Identity theorem

Identity theorem In real analysis and complex analysis, branches of mathematics, the identity theorem for analytic functions states: given functions f and g analytic on a domain D (open and connected subset of {estilo de exibição mathbb {R} } ou {estilo de exibição mathbb {C} } ), if f = g on some {displaystyle Ssubseteq D} , Onde {estilo de exibição S} has an accumulation point, then f = g on D.

Thus an analytic function is completely determined by its values on a single open neighborhood in D, or even a countable subset of D (provided this contains a converging sequence). This is not true in general for real-differentiable functions, even infinitely real-differentiable functions. In comparison, analytic functions are a much more rigid notion. Informalmente, one sometimes summarizes the theorem by saying analytic functions are "hard" (as opposed to, dizer, continuous functions which are "soft").

The underpinning fact from which the theorem is established is the expandability of a holomorphic function into its Taylor series.

The connectedness assumption on the domain D is necessary. Por exemplo, if D consists of two disjoint open sets, {estilo de exibição f} pode ser {estilo de exibição 0} on one open set, e {estilo de exibição 1} on another, enquanto {estilo de exibição g} é {estilo de exibição 0} on one, e {estilo de exibição 2} on another.

Conteúdo 1 Lema 2 Prova 3 Full characterisation 3.1 Claim 3.2 Prova 4 Veja também 5 References Lemma If two holomorphic functions {estilo de exibição f} e {estilo de exibição g} on a domain D agree on a set S which has an accumulation point {estilo de exibição c} dentro {estilo de exibição D} , então {displaystyle f=g} on a disk in {estilo de exibição D} centered at {estilo de exibição c} .

Para provar isso, it is enough to show that {estilo de exibição f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)} para todos {ngeq de estilo de exibição 0} .

If this is not the case, deixar {estilo de exibição m} be the smallest nonnegative integer with {estilo de exibição f^{(m)}(c)neq g^{(m)}(c)} . By holomorphy, we have the following Taylor series representation in some open neighborhood U of {estilo de exibição c} : {estilo de exibição {começar{alinhado}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}cdot esquerda[{fratura {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{fratura {(z-c)cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+cdots certo]\[6pt]&{}=(z-c)^{m}cdot h(z).fim{alinhado}}} By continuity, {estilo de exibição h} is non-zero in some small open disk {estilo de exibição B} por aí {estilo de exibição c} . But then {displaystyle f-gneq 0} on the punctured set {displaystyle B-{c}} . This contradicts the assumption that {estilo de exibição c} is an accumulation point of {estilo de exibição {f=g}} .

This lemma shows that for a complex number {displaystyle ain mathbb {C} } , the fiber {estilo de exibição f^{-1}(uma)} is a discrete (and therefore countable) definir, unless {displaystyle fequiv a} .

Proof Define the set on which {estilo de exibição f} e {estilo de exibição g} have the same Taylor expansion: {displaystyle S=left{zin Dmid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){texto{ para todos }}kgeq 0right}=bigcap _{k=0}^{infty }deixei{zin Dmid left(f^{(k)}-g^{(k)}certo)(z)=0right}.} We'll show {estilo de exibição S} is nonempty, open, and closed. Then by connectedness of {estilo de exibição D} , {estilo de exibição S} must be all of {estilo de exibição D} , which implies {displaystyle f=g} sobre {displaystyle S=D} .

Pelo lema, {displaystyle f=g} in a disk centered at {estilo de exibição c} dentro {estilo de exibição D} , they have the same Taylor series at {estilo de exibição c} , assim {displaystyle cin S} , {estilo de exibição S} is nonempty.

Como {estilo de exibição f} e {estilo de exibição g} are holomorphic on {estilo de exibição D} , {displaystyle forall win S} , the Taylor series of {estilo de exibição f} e {estilo de exibição g} no {displaystyle w} have non-zero radius of convergence. Portanto, the open disk {estilo de exibição B_{r}(W)} also lies in {estilo de exibição S} para alguns {estilo de exibição r} . Então {estilo de exibição S} is open.

By holomorphy of {estilo de exibição f} e {estilo de exibição g} , they have holomorphic derivatives, so all {estilo de exibição f^{(n)},g^{(n)}} are continuous. Isso significa que {estilo de exibição {zin Dmid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0}} is closed for all {estilo de exibição k} . {estilo de exibição S} is an intersection of closed sets, so it's closed.

Full characterisation Since the Identity Theorem is concerned with the equality of two holomorphic functions, we can simply consider the difference (which remains holomorphic) and can simply characterise when a holomorphic function is identically {estilo de texto 0} . The following result can be found in.[1] Claim Let {textstyle Gsubseteq mathbb {C} } denote a non-empty, connected open subset of the complex plane. Por {estilo de texto h:Gto mathbb {C} } os seguintes são equivalentes.

{textstyle hequiv 0} sobre {textstyle G} ; the set {textstyle G_{0}={zin Gmid h(z)=0}} contains an accumulation point, {textstyle z_{0}} ; the set {textstyle G_{ast }=bigcap _{nin mathbb {N} _{0}}G_{n}} is non-empty, Onde {textstyle G_{n}:={zin Gmid h^{(n)}(z)=0}} . Proof The directions (1 {textstyle Rightarrow } 2) e (1 {textstyle Rightarrow } 3) hold trivially.

Por (3 {textstyle Rightarrow } 1), by connectedness of {textstyle G} it suffices to prove that the non-empty subset, {textstyle G_{ast }subseteq G} , is clopen (since a topological space is connected if and only if it has no proper clopen subsets). Since holomorphic functions are infinitely differentiable, ou seja. {textstyle hin C^{infty }(G)} , it is clear that {textstyle G_{ast }} is closed. To show openness, consider some {textstyle uin G_{ast }} . Consider an open ball {textstyle Usubseteq G} contendo {textstyle u} , in which {estilo de texto h} has a convergent Taylor-series expansion centered on {textstyle u} . By virtue of {textstyle uin G_{ast }} , all coefficients of this series are {estilo de texto 0} , whence {textstyle hequiv 0} sobre {textstyle U} . It follows that all {textstyle n} -th derivatives of {estilo de texto h} são {estilo de texto 0} sobre {textstyle U} , whence {textstyle Usubseteq G_{ast }} . So each {textstyle uin G_{ast }} lies in the interior of {textstyle G_{ast }} .

Towards (2 {textstyle Rightarrow } 3), fix an accumulation point {textstyle z_{0}in G_{0}} . We now prove directly by induction that {textstyle z_{0}in G_{n}} para cada {textstyle nin mathbb {N} _{0}} . To this end let {textstyle rin (0,infty )} be strictly smaller than the convergence radius of the power series expansion of {estilo de texto h} por aí {textstyle z_{0}} , dado por {textstyle sum _{kin mathbb {N} _{0}}{fratura {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k}} . Fix now some {textstyle ngeq 0} and assume that {textstyle z_{0}in G_{k}} para todos {textstyle k

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