Initial value theorem

Initial value theorem In mathematical analysis, the initial value theorem is a theorem used to relate frequency domain expressions to the time domain behavior as time approaches zero.[1] It is also known under the abbreviation IVT.

Lassen {Anzeigestil F(s)=int _{0}^{unendlich }f(t)e^{-st},dt} be the (one-sided) Laplace transform of ƒ(t). Wenn {Anzeigestil f} is bounded on {Anzeigestil (0,unendlich )} (or if just {Anzeigestil f(t)=O(e^{ct})} ) und {Anzeigestil lim _{tto 0^{+}}f(t)} exists then the initial value theorem says[2] {Anzeigestil lim _{t,zu ,0}f(t)=lim _{sto infty }{sF(s)}.} Proof Suppose first that {Anzeigestil f} ist begrenzt. Say {Anzeigestil lim _{tto 0^{+}}f(t)=alpha } . A change of variable in the integral {Anzeigestil int _{0}^{unendlich }f(t)e^{-st},dt} zeigt, dass {displaystyle sF(s)=int _{0}^{unendlich }geflogen({frac {t}{s}}Rechts)e^{-t},dt} .

Seit {Anzeigestil f} ist begrenzt, the Dominated Convergence Theorem shows that {Anzeigestil lim _{sto infty }sF(s)=int _{0}^{unendlich }alpha e^{-t},dt=alpha .} Of course we don't really need DCT here, one can give a very simple proof using only elementary calculus: Start by choosing {Anzeigestil A} so dass {Anzeigestil int _{EIN}^{unendlich }e^{-t},dt

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