Teorema di identità

Identity theorem In real analysis and complex analysis, branche della matematica, the identity theorem for analytic functions states: given functions f and g analytic on a domain D (open and connected subset of {displaystyle mathbb {R} } o {displaystyle mathbb {C} } ), if f = g on some {displaystyle Ssubseteq D} , dove {stile di visualizzazione S} has an accumulation point, then f = g on D.

Thus an analytic function is completely determined by its values on a single open neighborhood in D, or even a countable subset of D (provided this contains a converging sequence). This is not true in general for real-differentiable functions, even infinitely real-differentiable functions. In comparison, analytic functions are a much more rigid notion. In modo informale, one sometimes summarizes the theorem by saying analytic functions are "hard" (as opposed to, dire, continuous functions which are "soft").

The underpinning fact from which the theorem is established is the expandability of a holomorphic function into its Taylor series.

The connectedness assumption on the domain D is necessary. Per esempio, if D consists of two disjoint open sets, {stile di visualizzazione f} può essere {stile di visualizzazione 0} on one open set, e {stile di visualizzazione 1} on another, mentre {stile di visualizzazione g} è {stile di visualizzazione 0} on one, e {stile di visualizzazione 2} on another.

Contenuti 1 Lemma 2 Prova 3 Full characterisation 3.1 Claim 3.2 Prova 4 Guarda anche 5 References Lemma If two holomorphic functions {stile di visualizzazione f} e {stile di visualizzazione g} on a domain D agree on a set S which has an accumulation point {stile di visualizzazione c} in {stile di visualizzazione D} , poi {displaystyle f=g} on a disk in {stile di visualizzazione D} centered at {stile di visualizzazione c} .

Per dimostrarlo, it is enough to show that {stile di visualizzazione f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)} per tutti {stile di visualizzazione ngeq 0} .

If this is not the case, permettere {stile di visualizzazione m} be the smallest nonnegative integer with {stile di visualizzazione f^{(m)}(c)neq g^{(m)}(c)} . By holomorphy, we have the following Taylor series representation in some open neighborhood U of {stile di visualizzazione c} : {stile di visualizzazione {inizio{allineato}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}cdot a sinistra[{frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{frac {(z-c)cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+cdot a destra]\[6pt]&{}=(z-c)^{m}cdot h(z).fine{allineato}}} By continuity, {stile di visualizzazione h} is non-zero in some small open disk {stile di visualizzazione B} intorno a {stile di visualizzazione c} . But then {displaystyle f-gneq 0} on the punctured set {displaystyle B-{c}} . This contradicts the assumption that {stile di visualizzazione c} is an accumulation point of {stile di visualizzazione {f=g}} .

This lemma shows that for a complex number {displaystyle ain mathbb {C} } , the fiber {stile di visualizzazione f^{-1}(un)} is a discrete (and therefore countable) impostare, unless {displaystyle fequiv a} .

Proof Define the set on which {stile di visualizzazione f} e {stile di visualizzazione g} have the same Taylor expansion: {displaystyle S=left{zin Dmid f^{(K)}(z)=g^{(K)}(z){testo{ per tutti }}kgeq 0right}= maiuscoletto _{k=0}^{infty }sinistra{zin Dmid left(f^{(K)}-g^{(K)}Giusto)(z)=0right}.} We'll show {stile di visualizzazione S} is nonempty, open, and closed. Then by connectedness of {stile di visualizzazione D} , {stile di visualizzazione S} must be all of {stile di visualizzazione D} , il che implica {displaystyle f=g} Su {displaystyle S=D} .

Per il lemma, {displaystyle f=g} in a disk centered at {stile di visualizzazione c} in {stile di visualizzazione D} , they have the same Taylor series at {stile di visualizzazione c} , Così {displaystyle cin S} , {stile di visualizzazione S} is nonempty.

Come {stile di visualizzazione f} e {stile di visualizzazione g} are holomorphic on {stile di visualizzazione D} , {displaystyle forall win S} , the Taylor series of {stile di visualizzazione f} e {stile di visualizzazione g} a {displaystyle w} have non-zero radius of convergence. Perciò, the open disk {stile di visualizzazione B_{r}(w)} also lies in {stile di visualizzazione S} per alcuni {stile di visualizzazione r} . Così {stile di visualizzazione S} is open.

By holomorphy of {stile di visualizzazione f} e {stile di visualizzazione g} , they have holomorphic derivatives, so all {stile di visualizzazione f^{(n)},g^{(n)}} are continuous. Ciò significa che {stile di visualizzazione {zin Dmid (f^{(K)}-g^{(K)})(z)=0}} is closed for all {stile di visualizzazione k} . {stile di visualizzazione S} is an intersection of closed sets, so it's closed.

Full characterisation Since the Identity Theorem is concerned with the equality of two holomorphic functions, we can simply consider the difference (which remains holomorphic) and can simply characterise when a holomorphic function is identically {stile di testo 0} . The following result can be found in.[1] Claim Let {textstyle Gsubseteq mathbb {C} } denote a non-empty, connected open subset of the complex plane. Per {stile del testo h:Gto matematicabb {C} } i seguenti sono equivalenti.

{textstyle hequiv 0} Su {textstyle G} ; il set {textstyle G_{0}={zin Gmid h(z)=0}} contains an accumulation point, {textstyle z_{0}} ; il set {textstyle G_{ast }= maiuscoletto _{nin mathbb {N} _{0}}G_{n}} is non-empty, dove {textstyle G_{n}:={zin Gmid h^{(n)}(z)=0}} . Proof The directions (1 {textstyle Rightarrow } 2) e (1 {textstyle Rightarrow } 3) hold trivially.

Per (3 {textstyle Rightarrow } 1), by connectedness of {textstyle G} it suffices to prove that the non-empty subset, {textstyle G_{ast }subseteq G} , is clopen (since a topological space is connected if and only if it has no proper clopen subsets). Since holomorphic functions are infinitely differentiable, cioè. {textstyle hin C^{infty }(G)} , it is clear that {textstyle G_{ast }} is closed. To show openness, consider some {textstyle uin G_{ast }} . Consider an open ball {textstyle Usubseteq G} contenente {textstyle u} , in quale {stile del testo h} has a convergent Taylor-series expansion centered on {textstyle u} . By virtue of {textstyle uin G_{ast }} , all coefficients of this series are {stile di testo 0} , donde {textstyle hequiv 0} Su {textstyle U} . It follows that all {textstyle n} -th derivatives of {stile del testo h} sono {stile di testo 0} Su {textstyle U} , donde {textstyle Usubseteq G_{ast }} . So each {textstyle uin G_{ast }} lies in the interior of {textstyle G_{ast }} .

Towards (2 {textstyle Rightarrow } 3), fix an accumulation point {textstyle z_{0}in G_{0}} . We now prove directly by induction that {textstyle z_{0}in G_{n}} per ciascuno {textstyle nin mathbb {N} _{0}} . To this end let {textstyle rin (0,infty )} be strictly smaller than the convergence radius of the power series expansion of {stile del testo h} intorno a {textstyle z_{0}} , dato da {textstyle sum _{kin mathbb {N} _{0}}{frac {h^{(K)}(z_{0})}{K!}}(z-z_{0})^{K}} . Fix now some {textstyle ngeq 0} and assume that {textstyle z_{0}in G_{K}} per tutti {textstyle k

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