Implicit function theorem

Implicit function theorem In mathematics, more specifically in multivariable calculus, the implicit function theorem[un] is a tool that allows relations to be converted to functions of several real variables. It does so by representing the relation as the graph of a function. There may not be a single function whose graph can represent the entire relation, but there may be such a function on a restriction of the domain of the relation. The implicit function theorem gives a sufficient condition to ensure that there is such a function.

Più precisamente, given a system of m equations fi (x1, ..., xn, y1, ..., ym) = 0, i = 1, ..., m (often abbreviated into F(X, y) = 0), il teorema lo afferma, under a mild condition on the partial derivatives (with respect to the yis) at a point, the m variables yi are differentiable functions of the xj in some neighborhood of the point. As these functions can generally not be expressed in closed form, they are implicitly defined by the equations, and this motivated the name of the theorem.[1] In altre parole, under a mild condition on the partial derivatives, the set of zeros of a system of equations is locally the graph of a function.

Contenuti 1 Storia 2 Primo esempio 3 Definizioni 4 Enunciato del teorema 4.1 Higher derivatives 5 Proof for 2D case 6 The circle example 7 Applicazione: change of coordinates 7.1 Esempio: polar coordinates 8 generalizzazioni 8.1 Banach space version 8.2 Implicit functions from non-differentiable functions 9 Guarda anche 10 Appunti 11 Riferimenti 12 Further reading History Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) is credited with the first rigorous form of the implicit function theorem. Ulisse Dini (1845–1918) generalized the real-variable version of the implicit function theorem to the context of functions of any number of real variables.[2] First example The unit circle can be specified as the level curve f(X, y) = 1 of the function f(X, y) = x2 + y2. Around point A, y can be expressed as a function y(X). In this example this function can be written explicitly as {stile di visualizzazione g_{1}(X)={mq {1-x^{2}}};} in many cases no such explicit expression exists, but one can still refer to the implicit function y(X). No such function exists around point B.

If we define the function f(X, y) = x2 + y2, then the equation f(X, y) = 1 cuts out the unit circle as the level set {(X, y) | f(X, y) = 1}. There is no way to represent the unit circle as the graph of a function of one variable y = g(X) because for each choice of x ∈ (-1, 1), there are two choices of y, vale a dire {displaystyle pm {mq {1-x^{2}}}} .

Tuttavia, it is possible to represent part of the circle as the graph of a function of one variable. If we let {stile di visualizzazione g_{1}(X)={mq {1-x^{2}}}} for −1 ≤ x ≤ 1, then the graph of y = g1(X) provides the upper half of the circle. Allo stesso modo, Se {stile di visualizzazione g_{2}(X)=-{mq {1-x^{2}}}} , then the graph of y = g2(X) gives the lower half of the circle.

The purpose of the implicit function theorem is to tell us the existence of functions like g1(X) and g2(X), even in situations where we cannot write down explicit formulas. It guarantees that g1(X) and g2(X) are differentiable, and it even works in situations where we do not have a formula for f(X, y).

Definitions Let {stile di visualizzazione f:mathbb {R} ^{n+m}a matematicabb {R} ^{m}} be a continuously differentiable function. We think of {displaystyle mathbb {R} ^{n+m}} as the Cartesian product {displaystyle mathbb {R} ^{n}volte mathbb {R} ^{m},} and we write a point of this product as {stile di visualizzazione (mathbf {X} ,mathbf {y} )=(X_{1},ldot ,X_{n},si_{1},ldots y_{m}).} Starting from the given function {stile di visualizzazione f} , our goal is to construct a function {stile di visualizzazione g:mathbb {R} ^{n}a matematicabb {R} ^{m}} whose graph {stile di visualizzazione ({textbf {X}},g({textbf {X}}))} is precisely the set of all {stile di visualizzazione ({textbf {X}},{textbf {y}})} tale che {stile di visualizzazione f({textbf {X}},{textbf {y}})={textbf {0}}} .

Come sopra annotato, this may not always be possible. We will therefore fix a point {stile di visualizzazione ({textbf {un}},{textbf {b}})=(un_{1},punti ,un_{n},b_{1},punti ,b_{m})} which satisfies {stile di visualizzazione f({textbf {un}},{textbf {b}})={textbf {0}}} , and we will ask for a {stile di visualizzazione g} that works near the point {stile di visualizzazione ({textbf {un}},{textbf {b}})} . In altre parole, we want an open set {displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}} contenente {stile di visualizzazione {textbf {un}}} , an open set {displaystyle Vsubset mathbb {R} ^{m}} contenente {stile di visualizzazione {textbf {b}}} , and a function {stile di visualizzazione g:Uto V} such that the graph of {stile di visualizzazione g} satisfies the relation {stile di visualizzazione f={textbf {0}}} Su {displaystyle Utimes V} , and that no other points within {displaystyle Utimes V} do so. Nei simboli, {stile di visualizzazione {(mathbf {X} ,g(mathbf {X} ))mid mathbf {X} in U}={(mathbf {X} ,mathbf {y} )in Utimes Vmid f(mathbf {X} ,mathbf {y} )=mathbf {0} }.} To state the implicit function theorem, we need the Jacobian matrix of {stile di visualizzazione f} , which is the matrix of the partial derivatives of {stile di visualizzazione f} . Abbreviating {stile di visualizzazione (un_{1},punti ,un_{n},b_{1},punti ,b_{m})} a {stile di visualizzazione ({textbf {un}},{textbf {b}})} , the Jacobian matrix is {stile di visualizzazione (Df)(mathbf {un} ,mathbf {b} )= sinistra[{inizio{matrice}{frac {partial f_{1}}{parziale x_{1}}}(mathbf {un} ,mathbf {b} )&cdots &{frac {partial f_{1}}{parziale x_{n}}}(mathbf {un} ,mathbf {b} )\vdots &ddots &vdots \{frac {partial f_{m}}{parziale x_{1}}}(mathbf {un} ,mathbf {b} )&cdots &{frac {partial f_{m}}{parziale x_{n}}}(mathbf {un} ,mathbf {b} )fine{matrice}}Giusto|sinistra.{inizio{matrice}{frac {partial f_{1}}{partial y_{1}}}(mathbf {un} ,mathbf {b} )&cdots &{frac {partial f_{1}}{partial y_{m}}}(mathbf {un} ,mathbf {b} )\vdots &ddots &vdots \{frac {partial f_{m}}{partial y_{1}}}(mathbf {un} ,mathbf {b} )&cdots &{frac {partial f_{m}}{partial y_{m}}}(mathbf {un} ,mathbf {b} )\fine{matrice}}Giusto]=[X|Y]} dove {stile di visualizzazione X} is the matrix of partial derivatives in the variables {stile di visualizzazione x_{io}} e {stile di visualizzazione Y} is the matrix of partial derivatives in the variables {stile di visualizzazione y_{j}} . The implicit function theorem says that if {stile di visualizzazione Y} is an invertible matrix, poi ci sono {stile di visualizzazione U} , {stile di visualizzazione V} , e {stile di visualizzazione g} come desiderato. Writing all the hypotheses together gives the following statement.

Enunciato del teorema Let {stile di visualizzazione f:mathbb {R} ^{n+m}a matematicabb {R} ^{m}} be a continuously differentiable function, e lascia {displaystyle mathbb {R} ^{n+m}} have coordinates {stile di visualizzazione ({textbf {X}},{textbf {y}})} . Fissa un punto {stile di visualizzazione ({textbf {un}},{textbf {b}})=(un_{1},punti ,un_{n},b_{1},punti ,b_{m})} insieme a {stile di visualizzazione f({textbf {un}},{textbf {b}})=mathbf {0} } , dove {displaystyle mathbf {0} in matematica bb {R} ^{m}} is the zero vector. If the Jacobian matrix (this is the right-hand panel of the Jacobian matrix shown in the previous section): {stile di visualizzazione J_{f,mathbf {y} }(mathbf {un} ,mathbf {b} )= sinistra[{frac {partial f_{io}}{partial y_{j}}}(mathbf {un} ,mathbf {b} )Giusto]} is invertible, then there exists an open set {displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}} contenente {stile di visualizzazione {textbf {un}}} such that there exists a unique continuously differentiable function {stile di visualizzazione g:Uto mathbb {R} ^{m}} tale che {stile di visualizzazione g(mathbf {un} )=mathbf {b} } , e {stile di visualizzazione f(mathbf {X} ,g(mathbf {X} ))=mathbf {0} ~{testo{per tutti}}~mathbf {X} in U} . Inoltre, denoting the left-hand panel of the Jacobian matrix shown in the previous section as: {stile di visualizzazione J_{f,mathbf {X} }(mathbf {un} ,mathbf {b} )= sinistra[{frac {partial f_{io}}{parziale x_{j}}}(mathbf {un} ,mathbf {b} )Giusto],} the Jacobian matrix of partial derivatives of {stile di visualizzazione g} in {stile di visualizzazione U} are given by the matrix product:[3] {stile di visualizzazione a sinistra[{frac {partial g_{io}}{parziale x_{j}}}(mathbf {X} )Giusto]_{mtimes n}=-left[J_{f,mathbf {y} }(mathbf {X} ,g(mathbf {X} ))Giusto]_{mtimes m}^{-1},sinistra[J_{f,mathbf {X} }(mathbf {X} ,g(mathbf {X} ))Giusto]_{mtimes n}} Higher derivatives If, moreover, {stile di visualizzazione f} is analytic or continuously differentiable {stile di visualizzazione k} times in a neighborhood of {stile di visualizzazione ({textbf {un}},{textbf {b}})} , then one may choose {stile di visualizzazione U} in order that the same holds true for {stile di visualizzazione g} dentro {stile di visualizzazione U} . [4] In the analytic case, this is called the analytic implicit function theorem.

Proof for 2D case Suppose {stile di visualizzazione F:mathbb {R} ^{2}a matematicabb {R} } is a continuously differentiable function defining a curve {stile di visualizzazione F(mathbf {r} )=F(X,y)=0} . Permettere {stile di visualizzazione (X_{0},si_{0})} be a point on the curve. The statement of the theorem above can be rewritten for this simple case as follows: Theorem — If {displaystyle left.{frac {parziale F}{parziale y}}Giusto|_{(X_{0},si_{0})}neq 0} then for the curve around {stile di visualizzazione (X_{0},si_{0})} possiamo scrivere {displaystyle y=f(X)} , dove {stile di visualizzazione f} is a real function.

Prova. Since F is differentiable we write the differential of F through partial derivatives: {displaystyle matematica {d} F=operatorname {grad} Fcdot mathrm {d} mathbf {r} ={frac {parziale F}{parziale x}}matematica {d} x+{frac {parziale F}{parziale y}}matematica {d} y.} Since we are restricted to movement on the curve {displaystyle matematica {d} F=0} and by assumption {stile di visualizzazione {tfrac {parziale F}{parziale y}}neq 0} around the point {stile di visualizzazione (X_{0},si_{0})} (da {stile di visualizzazione {tfrac {parziale F}{parziale y}}} is continuous at {stile di visualizzazione (X_{0},si_{0})} e {displaystyle left.{tfrac {parziale F}{parziale y}}Giusto|_{(X_{0},si_{0})}neq 0} ). Therefore we have a first-order ordinary differential equation: {displaystyle parziale _{X}Fmathrm {d} x+partial _{y}Fmathrm {d} y=0,quad y(X_{0})=y_{0}} Now we are looking for a solution to this ODE in an open interval around the point {stile di visualizzazione (X_{0},si_{0})} per cui, at every point in it, {displaystyle parziale _{y}Fneq 0} . Since F is continuously differentiable and from the assumption we have {stile di visualizzazione |parziale _{X}F|

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