Implicit function theorem

Implicit function theorem In mathematics, more specifically in multivariable calculus, the implicit function theorem[uma] is a tool that allows relations to be converted to functions of several real variables. It does so by representing the relation as the graph of a function. There may not be a single function whose graph can represent the entire relation, but there may be such a function on a restriction of the domain of the relation. The implicit function theorem gives a sufficient condition to ensure that there is such a function.

Mais precisamente, given a system of m equations fi (x1, ..., xn, y1, ..., ym) = 0, i = 1, ..., m (often abbreviated into F(x, y) = 0), o teorema afirma que, under a mild condition on the partial derivatives (with respect to the yis) at a point, the m variables yi are differentiable functions of the xj in some neighborhood of the point. As these functions can generally not be expressed in closed form, they are implicitly defined by the equations, and this motivated the name of the theorem.[1] Em outras palavras, under a mild condition on the partial derivatives, the set of zeros of a system of equations is locally the graph of a function.

Conteúdo 1 História 2 Primeiro exemplo 3 Definições 4 Declaração do teorema 4.1 Higher derivatives 5 Proof for 2D case 6 The circle example 7 Inscrição: change of coordinates 7.1 Exemplo: polar coordinates 8 Generalizações 8.1 Banach space version 8.2 Implicit functions from non-differentiable functions 9 Veja também 10 Notas 11 Referências 12 Further reading History Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) is credited with the first rigorous form of the implicit function theorem. Ulisse Dini (1845–1918) generalized the real-variable version of the implicit function theorem to the context of functions of any number of real variables.[2] First example The unit circle can be specified as the level curve f(x, y) = 1 of the function f(x, y) = x2 + ano 2. Around point A, y can be expressed as a function y(x). In this example this function can be written explicitly as {estilo de exibição g_{1}(x)={quadrado {1-x^{2}}};} in many cases no such explicit expression exists, but one can still refer to the implicit function y(x). No such function exists around point B.

If we define the function f(x, y) = x2 + ano 2, then the equation f(x, y) = 1 cuts out the unit circle as the level set {(x, y) | f(x, y) = 1}. There is no way to represent the unit circle as the graph of a function of one variable y = g(x) because for each choice of x ∈ (−1, 1), there are two choices of y, nomeadamente {estilo de exibição pm {quadrado {1-x^{2}}}} .

No entanto, it is possible to represent part of the circle as the graph of a function of one variable. If we let {estilo de exibição g_{1}(x)={quadrado {1-x^{2}}}} for −1 ≤ x ≤ 1, then the graph of y = g1(x) provides the upper half of the circle. De forma similar, E se {estilo de exibição g_{2}(x)=-{quadrado {1-x^{2}}}} , then the graph of y = g2(x) gives the lower half of the circle.

The purpose of the implicit function theorem is to tell us the existence of functions like g1(x) and g2(x), even in situations where we cannot write down explicit formulas. It guarantees that g1(x) and g2(x) are differentiable, and it even works in situations where we do not have a formula for f(x, y).

Definitions Let {estilo de exibição f:mathbb {R} ^{n+m}para mathbb {R} ^{m}} be a continuously differentiable function. We think of {estilo de exibição mathbb {R} ^{n+m}} as the Cartesian product {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}vezes mathbb {R} ^{m},} and we write a point of this product as {estilo de exibição (mathbf {x} ,mathbf {y} )=(x_{1},ldots ,x_{n},s_{1},ldots y_{m}).} Starting from the given function {estilo de exibição f} , our goal is to construct a function {estilo de exibição g:mathbb {R} ^{n}para mathbb {R} ^{m}} whose graph {estilo de exibição ({textbf {x}},g({textbf {x}}))} is precisely the set of all {estilo de exibição ({textbf {x}},{textbf {y}})} de tal modo que {estilo de exibição f({textbf {x}},{textbf {y}})={textbf {0}}} .

As noted above, this may not always be possible. We will therefore fix a point {estilo de exibição ({textbf {uma}},{textbf {b}})=(uma_{1},pontos ,uma_{n},b_{1},pontos ,b_{m})} which satisfies {estilo de exibição f({textbf {uma}},{textbf {b}})={textbf {0}}} , and we will ask for a {estilo de exibição g} that works near the point {estilo de exibição ({textbf {uma}},{textbf {b}})} . Em outras palavras, we want an open set {displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}} contendo {estilo de exibição {textbf {uma}}} , an open set {displaystyle Vsubset mathbb {R} ^{m}} contendo {estilo de exibição {textbf {b}}} , and a function {estilo de exibição g:Uto V} such that the graph of {estilo de exibição g} satisfies the relation {estilo de exibição f={textbf {0}}} sobre {displaystyle Utimes V} , and that no other points within {displaystyle Utimes V} do so. Em símbolos, {estilo de exibição {(mathbf {x} ,g(mathbf {x} ))midmathbf {x} in U}={(mathbf {x} ,mathbf {y} )in Utimes Vmid f(mathbf {x} ,mathbf {y} )= mathbf {0} }.} To state the implicit function theorem, we need the Jacobian matrix of {estilo de exibição f} , which is the matrix of the partial derivatives of {estilo de exibição f} . Abbreviating {estilo de exibição (uma_{1},pontos ,uma_{n},b_{1},pontos ,b_{m})} para {estilo de exibição ({textbf {uma}},{textbf {b}})} , the Jacobian matrix is {estilo de exibição (Df)(mathbf {uma} ,mathbf {b} )= esquerda[{começar{matriz}{fratura {partial f_{1}}{parcial x_{1}}}(mathbf {uma} ,mathbf {b} )&cdots &{fratura {partial f_{1}}{parcial x_{n}}}(mathbf {uma} ,mathbf {b} )\vdots &ddots &vdots \{fratura {partial f_{m}}{parcial x_{1}}}(mathbf {uma} ,mathbf {b} )&cdots &{fratura {partial f_{m}}{parcial x_{n}}}(mathbf {uma} ,mathbf {b} )fim{matriz}}certo|deixei.{começar{matriz}{fratura {partial f_{1}}{partial y_{1}}}(mathbf {uma} ,mathbf {b} )&cdots &{fratura {partial f_{1}}{partial y_{m}}}(mathbf {uma} ,mathbf {b} )\vdots &ddots &vdots \{fratura {partial f_{m}}{partial y_{1}}}(mathbf {uma} ,mathbf {b} )&cdots &{fratura {partial f_{m}}{partial y_{m}}}(mathbf {uma} ,mathbf {b} )\fim{matriz}}certo]=[X|S]} Onde {estilo de exibição X} is the matrix of partial derivatives in the variables {estilo de exibição x_{eu}} e {estilo de exibição Y} is the matrix of partial derivatives in the variables {estilo de exibição y_{j}} . The implicit function theorem says that if {estilo de exibição Y} is an invertible matrix, então há {estilo de exibição U} , {estilo de exibição V} , e {estilo de exibição g} como desejado. Writing all the hypotheses together gives the following statement.

Enunciado do teorema Seja {estilo de exibição f:mathbb {R} ^{n+m}para mathbb {R} ^{m}} be a continuously differentiable function, e deixar {estilo de exibição mathbb {R} ^{n+m}} have coordinates {estilo de exibição ({textbf {x}},{textbf {y}})} . Fixar um ponto {estilo de exibição ({textbf {uma}},{textbf {b}})=(uma_{1},pontos ,uma_{n},b_{1},pontos ,b_{m})} com {estilo de exibição f({textbf {uma}},{textbf {b}})= mathbf {0} } , Onde {estilo de exibição mathbf {0} em matemática {R} ^{m}} is the zero vector. If the Jacobian matrix (this is the right-hand panel of the Jacobian matrix shown in the previous section): {estilo de exibição J_{f,mathbf {y} }(mathbf {uma} ,mathbf {b} )= esquerda[{fratura {partial f_{eu}}{partial y_{j}}}(mathbf {uma} ,mathbf {b} )certo]} is invertible, then there exists an open set {displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}} contendo {estilo de exibição {textbf {uma}}} such that there exists a unique continuously differentiable function {estilo de exibição g:Uto mathbb {R} ^{m}} de tal modo que {estilo de exibição g(mathbf {uma} )= mathbf {b} } , e {estilo de exibição f(mathbf {x} ,g(mathbf {x} ))= mathbf {0} ~{texto{para todos}}~mathbf {x} in U} . Além disso, denoting the left-hand panel of the Jacobian matrix shown in the previous section as: {estilo de exibição J_{f,mathbf {x} }(mathbf {uma} ,mathbf {b} )= esquerda[{fratura {partial f_{eu}}{parcial x_{j}}}(mathbf {uma} ,mathbf {b} )certo],} the Jacobian matrix of partial derivatives of {estilo de exibição g} dentro {estilo de exibição U} are given by the matrix product:[3] {estilo de exibição à esquerda[{fratura {partial g_{eu}}{parcial x_{j}}}(mathbf {x} )certo]_{mtimes n}=-left[J_{f,mathbf {y} }(mathbf {x} ,g(mathbf {x} ))certo]_{mtimes m}^{-1},deixei[J_{f,mathbf {x} }(mathbf {x} ,g(mathbf {x} ))certo]_{mtimes n}} Higher derivatives If, moreover, {estilo de exibição f} is analytic or continuously differentiable {estilo de exibição k} times in a neighborhood of {estilo de exibição ({textbf {uma}},{textbf {b}})} , then one may choose {estilo de exibição U} in order that the same holds true for {estilo de exibição g} lado de dentro {estilo de exibição U} . [4] In the analytic case, this is called the analytic implicit function theorem.

Proof for 2D case Suppose {estilo de exibição F:mathbb {R} ^{2}para mathbb {R} } is a continuously differentiable function defining a curve {estilo de exibição F(mathbf {r} )=F(x,y)=0} . Deixar {estilo de exibição (x_{0},s_{0})} be a point on the curve. The statement of the theorem above can be rewritten for this simple case as follows: Theorem — If {displaystyle left.{fratura {parcial F}{y parcial}}certo|_{(x_{0},s_{0})}neq 0} then for the curve around {estilo de exibição (x_{0},s_{0})} nós podemos escrever {displaystyle y=f(x)} , Onde {estilo de exibição f} is a real function.

Prova. Since F is differentiable we write the differential of F through partial derivatives: {matemática de estilo de exibição {d} F=operatorname {grad} Fcdot mathrm {d} mathbf {r} ={fratura {parcial F}{x parcial}}matemática {d} x+{fratura {parcial F}{y parcial}}matemática {d} sim} Since we are restricted to movement on the curve {matemática de estilo de exibição {d} F=0} and by assumption {estilo de exibição {tfrac {parcial F}{y parcial}}neq 0} around the point {estilo de exibição (x_{0},s_{0})} (desde {estilo de exibição {tfrac {parcial F}{y parcial}}} is continuous at {estilo de exibição (x_{0},s_{0})} e {displaystyle left.{tfrac {parcial F}{y parcial}}certo|_{(x_{0},s_{0})}neq 0} ). Therefore we have a first-order ordinary differential equation: {estilo de exibição parcial _{x}Fmathrm {d} x+partial _{y}Fmathrm {d} y=0,quad y(x_{0})=y_{0}} Now we are looking for a solution to this ODE in an open interval around the point {estilo de exibição (x_{0},s_{0})} para qual, at every point in it, {estilo de exibição parcial _{y}Fneq 0} . Since F is continuously differentiable and from the assumption we have {estilo de exibição |parcial _{x}F|

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