Initial value theorem

Initial value theorem In mathematical analysis, the initial value theorem is a theorem used to relate frequency domain expressions to the time domain behavior as time approaches zero.[1] It is also known under the abbreviation IVT.

Deixar {estilo de exibição F(s)=int_{0}^{infty }f(t)e^{-st},dt} be the (one-sided) Laplace transform of ƒ(t). Se {estilo de exibição f} is bounded on {estilo de exibição (0,infty )} (or if just {estilo de exibição f(t)=O(e^{ct})} ) e {displaystyle lim _{tto 0^{+}}f(t)} exists then the initial value theorem says[2] {displaystyle lim _{t,para ,0}f(t)=lim_{sto infty }{sF(s)}.} Proof Suppose first that {estilo de exibição f} é limitado. Say {displaystyle lim _{tto 0^{+}}f(t)= alfa } . A change of variable in the integral {estilo de exibição int _{0}^{infty }f(t)e^{-st},dt} mostra que {displaystyle sF(s)=int_{0}^{infty }abandonou({fratura {t}{s}}certo)e^{-t},dt} .

Desde {estilo de exibição f} é limitado, the Dominated Convergence Theorem shows that {displaystyle lim _{sto infty }sF(s)=int_{0}^{infty }alpha e^{-t},dt=alpha .} Of course we don't really need DCT here, one can give a very simple proof using only elementary calculus: Start by choosing {estilo de exibição A} de modo a {estilo de exibição int _{UMA}^{infty }e^{-t},dt

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