Théorème d'interception

Théorème d'interception Cet article porte sur le théorème sur les rapports de divers segments de ligne. Pour le cas particulier du théorème de l'angle inscrit, voir le théorème de Thales.

Le théorème d'interception, également connu sous le nom de théorème de Thales, le théorème de proportionnalité de base ou le théorème du séparateur latéral est un théorème important en géométrie élémentaire sur les rapports de divers segments de ligne qui sont créés si deux lignes qui se croisent sont interceptées par une paire de parallèles. Il est équivalent au théorème sur les rapports dans les triangles semblables. Il est traditionnellement attribué au mathématicien grec Thalès.[1] Il était connu des anciens Babyloniens et Égyptiens, bien que sa première preuve connue apparaisse dans les Éléments d'Euclide.

Contenu 1 Formulation 2 Notions connexes 2.1 Similitude et triangles semblables 2.2 Multiplication scalaire dans les espaces vectoriels 3 Applications 3.1 Formulation algébrique des constructions du compas et de la règle 3.2 Diviser un segment de droite dans un rapport donné 3.3 Mesure et enquête 3.3.1 Hauteur de la pyramide de Khéops 3.3.2 Mesurer la largeur d'une rivière 3.4 Lignes parallèles dans les triangles et les trapèzes 4 Preuve 4.1 Réclamation 1 4.2 Réclamation 2 4.3 Réclamation 3 4.4 Réclamation 4 5 Remarques 6 Références 7 Liens externes Formulation Supposons que S soit le point d'intersection de deux droites et A, B sont les intersections de la première droite avec les deux parallèles, tel que B est plus éloigné de S que A, et de même C, D sont les intersections de la deuxième droite avec les deux parallèles telles que D est plus éloigné de S que C.

Le rapport de deux segments quelconques sur la première ligne est égal au rapport des segments correspondants sur la deuxième ligne: {style d'affichage |sur|:|UN B|=|CS|:|CD|} , {style d'affichage |SB|:|UN B|=|Dakota du Sud|:|CD|} , {style d'affichage |sur|:|SB|=|CS|:|Dakota du Sud|} Le rapport des deux segments sur la même ligne commençant en S est égal au rapport des segments sur les parallèles: {style d'affichage |sur|:|SB|=|CS|:|Dakota du Sud|=|CA|:|BD|} L'inverse de la première affirmation est également vrai, c'est à dire. si les deux lignes qui se croisent sont interceptées par deux lignes arbitraires et {style d'affichage |sur|:|UN B|=|CS|:|CD|} tient alors les deux lignes d'interception sont parallèles. Cependant, l'inverse de la deuxième affirmation n'est pas vrai. Si vous avez plus de deux lignes qui se croisent en S, alors le rapport des deux segments sur un parallèle est égal au rapport des segments correspondants sur l'autre parallèle: {style d'affichage |DE|:|ÊTRE|=|CF|:|DE|} , {style d'affichage |DE|:|CF|=|ÊTRE|:|DE|} Un exemple pour le cas de trois lignes est donné dans le deuxième graphique ci-dessous.

Le premier théorème d'interception montre les rapports des sections des lignes, la seconde les rapports des sections aux droites ainsi que les sections aux parallèles, enfin le troisième montre les rapports des sections à partir des parallèles.

Concepts associés Similarité et triangles similaires Disposition de deux triangles similaires, de sorte que le théorème d'interception puisse être appliqué Le théorème d'interception est étroitement lié à la similarité. Il est équivalent au concept de triangles semblables, c'est à dire. il peut être utilisé pour prouver les propriétés de triangles similaires et des triangles similaires peuvent être utilisés pour prouver le théorème d'interception. En faisant correspondre des angles identiques, vous pouvez toujours placer deux triangles similaires l'un dans l'autre afin d'obtenir la configuration dans laquelle le théorème d'interception s'applique; et inversement la configuration du théorème d'interception contient toujours deux triangles similaires.

Multiplication scalaire dans des espaces vectoriels Dans un espace vectoriel normé, les axiomes concernant la multiplication scalaire (en particulier {style d'affichage lambda cdot ({vec {un}}+{vec {b}})= cdot lambda {vec {un}}+cdot lambda {vec {b}}} et {style d'affichage |lambda {vec {un}}|=|lambda |cdot |{vec {un}}|} ) s'assurer que le théorème d'interception est vrai. L'un a {style d'affichage {frac {|cdot lambda {vec {un}}|}{|{vec {un}}|}}={frac {|cdot lambda {vec {b}}|}{|{vec {b}}|}}={frac {|cdot lambda ({vec {un}}+{vec {b}})|}{|{vec {un}}+{vec {b}}|}}=|lambda |} Applications Formulation algébrique des constructions du compas et de la règle Il existe trois problèmes célèbres de géométrie élémentaire qui ont été posés par les Grecs en termes de constructions du compas et de la règle:[2][3] Trisectionner l'angle Doubler le cube Quadrature du cercle Il a fallu plus de 2000 ans jusqu'à ce que tous les trois se soient finalement avérés impossibles avec les outils donnés au 19ème siècle, en utilisant des méthodes algébriques devenues disponibles pendant cette période. Afin de les reformuler en termes algébriques en utilisant des extensions de corps, il faut faire correspondre les opérations sur le terrain avec des constructions de boussole et de règle (voir numéro constructible). En particulier, il est important de s'assurer que pour deux segments de ligne donnés, un nouveau segment de ligne peut être construit de telle sorte que sa longueur soit égale au produit des longueurs des deux autres. De même, il faut être capable de construire, pour un segment de droite de longueur {style d'affichage a} , un nouveau segment de droite de longueur {style d'affichage a^{-1}} . Le théorème d'interception peut être utilisé pour montrer que dans les deux cas une telle construction est possible.

Construction d'un produit Construction d'un inverse Diviser un segment de droite dans un rapport donné Diviser un segment de droite arbitraire {style d'affichage {surligner {UN B}}} dans un {style d'affichage m:n} rapport, tracer un angle arbitraire en A avec {style d'affichage {surligner {UN B}}} comme une jambe. Sur l'autre construction de jambe {style d'affichage m+n} points équidistants, puis tracez la ligne passant par le dernier point et B et une ligne parallèle passant par le mème point. Cette ligne parallèle divise {style d'affichage {surligner {UN B}}} dans le rapport souhaité. Le graphique à droite montre la partition d'un segment de ligne {style d'affichage {surligner {UN B}}} dans un {style d'affichage 5:3} rapport.[4] Mesure et enquête Hauteur de la pyramide de Khéops pièces de mesure calculant C et D Selon certaines sources historiques, le mathématicien grec Thales a appliqué le théorème d'interception pour déterminer la hauteur de la pyramide de Khéops.[1] La description suivante illustre l'utilisation du théorème d'interception pour calculer la hauteur de la pyramide. Ce ne est pas, toutefois, raconter l'œuvre originale de Thales, qui a été perdu.

Thalès a mesuré la longueur de la base de la pyramide et la hauteur de son pôle. Puis, à la même heure de la journée, il a mesuré la longueur de l'ombre de la pyramide et la longueur de l'ombre du pôle. Cela a donné les données suivantes: hauteur du poteau (UN): 1.63 m ombre du poteau (B): 2 m longueur de la base de la pyramide: 230 m ombre de la pyramide: 65 m A partir de là, il a calculé {displaystyle C=65~{texte{m}}+{frac {230~{texte{m}}}{2}}=180~{texte{m}}} Connaître un,B et C, il était maintenant capable d'appliquer le théorème d'interception pour calculer {displaystyle D={frac {Point A}{B}}={frac {1.63~{texte{m}}cdot 180~{texte{m}}}{2~{texte{m}}}}=146,7~{texte{m}}} Mesurer la largeur d'une rivière Le théorème d'interception peut être utilisé pour déterminer une distance qui ne peut pas être mesurée directement, comme la largeur d'une rivière ou d'un lac, la hauteur des immeubles de grande hauteur ou similaires. Le graphique à droite illustre la mesure de la largeur d'une rivière. Les tranches {style d'affichage |FC|} , {style d'affichage |Californie|} , {style d'affichage |FE|} sont mesurés et utilisés pour calculer la distance souhaitée {style d'affichage |UN B|={frac {|CA||FE|}{|CF|}}} .

Lignes parallèles dans les triangles et les trapèzes Le théorème d'interception peut être utilisé pour prouver qu'une certaine construction donne une ligne parallèle (segment)s.

Si les milieux de deux côtés du triangle sont connectés, le segment de ligne résultant est parallèle au troisième côté du triangle (Théorème du milieu des triangles).

Si les milieux des deux côtés non parallèles d'un trapèze sont connectés, alors le segment de droite résultant est parallèle aux deux autres côtés du trapèze.

Preuve Une preuve élémentaire du théorème utilise des triangles d'aire égale pour dériver les déclarations de base sur les rapports (réclamation 1). Les autres revendications suivent alors en appliquant la première revendication et contradiction.[5] Réclamation 1 Notation: Pour un triangle les barres verticales ( {style d'affichage |ldots |} ) dénotent son aire et pour un segment de droite sa longueur.

Preuve: Depuis {style d'affichage CAparallèle BD} , les altitudes de {triangle de style d'affichage CDA} et {triangle de style d'affichage CBA} sont de longueur égale. Comme ces triangles partagent la même ligne de base, leurs aires sont identiques. Donc nous avons {style d'affichage |triangle CDA|=|triangle ABC|} et donc {style d'affichage |triangle SCB|=|triangle SDA|} aussi bien. Cela donne {style d'affichage {frac {|triangle SCA|}{|triangle CDA|}}={frac {|triangle SCA|}{|triangle ABC|}}} et {style d'affichage {frac {|triangle SCA|}{|triangle SDA|}}={frac {|triangle SCA|}{|triangle SCB|}}} Brancher la formule pour les zones triangulaires ( {style d'affichage {tfrac {{texte{ligne de base}}cdot {texte{altitude}}}{2}}} ) transforme cela en {style d'affichage {frac {|CS||DE|}{|CD||DE|}}={frac {|sur||CE|}{|UN B||CE|}}} et {style d'affichage {frac {|CS||DE|}{|Dakota du Sud||DE|}}={frac {|sur||CE|}{|SB||CE|}}} L'annulation des facteurs communs entraîne: (un) {style d'affichage ,{frac {|CS|}{|CD|}}={frac {|sur|}{|UN B|}}} et (b) {style d'affichage ,{frac {|CS|}{|Dakota du Sud|}}={frac {|sur|}{|SB|}}} Utilisez maintenant (b) remplacer {style d'affichage |sur|} et {style d'affichage |CS|} dans (un): {style d'affichage {frac {frac {|sur||Dakota du Sud|}{|SB|}}{|CD|}}={frac {frac {|SB||CS|}{|Dakota du Sud|}}{|UN B|}}} En utilisant (b) encore une fois cela simplifie: (c) {style d'affichage ,{frac {|Dakota du Sud|}{|CD|}}={frac {|SB|}{|UN B|}}} {style d'affichage ,carré } Réclamation 2 Tracez un parallèle supplémentaire avec {style d'affichage SD} à travers A. Ce parallèle coupe {style d'affichage BD} en sol. Ensuite on a {style d'affichage |CA|=|DG|} et en raison d'une réclamation 1 {style d'affichage {frac {|sur|}{|SB|}}={frac {|DG|}{|BD|}}} et donc {style d'affichage {frac {|sur|}{|SB|}}={frac {|CA|}{|BD|}}} {carré de style d'affichage } Réclamation 3 Présumer {style d'affichage AC} et {style d'affichage BD} ne sont pas parallèles. Puis la droite parallèle à {style d'affichage AC} à travers {displaystyle D} se croise {style d'affichage SA} dans {style d'affichage B_{0}neq B} . Depuis {style d'affichage |SB|:|sur|=|Dakota du Sud|:|CS|} est vrai, Nous avons {style d'affichage |SB|={frac {|Dakota du Sud||sur|}{|CS|}}} et d'autre part de la revendication 1 Nous avons {style d'affichage |SB_{0}|={frac {|Dakota du Sud||sur|}{|CS|}}} .

Alors {style d'affichage B} et {style d'affichage B_{0}} sont du même côté de {style d'affichage S} et ont la même distance à {style d'affichage S} , ce qui signifie {style d'affichage B=B_{0}} . C'est un contresens, donc l'hypothèse n'aurait pas pu être vraie, ce qui signifie {style d'affichage AC} et {style d'affichage BD} sont bien parallèles {carré de style d'affichage } Réclamation 4 Réclamation 4 peut être montré en appliquant le théorème d'interception pour deux lignes.

Remarques ^ Aller à: a b Aucune œuvre originale de Thales n'a survécu. Toutes les sources historiques qui lui attribuent le théorème d'interception ou les connaissances connexes ont été écrites des siècles après sa mort. Diogène Laërce et Pline donnent une description qui à proprement parler ne nécessite pas le théorème d'interception, mais ne peut s'appuyer que sur une simple observation, à savoir qu'à un certain moment de la journée, la longueur de l'ombre d'un objet correspondra à sa hauteur. Laertius cite une déclaration du philosophe Hieronymus (3e siècle avant JC) à propos de Thalès: "Hieronymus dit que [Thalès] mesuré la hauteur des pyramides par l'ombre qu'elles projetaient, prendre l'observation à l'heure où notre ombre est de la même longueur que nous (c'est à dire. comme notre propre hauteur).". Pline écrit: "Thales a découvert comment obtenir la hauteur des pyramides et de tous les autres objets similaires, à savoir, en mesurant l'ombre de l'objet au moment où un corps et son ombre sont de longueur égale.". Cependant, Plutarque donne un récit qui peut suggérer que Thales connaît le théorème d'interception ou au moins un cas particulier de celui-ci:".. sans problème ni l'assistance d'aucun instrument [il] planter simplement un bâton à l'extrémité de l'ombre projetée par la pyramide et, ayant ainsi fait deux triangles par l'interception des rayons du soleil, ... montré que la pyramide a au bâton le même rapport que l'ombre [de la pyramide] a à l'ombre [du bâton]". (Source: Thales biographie du MacTutor, la (traduit) les œuvres originales de Plutarque et Laerce sont: Morale, Le dîner des sept sages, 147A et vies d'éminents philosophes, Chapitre 1. Thalès, à.27) ^ Kazarinov, Nicolas D. (2003) [1970], Règle et la ronde, Douvres, p. 3, ISBN 0-486-42515-0 ^ Kunz, Ernst (1991). 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(copie en ligne, p. 3, chez Google Livres) Liens externes Wikimedia Commons a des médias liés au théorème d'interception. Théorème d'interception chez PlanetMath Alexander Bogomolny: Théorèmes de Thales et en particulier Théorème de Thales à Cut-the-Knot intercept theorem interactive hide vte Mathématiques de la Grèce antique et hellénistique (Géométrie euclidienne) Mathématiciens (chronologie) AnaxagorasAnthemiusArchytasAristaeus the ElderAristarchusApolloniusArchimedesAutolycusBionBrysonCallippusCarpusChrysippusCleomedesCononCtesibiusDemocritusDicaearchusDioclesDiophantusDinostratusDionysodorusDomninusEratosthenesEudemusEuclidEudoxusEutociusGeminusHeliodorusHeronHipparchusHippasusHippiasHippocratesHypatiaHypsiclesIsidore of MiletusLeonMarinusMenaechmusMenelausMetrodorusNicomachusNicomedesNicotelesOenopidesPappusPerseusPhilolausPhilonPhilonidesPorphyryPosidoniusProclusPtolemyPythagorasSerenus SimpliciusSosigenesSporusThalesTheaetetusTheanoTheodorusTheodosiusTheon of AlexandriaTheon of SmyrnaThymaridasXenocratesZeno of EleaZeno of SidonZenodorus Treatises AlmagestArchimedes PalimpsestArithmeticaConics (Apollonios)CatoptriqueDonnées (Euclide)Éléments (Euclide)Mesure d'un cercleSur les conoïdes et les sphéroïdesSur les tailles et les distances (Aristarque)Sur les tailles et les distances (Hipparque)Sur la sphère en mouvement (Autolycus)Euclid's OpticsOn SpiralsOn the Sphere and CylinderOstomachionPlanisphaeriumSphaericsThe Quadrature of the ParabolaThe Sand Reckoner Problems Constructible numbers Angle trisectionDoubling the cubeSquaring the circleProblem of Apollonius Concepts and definitions Angle CentralInscribedChordCircles of Apollonius Apollonian circlesApollonian gasketCircumscribed circleCommensurabilityDiophantine equationDoctrine of proportionalityGolden ratioGreek numeralsIncircle and excircles of a triangleMethod of exhaustionParallel postulatePlatonic solidLune of HippocratesQuadratrix of HippiasRegular polygonStraightedge and compass constructionTriangle center Results In Elements Angle bisector theoremExterior angle theoremEuclidean algorithmEuclid's theoremGeometric mean theoremGreek geometric algebraHinge theoremInscribed angle theoremIntercept theoremIntersecting chords theoremIntersecting secants theoremLaw of cosinesPons asinorumPythagorean theoremTangent-secant theoremThales's theoremTheorem of the gnomon Apollonius Apollonius's theorem Other Aristarchus's inequalityCrossbar theoremHeron's formulaIrrational numbersLaw des sinusThéorème de MénélasThéorème de l'aire de PappusProblème II.8 d'ArithmétiqueInégalité de PtoléméeTable des accords de PtoléméeThéorème de PtoléméeSpirale de Théodore Centres CyrèneBibliothèque d'AlexandrieAcadémie de Platon Autre astronomie de la Grèce antiqueChiffres grecsTraductions latines du XIIe siècleConstruction de Neusis Portail de la Grèce antique • Portail mathématique Catégories: Géométrie euclidienneThéorèmes de géométrie plane