Hilbert's Theorem 90

Hilbert's Theorem 90 (Redirected from Hilbert's theorem 90) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Em álgebra abstrata, Hilbert's Theorem 90 (or Satz 90) is an important result on cyclic extensions of fields (or to one of its generalizations) that leads to Kummer theory. In its most basic form, it states that if L/K is an extension of fields with cyclic Galois group G = Gal(L/K) generated by an element {estilo de exibição sigma ,} e se {estilo de exibição a} is an element of L of relative norm 1, isso é {estilo de exibição N(uma):=a,sigma (uma),sigma^{2}(uma)cdots sigma ^{n-1}(uma)=1,} then there exists {estilo de exibição b} in L such that {displaystyle a=b/sigma (b).} The theorem takes its name from the fact that it is the 90th theorem in David Hilbert's Zahlbericht (Hilbert 1897, 1998), although it is originally due to Kummer (1855, p.213, 1861).

Often a more general theorem due to Emmy Noether (1933) is given the name, stating that if L/K is a finite Galois extension of fields with arbitrary Galois group G = Gal(L/K), then the first cohomology group of G, with coefficients in the multiplicative group of L, é trivial: {estilo de exibição H^{1}(G,L^{vezes })={1}.} Conteúdo 1 Exemplos 2 Cohomology 3 Prova 4 Referências 5 External links Examples Let {displaystyle L/K} be the quadratic extension {estilo de exibição mathbb {Q} (eu)/mathbb {Q} } . The Galois group is cyclic of order 2, its generator {estilo de exibição sigma } acting via conjugation: {estilo de exibição sigma :c+dimapsto c-di.} An element {displaystyle a=x+yi} dentro {estilo de exibição mathbb {Q} (eu)} has norm {displaystyle asigma (uma)=x^{2}+^{2}} . An element of norm one thus corresponds to a rational solution of the equation {estilo de exibição x^{2}+^{2}=1} or in other words, a point with rational coordinates on the unit circle. Hilbert's Theorem 90 then states that every such element a of norm one can be written as {displaystyle a={fratura {c-di}{c+di}}={fratura {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{fratura {2cd}{c^{2}+d^{2}}}eu,} Onde {displaystyle b=c+di} is as in the conclusion of the theorem, and c and d are both integers. This may be viewed as a rational parametrization of the rational points on the unit circle. Rational points {estilo de exibição (x,y)=(p/r,q/r)} no círculo unitário {estilo de exibição x^{2}+^{2}=1} correspond to Pythagorean triples, ou seja. triples {estilo de exibição (p,q,r)} of integers satisfying {estilo de exibição p^{2}+q^{2}=r^{2}} .

Cohomology The theorem can be stated in terms of group cohomology: if L× is the multiplicative group of any (not necessarily finite) Galois extension L of a field K with corresponding Galois group G, então {estilo de exibição H^{1}(G,L^{vezes })={1}.} Especificamente, group cohomology is the cohomology of the complex whose i-cochains are arbitrary functions from i-tuples of group elements to the multiplicative coefficient group, {estilo de exibição C^{eu}(G,L^{vezes })={phi :G^{eu}to L^{vezes }}} , with differentials {estilo de exibição d^{eu}:C^{eu}to C^{i+1}} defined in dimensions {displaystyle i=0,1} por: {estilo de exibição (d^{0}(b))(sigma )=b/b^{sigma },quadrilátero {texto{ e }}quadrilátero (d^{1}(phi ))(sigma ,sim ),=,phi (sigma )phi (sim )^{sigma }/phi (sigma tau ),} Onde {estilo de exibição x^{g}} denotes the image of the {estilo de exibição G} -module element {estilo de exibição x} under the action of the group element {displaystyle gin G} . Note that in the first of these we have identified a 0-cochain {displaystyle gamma =gamma _{b}:G^{0}=id_{G}to L^{vezes }} , with its unique image value {displaystyle bin L^{vezes }} . The triviality of the first cohomology group is then equivalent to the 1-cocycles {displaystyle Z^{1}} being equal to the 1-coboundaries {estilo de exibição B^{1}} , viz.: {estilo de exibição {começar{variedade}{rcl}Z^{1}&=&ker d^{1}&=&{phi in C^{1}{texto{ satisfatório }},,forall sigma ,tau in G,colon ,,phi (sigma tau )=phi (sigma ),phi (sim )^{sigma }}\{texto{ é igual a }}\B^{1}&=&{texto{Eu estou }}d^{0}&=&{phi in C^{1} ,colon ,,existe ,bin L^{vezes }{texto{ de tal modo que }}phi (sigma )=b/b^{sigma } forall sigma in G}.fim{variedade}}} For cyclic {estilo de exibição G={1,sigma ,ldots ,sigma^{n-1}}} , a 1-cocycle is determined by {estilo de exibição phi (sigma )=ain L^{vezes }} , com {estilo de exibição phi (sigma^{eu})=a,sigma (uma)cdots sigma ^{i-1}(uma)} e: {displaystyle 1=phi (1)=phi (sigma^{n})=a,sigma (uma)cdots sigma ^{n-1}(uma)=N(uma).} Por outro lado, a 1-coboundary is determined by {estilo de exibição phi (sigma )=b/b^{sigma }} . Equating these gives the original version of the Theorem.

A further generalization is to cohomology with non-abelian coefficients: that if H is either the general or special linear group over L, Incluindo {nome do operador de estilo de exibição {GL} _{1}(eu)=L^{vezes }} , então {estilo de exibição H^{1}(G,H)={1}.} Another generalization is to a scheme X: {estilo de exibição H_{texto{et}}^{1}(X,mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{matemática {O}}_{X}^{vezes })=nome do operador {Pic} (X),} Onde {nome do operador de estilo de exibição {Pic} (X)} is the group of isomorphism classes of locally free sheaves of {estilo de exibição {matemática {O}}_{X}^{vezes }} -modules of rank 1 for the Zariski topology, e {estilo de exibição mathbb {G} _{m}} is the sheaf defined by the affine line without the origin considered as a group under multiplication. [1] There is yet another generalization to Milnor K-theory which plays a role in Voevodsky's proof of the Milnor conjecture.

Proof Let {displaystyle L/K} be cyclic of degree {estilo de exibição m,} e {estilo de exibição sigma } generate {nome do operador de estilo de exibição {Garota} (L/K)} . Pick any {displaystyle ain L} of norm {estilo de exibição N(uma):=asigma (uma)sigma^{2}(uma)cdots sigma ^{n-1}(uma)=1.} By clearing denominators, solving {displaystyle a=x/sigma ^{-1}(x)in L} is the same as showing that {displaystyle asigma ^{-1}(cdot ):Lto L} tem {estilo de exibição 1} as an eigenvalue. We extend this to a map of {estilo de exibição L} -vector spaces via {estilo de exibição {começar{casos}1_{eu}otimes asigma ^{-1}(cdot ):Lotimes _{K}Lto Lotimes _{K}L\ell otimes ell 'mapsto ell otimes asigma ^{-1}(ell ').fim{casos}}} The primitive element theorem gives {displaystyle L=K(alfa )} para alguns {alfa de estilo de exibição } . Desde {alfa de estilo de exibição } has minimal polynomial {estilo de exibição f(t)=(t-alpha )(t-sigma (alfa ))cdots left(t-sigma ^{n-1}(alfa )certo)in K[t],} we can identify {displaystyle Lotimes _{K}eu{pilha {sim }{para }}Lotimes _{K}K[t]/f(t){pilha {sim }{para }}eu[t]/f(t){pilha {sim }{para }}L^{n}} através da {displaystyle ell otimes p(alfa )mapsto ell left(p(alfa ),p(sigma alpha ),ldots ,p(sigma^{n-1}alfa )certo).} Here we wrote the second factor as a {estilo de exibição K} -polynomial in {alfa de estilo de exibição } .

Under this identification, our map becomes {estilo de exibição {começar{casos}asigma ^{-1}(cdot ):L^{n}to L^{n}\ell left(p(alfa ),ldots ,p(sigma^{n-1}alfa ))mapsto ell (ap(sigma^{n-1}alfa ),sigma ap(alfa ),ldots ,sigma^{n-1}ap(sigma^{n-2}alfa )certo).fim{casos}}} That is to say under this map {estilo de exibição (ell _{1},ldots ,ell _{n})mapsto (aell _{n},sigma aell _{1},ldots ,sigma^{n-1}aell _{n-1}).} {estilo de exibição (1,sigma a,sigma asigma ^{2}uma,ldots ,sigma acdots sigma ^{n-1}uma)} is an eigenvector with eigenvalue {estilo de exibição 1} se {estilo de exibição a} has norm {estilo de exibição 1} .

References ^ Milne, James S. (2013). "Lectures on Etale Cohomology (v2.21)" (PDF). p. 80. Hilbert, Davi (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Relatório anual da Associação Alemã de Matemáticos (em alemão), 4: 175–546, ISSN 0012-0456 Hilbert, Davi (1998), The theory of algebraic number fields, Berlim, Nova york: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62779-1, SENHOR 1646901 Kummer, Ernst Eduard (1855), "Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke.", Revista de matemática pura e aplicada (em alemão), 50: 212-232, doi:10.1515/crll.1855.50.212, ISSN 0075-4102 Kummer, Ernst Eduard (1861), "Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist", Abdruck aus den Abhandlungen der Kgl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (em alemão), Reprinted in volume 1 of his collected works, pages 699–839 Chapter II of J.S. Milne, Class Field Theory, available at his website [1]. Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexandre; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, fundamentos de ciencias matematicas, volume. 323, Berlim: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, SENHOR 1737196, Zbl 0948.11001 Noether, Emmy (1933), "Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper.", Anais Matemáticos (em alemão), 108 (1): 411–419, doi:10.1007/BF01452845, ISSN 0025-5831, Zbl 0007.29501 Snaith, Victor P. (1994), Galois module structure, Fields Institute monographs, Providência, RI: Sociedade Americana de Matemática, ISBN 0-8218-0264-X, Zbl 0830.11042 External links Wikisource has original text related to this article: Hilbert's Theorem 90 dentro: David Hilbert, Papéis Coletados, Erster Band Categories: Teoremas na teoria dos números algébricos