verwendet, um eine quadratische Jordan-Algebra über einem Feld beliebiger Charakteristik zu definieren. Es gibt eine einheitliche Beschreibung von endlichdimensionalen einfachen quadratischen Jordan-Algebren, unabhängig vom Merkmal: in Eigenschaft ungleich 2 Die Theorie der quadratischen Jordan-Algebren reduziert sich auf die der linearen Jordan-Algebren.

Siehe auch Freudenthal-Algebra Jordan-Dreiersystem Jordan-Paar Kantor–Koecher–Tits-Konstruktion Scorza-Varietät Anmerkungen ^ Hochspringen zu: a b Jacobson 1968, pp. 35–36, ausdrücklich vorher anmerken (56) und Satz 8 ^ McCrimmon 2004, p. 100 ^ McCrimmon 2004, p. 99 ^ Nach oben springen: a b Springer & Veldkamp 2000, §5.8, p. 153 ^ McCrimmon 2004, pp. 99 et seq, 235 ff. ^ Siehe: Hanche-Olsen & Størmer 1984 Upmeier 1985 Upmeier 1987 Faraut & Koranyi 1994 ^ McCrimmon 2004, pp. 9–10 References Albert, EIN. Adrian (1946), "Über Jordanische Algebren linearer Transformationen", Transaktionen der American Mathematical Society, 59 (3): 524–555, doi:10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990270, HERR 0016759 Albert, EIN. Adrian (1947), "Eine Strukturtheorie für Jordan-Algebren", Annalen der Mathematik, Zweite Serie, 48 (3): 546–567, doi:10.2307/1969128, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969128, HERR 0021546 Baez, John C. (2002). "§3: Projektive oktonionische Geometrie". Die Octonions. Bulletin der American Mathematical Society. Stier. Amer. Mathematik. Soc. Vol. 39. pp. 145–205. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. HERR 1886087. S2CID 586512.. Online-HTML-Version. Jagd, J.; Koranyi, EIN. (1994), Analyse an symmetrischen Kegeln, Oxford Mathematische Monographien, Oxford University Press, ISBN 0198534779 Hanche-Olsen, H.; Sturm, E. (1984), Jordanische Operatoralgebren, Monographien und Studien zur Mathematik, vol. 21, Pitman, ISBN 0273086197 Jacobson, Nathan (2008) [1968], Struktur und Darstellungen von Jordan-Algebren, Veröffentlichungen des Kolloquiums der American Mathematical Society, vol. 39, Vorsehung, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft, ISBN 9780821831793, HERR 0251099 Jordan, Pascual (1933), "Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik", Nachr. Verzögerungen. Wiss. Göttingen. Mathematik. Phys. Kl. ich, 41: 209–217 Jordanien, P.; von Neumann, J.; Wigner, E. (1934), "Zu einer algebraischen Verallgemeinerung des quantenmechanischen Formalismus", Annalen der Mathematik, 35 (1): 29–64, doi:10.2307/1968117, JSTOR 1968117 Kac, Viktor G (1977), "Klassifikation einfacher Lie-Superalgebren mit Z-Grad und einfacher Jordan-Superalgebren", Kommunikation in der Algebra, 5 (13): 1375–1400, doi:10.1080/00927877708822224, ISSN 0092-7872, HERR 0498755 McCrimmon, Kevin (1966), "Eine allgemeine Theorie der Jordanringe", Proz. Natl. Akad. Wissenschaft. VEREINIGTE STAATEN VON AMERIKA., 56 (4): 1072–1079, Bibcode:1966PNAS...56.1072M, doi:10.1073/pnas.56.4.1072, JSTOR 57792, HERR 0202783, PMC 220000, PMID 16591377, Zbl 0139.25502 McCrimmon, Kevin (2004), Ein Vorgeschmack auf Jordan-Algebren, Universitätstext, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, HERR 2014924, Zbl 1044.17001, Errata von Ichiro Satake (1980), Algebraische Strukturen symmetrischer Domänen, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08271-4. Rezension Schäfer, Richard D. (1996), Eine Einführung in die nichtassoziative Algebren, Courier Dover-Veröffentlichungen, ISBN 978-0-486-68813-8, Zbl 0145.25601 Zhevlakov, KA; Slin’ko, BIN.; Schestakow, IP; Schirschow, KI. (1982) [1978]. Ringe, die fast assoziativ sind. Akademische Presse. ISBN 0-12-779850-1. HERR 0518614. Zbl 0487.17001. Slin’ko, BIN. (2001) [1994], "Jordanische Algebra", Enzyklopädie der Mathematik, EMS-Presse Springer, Toni A. (1998) [1973], Jordanische Algebren und algebraische Gruppen, Klassiker der Mathematik, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-61970-0, ISBN 978-3-540-63632-8, HERR 1490836, Zbl 1024.17018 Springer, Toni A.; Feldlager, Ferdinand D. (2000) [1963], Oktonieren, Jordanische Algebren und außergewöhnliche Gruppen, Springer-Monographien zur Mathematik, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12622-6, ISBN 978-3-540-66337-9, HERR 1763974 Upmeier, H. (1985), Symmetrische Banach-Mannigfaltigkeiten und Jordan C∗-Algebren, Nordholländisches Mathematikstudium, vol. 104, ISBN 0444876510 Upmeier, H. (1987), Jordanische Algebren in Analysis, Operatortheorie, und Quantenmechanik, CBMS-Regionalkonferenzreihe in Mathematik, vol. 67, Amerikanische Mathematische Gesellschaft, ISBN 082180717X Further reading Knus, Max Albert; Merkur, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean Pierre (1998), Das Buch der Involutionen, Kolloquiumspublikationen, vol. 44, Mit einem Vorwort von J. Titten, Vorsehung, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft, ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001 External links Jordan algebra at PlanetMath Jordan-Banach and Jordan-Lie algebras at PlanetMath Authority control: National libraries IsraelUnited StatesJapan Categories: Nicht assoziative Algebren