Isoperimetric inequality

Isoperimetric inequality (Redirected from Isoperimetric theorem) Vai alla navigazione Vai alla ricerca In matematica, the isoperimetric inequality is a geometric inequality involving the perimeter of a set and its volume. In {stile di visualizzazione n} -dimensional space {displaystyle mathbb {R} ^{n}} the inequality lower bounds the surface area or perimeter {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {per} (S)} of a set {displaystyle Ssubset mathbb {R} ^{n}} by its volume {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {vol} (S)} , {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {per} (S)geq noperatorname {vol} (S)^{frac {n-1}{n}},nome operatore {vol} (B_{1})^{frac {1}{n}}} , dove {stile di visualizzazione B_{1}sottoinsieme mathbb {R} ^{n}} is a unit sphere. The equality holds only when {stile di visualizzazione S} is a sphere in {displaystyle mathbb {R} ^{n}} .

On a plane, cioè. quando {stile di visualizzazione n=2} , the isoperimetric inequality relates the square of the circumference of a closed curve and the area of a plane region it encloses. Isoperimetric literally means "having the same perimeter". Specifically in {displaystyle mathbb {R} ^{2}} , the isoperimetric inequality states, for the length L of a closed curve and the area A of the planar region that it encloses, Quello {stile di visualizzazione L^{2}geq 4pi A,} and that equality holds if and only if the curve is a circle.

Il problema isoperimetrico consiste nel determinare una figura piana dell'area più grande possibile il cui confine ha una lunghezza specificata.[1] Il problema di Dido strettamente correlato richiede una regione dell'area massimale delimitata da una linea retta e un arco curvilineo i cui estremi appartengono a quella linea. Prende il nome da Didone, il leggendario fondatore e prima regina di Cartagine. La soluzione del problema isoperimetrico è data da un cerchio ed era nota già nell'Antica Grecia. Tuttavia, la prima prova matematicamente rigorosa di questo fatto fu ottenuta solo nel XIX secolo. Da allora, molte altre prove sono state trovate.

Il problema isoperimetrico è stato esteso in più modi, Per esempio, alle curve sulle superfici e alle regioni negli spazi dimensionali superiori. Forse la manifestazione fisica più familiare della disuguaglianza isoperimetrica tridimensionale è la forma di una goccia d'acqua. Vale a dire, una goccia assumerà tipicamente una forma rotonda simmetrica. Poiché la quantità di acqua in una goccia è fissa, la tensione superficiale costringe la goccia ad assumere una forma che riduca al minimo l'area superficiale della goccia, vale a dire una sfera rotonda.

Contenuti 1 Il problema isoperimetrico nel piano 2 On a plane 3 Su una sfera 4 In Rn 5 Nelle varietà di Hadamard 6 In uno spazio di misura metrico 7 Per i grafici 7.1 Esempio: Disuguaglianze isoperimetriche per ipercubi 7.1.1 Disuguaglianza isoperimetrica degli archi 7.1.2 Disuguaglianza isoperimetrica dei vertici 8 Disuguaglianza isoperimetrica per triangoli 9 Guarda anche 10 Appunti 11 Riferimenti 12 Collegamenti esterni Il problema isoperimetrico nel piano Se una regione non è convessa, un "ammaccatura" nel suo confine può essere "capovolto" aumentare l'area della regione mantenendone invariato il perimetro. Una forma allungata può essere resa più tonda mantenendone fisso il perimetro e aumentandone l'area.

Il classico problema isoperimetrico risale all'antichità.[2] Il problema può essere enunciato come segue: Tra tutte le curve chiuse nel piano di perimetro fisso, quale curva (se del caso) massimizza l'area della sua regione racchiusa? Si può dimostrare che questa domanda è equivalente al seguente problema: Tra tutte le curve chiuse nel piano che racchiudono un'area fissa, quale curva (se del caso) minimizza il perimetro?

Questo problema è concettualmente legato al principio di minima azione in fisica, in quanto può essere riformulato: qual è il principio di azione che racchiude l'area più grande, con la massima economia di sforzo? Il filosofo e scienziato del XV secolo, Cardinale Nicola Cusano, considerata azione rotatoria, il processo mediante il quale viene generato un cerchio, essere il riflesso più diretto, nel regno delle impressioni sensoriali, del processo attraverso il quale l'universo è creato. L'astronomo e astrologo tedesco Johannes Kepler ha invocato il principio isoperimetrico nel discutere la morfologia del sistema solare, nel mistero cosmografico (Il Sacro Mistero del Cosmo, 1596).

Anche se il cerchio sembra essere una soluzione ovvia al problema, dimostrare questo fatto è piuttosto difficile. Il primo progresso verso la soluzione è stato fatto dal geometra svizzero Jakob Steiner nel 1838, utilizzando un metodo geometrico in seguito chiamato simmetrizzazione di Steiner.[3] Steiner ha dimostrato che se esisteva una soluzione, allora deve essere il cerchio. La dimostrazione di Steiner fu completata in seguito da molti altri matematici.

Steiner inizia con alcune costruzioni geometriche che sono facilmente comprensibili; Per esempio, si può dimostrare che qualsiasi curva chiusa che racchiude una regione che non è completamente convessa può essere modificata per racchiudere più area, di "capovolgere" le aree concave in modo che diventino convesse. Si può inoltre dimostrare che qualsiasi curva chiusa che non è completamente simmetrica può esserlo "inclinato" in modo da racchiudere più area. L'unica forma perfettamente convessa e simmetrica è il cerchio, sebbene questo, in se stesso, non rappresenta una dimostrazione rigorosa del teorema isoperimetrico (vedere link esterni).

Sul piano La soluzione del problema isoperimetrico è solitamente espressa sotto forma di una disuguaglianza che mette in relazione la lunghezza L di una curva chiusa e l'area A della regione planare che essa racchiude. La disuguaglianza isoperimetrica afferma che {displaystyle 4pi Aleq L^{2},} e che l'uguaglianza vale se e solo se la curva è un cerchio. L'area di un disco di raggio R è πR2 e la circonferenza del cerchio è 2πR, quindi entrambi i lati della disuguaglianza sono uguali a 4π2R2 in questo caso.

Sono state trovate dozzine di prove della disuguaglianza isoperimetrica. In 1902, Hurwitz ha pubblicato una breve dimostrazione utilizzando la serie di Fourier che si applica a curve rettificabili arbitrarie (non si presume che sia liscio). Un'elegante dimostrazione diretta basata sul confronto di una curva chiusa semplice liscia con un cerchio appropriato è stata data da E. Schmidt dentro 1938. Utilizza solo la formula della lunghezza dell'arco, espressione per l'area di una regione piana dal teorema di Green, e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Per una data curva chiusa, il quoziente isoperimetrico è definito come il rapporto tra la sua area e quella del cerchio avente lo stesso perimetro. Questo è uguale a {stile di visualizzazione Q={frac {4ft A}{L^{2}}}} e la disuguaglianza isoperimetrica dice che Q ≤ 1. Equivalentemente, il rapporto isoperimetrico L2/A è almeno 4π per ogni curva.

Il quoziente isoperimetrico di un n-gon regolare è {stile di visualizzazione Q_{n}={frac {pi }{diffusione {tfrac {pi }{n}}}}.} Permettere {stile di visualizzazione C} essere una curva chiusa convessa regolare liscia. Quindi la disuguaglianza isoperimetrica migliorata afferma quanto segue {stile di visualizzazione L^{2}geqslant 4pi A+8pi sinistra|{widetilde {UN}}_{0.5}Giusto|,} dove {stile di visualizzazione L,UN,{widetilde {UN}}_{0.5}} denotare la lunghezza di {stile di visualizzazione C} , l'area della regione delimitata da {stile di visualizzazione C} e l'area orientata della caustica di Wigner {stile di visualizzazione C} , rispettivamente, e l'uguaglianza vale se e solo se {stile di visualizzazione C} è una curva di larghezza costante.[4] Su una sfera Sia C una curva chiusa semplice su una sfera di raggio 1. Indichiamo con L la lunghezza di C e con A l'area racchiusa da C. La disuguaglianza isoperimetrica sferica afferma che {stile di visualizzazione L^{2}gek A(4pi-A),} e che l'uguaglianza vale se e solo se la curva è un cerchio. Ci sono, infatti, due modi per misurare l'area sferica racchiusa da una semplice curva chiusa, ma la disuguaglianza è simmetrica rispetto al complementare.

Questa disuguaglianza è stata scoperta da Paul Lévy (1919) che lo estese anche a dimensioni superiori e superfici generali.[5] Nel caso più generale di raggio arbitrario R, E 'noto [6] Quello {stile di visualizzazione L^{2}geq 4pi A-{frac {A^{2}}{R^{2}}}.} In Rn La disuguaglianza isoperimetrica afferma che una sfera ha la superficie più piccola per un dato volume. Dato un insieme limitato {displaystyle Ssubset mathbb {R} ^{n}} con superficie {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {per} (S)} e volume {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {vol} (S)} , the isoperimetric inequality states {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {per} (S)geq noperatorname {vol} (S)^{frac {n-1}{n}},nome operatore {vol} (B_{1})^{frac {1}{n}},} dove {stile di visualizzazione B_{1}sottoinsieme mathbb {R} ^{n}} è una palla unitaria. L'uguaglianza vale quando {stile di visualizzazione S} è una palla dentro {displaystyle mathbb {R} ^{n}} . Sotto ulteriori restrizioni sul set (come la convessità, regolarità, confine liscio), l'uguaglianza vale solo per una palla. Ma in piena generalità la situazione è più complicata. Il relativo risultato di Schmidt (1949, Setta. 20.7) (per una dimostrazione più semplice vedi Baebler (1957)) è chiarito in Hadwiger (1957, Setta. 5.2.5) come segue. Un insieme estremale è formato da una palla e da a "corona" che non contribuisce né al volume né alla superficie. Questo è, l'uguaglianza vale per un insieme compatto {stile di visualizzazione S} se e solo se {stile di visualizzazione S} contiene una palla chiusa {stile di visualizzazione B} tale che {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {vol} (B)=nome operatore {vol} (S)} e {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {per} (B)=nome operatore {per} (S).} Per esempio, il "corona" potrebbe essere una curva.

La dimostrazione della disuguaglianza segue direttamente dalla disuguaglianza di Brunn-Minkowski tra un insieme {stile di visualizzazione S} e una palla con raggio {displaystyle epsilon } , cioè. {stile di visualizzazione B_{epsilon }=epsilon B_{1}} . Portando al potere la disuguaglianza di Brunn-Minkowski {stile di visualizzazione n} , sottrazione {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {vol} (S)} da entrambi i lati, dividendoli per {displaystyle epsilon } , e prendendo il limite come {displaystyle epsilon a 0.} (Ossermann (1978); Federer (1969, §3.2.43)).

In piena generalità (Federer 1969, §3.2.43), la disuguaglianza isoperimetrica afferma che per qualsiasi insieme {displaystyle Ssubset mathbb {R} ^{n}} la cui chiusura ha misura di Lebesgue finita {stile di visualizzazione n,omega _{n}^{frac {1}{n}}L^{n}({sbarra {S}})^{frac {n-1}{n}}leq M_{*}^{n-1}(parziale S)} dove {stile di visualizzazione M_{*}^{n-1}} è il (n-1)-contenuto dimensionale di Minkowski, Ln è la misura di Lebesgue n-dimensionale, e ωn è il volume dell'unità ball in {displaystyle mathbb {R} ^{n}} . Se la frontiera di S è rettificabile, allora il contenuto di Minkowski è il (n-1)-misura dimensionale di Hausdorff.

La disuguaglianza isoperimetrica n-dimensionale è equivalente (per domini sufficientemente lisci) alla disuguaglianza di Sobolev su {displaystyle mathbb {R} ^{n}} con costante ottimale: {stile di visualizzazione a sinistra(int _{mathbb {R} ^{n}}|tu|^{frac {n}{n-1}}Giusto)^{frac {n-1}{n}}leq n^{-1}omega _{n}^{-{frac {1}{n}}}int _{mathbb {R} ^{n}}|nabla u|} per tutti {stile di visualizzazione in W ^{1,1}(mathbb {R} ^{n})} .

Nelle varietà Hadamard le varietà Hadamard sono varietà complete semplicemente connesse con curvatura non positiva. Così generalizzano lo spazio euclideo {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , che è una varietà di Hadamard con curvatura zero. Negli anni '70 e nei primi anni '80, Thierry Aubin, Misha Gromov, Yuri Burago, e Viktor Zalgaller hanno ipotizzato che la disuguaglianza isoperimetrica euclidea {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {per} (S)geq noperatorname {vol} (S)^{frac {n-1}{n}}nome operatore {vol} (B_{1})^{frac {1}{n}}} vale per gli insiemi limitati {stile di visualizzazione S} nelle varietà di Hadamard, che è diventata nota come congettura di Cartan-Hadamard. Di dimensione 2 questo era già stato stabilito in 1926 di André Weil, che all'epoca era uno studente di Hadamard. Nelle dimensioni 3 e 4 la congettura è stata dimostrata da Bruce Kleiner in 1992, e Chris Croke 1984 rispettivamente.

In uno spazio di misura metrica La maggior parte del lavoro sul problema isoperimetrico è stato svolto nel contesto di regioni lisce in spazi euclidei, o più in generale, nelle varietà Riemanniane. Tuttavia, il problema isoperimetrico può essere formulato in generalità molto maggiore, utilizzando la nozione di contenuto di Minkowski. Permettere {stile di visualizzazione (X,in ,d)} essere uno spazio di misura metrico: X è uno spazio metrico con metrica d, e μ è una misura di Borel su X. La misura del contorno, o contenuto Minkowski, di un sottoinsieme misurabile A di X è definito come il lim inf {stile di visualizzazione mu ^{+}(UN)=liminf_{varepsilon a 0+}{frac {in (UN_{varepsilon })-in (UN)}{varepsilon }},} dove {stile di visualizzazione A_{varepsilon }={xin X|d(X,UN)leq varepsilon }} è l'estensione ε di A.

Il problema isoperimetrico in X chiede quanto piccolo può {stile di visualizzazione mu ^{+}(UN)} essere per un dato μ(UN). Se X è il piano euclideo con la solita distanza e la misura di Lebesgue allora questa domanda generalizza il classico problema isoperimetrico a regioni piane il cui bordo non è necessariamente liscio, anche se la risposta risulta essere la stessa.

La funzione {stile di visualizzazione I(un)= inf{in ^{+}(UN)|in (UN)=a}} è detto profilo isoperimetrico dello spazio di misura metrico {stile di visualizzazione (X,in ,d)} . Sono stati studiati profili isoperimetrici per grafi di Cayley di gruppi discreti e per classi speciali di varietà Riemanniane (dove solitamente si considerano solo le regioni A con contorno regolare).

Per i grafici Articolo principale: Grafico espansore In teoria dei grafi, le disuguaglianze isoperimetriche sono al centro dello studio dei grafi di espansione, che sono grafi sparsi che hanno forti proprietà di connettività. Le costruzioni dell'espansore hanno generato la ricerca nella matematica pura e applicata, con numerose applicazioni alla teoria della complessità, progettazione di robuste reti informatiche, e la teoria dei codici a correzione di errore.[7] Le disuguaglianze isoperimetriche per i grafici mettono in relazione la dimensione dei sottoinsiemi di vertici con la dimensione del loro confine, che di solito è misurato dal numero di spigoli che escono dal sottoinsieme (espansione del bordo) o dal numero di vertici vicini (espansione del vertice). Per un grafico {stile di visualizzazione G} e un numero {stile di visualizzazione k} , i seguenti sono due parametri isoperimetrici standard per i grafici.[8] Il parametro isoperimetrico del bordo: {stile di visualizzazione Phi _{e}(G,K)=min_{Ssubsetek V}sinistra{|e(S,{sopra {S}})|:|S|=giusto}} Il parametro isoperimetrico del vertice: {stile di visualizzazione Phi _{V}(G,K)=min_{Ssubsetek V}sinistra{|Gamma (S)setminus S|:|S|=giusto}} Qui {stile di visualizzazione E(S,{sopra {S}})} denota l'insieme dei bordi uscenti {stile di visualizzazione S} e {stile di visualizzazione Gamma (S)} denota l'insieme di vertici che hanno un vicino in {stile di visualizzazione S} . Il problema isoperimetrico consiste nel capire come funzionano i parametri {stile di visualizzazione Phi _{e}} e {stile di visualizzazione Phi _{V}} comportamento per famiglie naturali di grafi.

Esempio: Disuguaglianze isoperimetriche per ipercubi Il {stile di visualizzazione d} -ipercubo dimensionale {stile di visualizzazione Q_{d}} è il grafico i cui vertici sono tutti vettori booleani di lunghezza {stile di visualizzazione d} , questo è, il set {stile di visualizzazione {0,1}^{d}} . Due di questi vettori sono collegati da un bordo in {stile di visualizzazione Q_{d}} se sono uguali fino a un singolo bit flip, questo è, la loro distanza di Hamming è esattamente uno. Le seguenti sono le disuguaglianze isoperimetriche per l'ipercubo booleano.[9] Disuguaglianza isoperimetrica del bordo La disuguaglianza isoperimetrica del bordo dell'ipercubo è {stile di visualizzazione Phi _{e}(Q_{d},K)gek k(d-log_{2}K)} . Questo limite è stretto, come è testimoniato da ogni set {stile di visualizzazione S} cioè l'insieme dei vertici di ogni sottocubo di {stile di visualizzazione Q_{d}} .

Disuguaglianza isoperimetrica dei vertici Teorema di Harper[10] dice che le palle di Hamming hanno il confine del vertice più piccolo tra tutti gli insiemi di una data dimensione. Le palle di Hamming sono set che contengono al massimo tutti i punti di peso di Hamming {stile di visualizzazione r} e nessun punto di peso Hamming maggiore di {stile di visualizzazione r+1} per qualche numero intero {stile di visualizzazione r} . Questo teorema implica che qualsiasi insieme {displaystyle Ssubseteq V} insieme a {stile di visualizzazione |S|somma geq _{io=0}^{r}{d scegli io}} soddisfa {stile di visualizzazione |Gamma Scup (S)|somma geq _{io=0}^{r+1}{d scegli io}.} [11] Come caso speciale, considerare le dimensioni impostate {stile di visualizzazione k=|S|} della forma {stile di visualizzazione k={scegliere 0}+{scegliere 1}+punti +{d scegli r}} per qualche numero intero {stile di visualizzazione r} . Quindi quanto sopra implica che l'esatto parametro isoperimetrico del vertice è {stile di visualizzazione Phi _{V}(Q_{d},K)={d scegli r+1}.} [12] Disuguaglianza isoperimetrica per triangoli La disuguaglianza isoperimetrica per triangoli in termini di perimetro p e area T afferma che[13][14] {stile di visualizzazione p^{2}geq 12{mq {3}}cpunto T,} con uguaglianza per il triangolo equilatero. Questo è implicito, tramite la disuguaglianza AM-GM, da una disuguaglianza più forte che è stata anche chiamata la disuguaglianza isoperimetrica per i triangoli:[15] {displaystyle Teleq {frac {mq {3}}{4}}(abc)^{frac {2}{3}}.} Vedi anche Portale di matematica Teorema di Blaschke-Lebesgue Problema di Chaplygin Flusso di accorciamento della curva Grafico espansore Disuguaglianza isoperimetrica gaussiana Dimensione isoperimetrica Punto isoperimetrico Elenco delle disuguaglianze triangolari Teorema del separatore planare Volume misto Note ^ Blåsjö, Vittorio (2005). 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