Théorème de la valeur initiale

Initial value theorem In mathematical analysis, the initial value theorem is a theorem used to relate frequency domain expressions to the time domain behavior as time approaches zero.[1] It is also known under the abbreviation IVT.

Laisser {style d'affichage F(s)=int _{0}^{infime }F(t)e ^{-st},dt} be the (one-sided) Laplace transform of ƒ(t). Si {style d'affichage f} is bounded on {style d'affichage (0,infime )} (or if just {style d'affichage f(t)= O(e ^{ct})} ) et {style d'affichage lim _{tto 0^{+}}F(t)} exists then the initial value theorem says[2] {style d'affichage lim _{t,à ,0}F(t)=lim _{sto infty }{sF(s)}.} Proof Suppose first that {style d'affichage f} est délimité. Say {style d'affichage lim _{tto 0^{+}}F(t)=alpha } . A change of variable in the integral {style d'affichage entier _{0}^{infime }F(t)e ^{-st},dt} montre que {displaystyle sF(s)=int _{0}^{infime }volé({frac {t}{s}}droit)e ^{-t},dt} .

Depuis {style d'affichage f} est délimité, the Dominated Convergence Theorem shows that {style d'affichage lim _{sto infty }sF(s)=int _{0}^{infime }alpha e^{-t},dt=alpha .} Of course we don't really need DCT here, one can give a very simple proof using only elementary calculus: Start by choosing {style d'affichage A} pour que {style d'affichage entier _{UN}^{infime }e ^{-t},dt

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