Hilbert's Theorem 90

Hilbert's Theorem 90 (Redirected from Hilbert's theorem 90) Vai alla navigazione Vai alla ricerca In algebra astratta, Hilbert's Theorem 90 (or Satz 90) is an important result on cyclic extensions of fields (or to one of its generalizations) that leads to Kummer theory. In its most basic form, it states that if L/K is an extension of fields with cyclic Galois group G = Gal(L/K) generated by an element {displaystyle sigma ,} e se {stile di visualizzazione a} is an element of L of relative norm 1, questo è {stile di visualizzazione N(un):=a,sigma (un),sigma ^{2}(un)cdots sigma ^{n-1}(un)=1,} then there exists {stile di visualizzazione b} in L such that {displaystyle a=b/sigma (b).} The theorem takes its name from the fact that it is the 90th theorem in David Hilbert's Zahlbericht (Hilbert 1897, 1998), although it is originally due to Kummer (1855, p.213, 1861).

Often a more general theorem due to Emmy Noether (1933) is given the name, stating that if L/K is a finite Galois extension of fields with arbitrary Galois group G = Gal(L/K), then the first cohomology group of G, with coefficients in the multiplicative group of L, è banale: {stile di visualizzazione H^{1}(G,L^{volte })={1}.} Contenuti 1 Esempi 2 Cohomology 3 Prova 4 Riferimenti 5 External links Examples Let {displaystyle L/K} be the quadratic extension {displaystyle mathbb {Q} (io)/mathbb {Q} } . The Galois group is cyclic of order 2, its generator {displaystyle sigma } acting via conjugation: {displaystyle sigma :c+dimapsto c-di.} An element {displaystyle a=x+yi} in {displaystyle mathbb {Q} (io)} has norm {displaystyle asigma (un)=x^{2}+si^{2}} . An element of norm one thus corresponds to a rational solution of the equation {stile di visualizzazione x^{2}+si^{2}=1} o in altre parole, a point with rational coordinates on the unit circle. Hilbert's Theorem 90 then states that every such element a of norm one can be written as {displaystyle a={frac {c-di}{c+di}}={frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}io,} dove {displaystyle b=c+di} is as in the conclusion of the theorem, and c and d are both integers. This may be viewed as a rational parametrization of the rational points on the unit circle. Rational points {stile di visualizzazione (X,y)=(p/r,q/r)} sul cerchio unitario {stile di visualizzazione x^{2}+si^{2}=1} correspond to Pythagorean triples, cioè. triples {stile di visualizzazione (p,q,r)} of integers satisfying {stile di visualizzazione p^{2}+q^{2}=r^{2}} .

Cohomology The theorem can be stated in terms of group cohomology: if L× is the multiplicative group of any (not necessarily finite) Galois extension L of a field K with corresponding Galois group G, poi {stile di visualizzazione H^{1}(G,L^{volte })={1}.} In particolare, group cohomology is the cohomology of the complex whose i-cochains are arbitrary functions from i-tuples of group elements to the multiplicative coefficient group, {stile di visualizzazione C^{io}(G,L^{volte })={fi :G^{io}to L^{volte }}} , with differentials {stile di visualizzazione d^{io}:C^{io}to C^{io+1}} defined in dimensions {displaystyle i=0,1} di: {stile di visualizzazione (d^{0}(b))(sigma )=b/b^{sigma },quad {testo{ e }}quad (d^{1}(fi ))(sigma ,sì ),=,fi (sigma )fi (sì )^{sigma }/fi (sigma tau ),} dove {stile di visualizzazione x^{g}} denotes the image of the {stile di visualizzazione G} -module element {stile di visualizzazione x} under the action of the group element {displaystyle gin G} . Note that in the first of these we have identified a 0-cochain {displaystyle gamma =gamma _{b}:G^{0}=id_{G}to L^{volte }} , with its unique image value {displaystyle bin L^{volte }} . The triviality of the first cohomology group is then equivalent to the 1-cocycles {displaystyle Z^{1}} being equal to the 1-coboundaries {stile di visualizzazione B^{1}} , viz.: {stile di visualizzazione {inizio{Vettore}{rcl}Z^{1}&=&ker d^{1}&=&{phi in C^{1}{testo{ soddisfacente }},,forall sigma ,tau in G,colon ,,fi (sigma tau )=fi (sigma ),fi (sì )^{sigma }}\{testo{ è uguale a }}\B^{1}&=&{testo{io sono }}d^{0}&=&{phi in C^{1} ,colon ,,esiste ,bin L^{volte }{testo{ tale che }}fi (sigma )=b/b^{sigma } forall sigma in G}.fine{Vettore}}} For cyclic {stile di visualizzazione G={1,sigma ,ldot ,sigma ^{n-1}}} , a 1-cocycle is determined by {stile di visualizzazione phi (sigma )=ain L^{volte }} , insieme a {stile di visualizzazione phi (sigma ^{io})=a,sigma (un)cdots sigma ^{i-1}(un)} e: {displaystyle 1=phi (1)=fi (sigma ^{n})=a,sigma (un)cdots sigma ^{n-1}(un)=N(un).} D'altro canto, a 1-coboundary is determined by {stile di visualizzazione phi (sigma )=b/b^{sigma }} . Equating these gives the original version of the Theorem.

A further generalization is to cohomology with non-abelian coefficients: that if H is either the general or special linear group over L, Compreso {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {GL} _{1}(l)=L^{volte }} , poi {stile di visualizzazione H^{1}(G,H)={1}.} Another generalization is to a scheme X: {stile di visualizzazione H_{testo{et}}^{1}(X,mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{matematico {o}}_{X}^{volte })=nome operatore {Pic} (X),} dove {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Pic} (X)} is the group of isomorphism classes of locally free sheaves of {stile di visualizzazione {matematico {o}}_{X}^{volte }} -modules of rank 1 for the Zariski topology, e {displaystyle mathbb {G} _{m}} is the sheaf defined by the affine line without the origin considered as a group under multiplication. [1] There is yet another generalization to Milnor K-theory which plays a role in Voevodsky's proof of the Milnor conjecture.

Proof Let {displaystyle L/K} be cyclic of degree {stile di visualizzazione n,} e {displaystyle sigma } generate {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Gal} (L/K)} . Pick any {displaystyle ain L} of norm {stile di visualizzazione N(un):=asigma (un)sigma ^{2}(un)cdots sigma ^{n-1}(un)=1.} By clearing denominators, solving {displaystyle a=x/sigma ^{-1}(X)in L} is the same as showing that {displaystyle asigma ^{-1}(cdot ):Lto L} ha {stile di visualizzazione 1} as an eigenvalue. We extend this to a map of {stile di visualizzazione L} -vector spaces via {stile di visualizzazione {inizio{casi}1_{l}otimes asigma ^{-1}(cdot ):Lotimes _{K}Lto Lotimes _{K}L\ell otimes ell 'mapsto ell otimes asigma ^{-1}(ell ').fine{casi}}} The primitive element theorem gives {displaystyle L=K(alfa )} per alcuni {displaystyle alfa } . Da {displaystyle alfa } has minimal polynomial {stile di visualizzazione f(t)=(t-alpha )(t-sigma (alfa ))cdots left(t-sigma ^{n-1}(alfa )Giusto)in K[t],} we can identify {displaystyle Lotimes _{K}l{pila {sim }{a }}Lotimes _{K}K[t]/f(t){pila {sim }{a }}l[t]/f(t){pila {sim }{a }}L^{n}} attraverso {displaystyle ell otimes p(alfa )mapsto ell left(p(alfa ),p(sigma alpha ),ldot ,p(sigma ^{n-1}alfa )Giusto).} Here we wrote the second factor as a {stile di visualizzazione K} -polynomial in {displaystyle alfa } .

Under this identification, our map becomes {stile di visualizzazione {inizio{casi}asigma ^{-1}(cdot ):L^{n}to L^{n}\ell left(p(alfa ),ldot ,p(sigma ^{n-1}alfa ))mapsto ell (ap(sigma ^{n-1}alfa ),sigma ap(alfa ),ldot ,sigma ^{n-1}ap(sigma ^{n-2}alfa )Giusto).fine{casi}}} That is to say under this map {stile di visualizzazione (ell _{1},ldot ,ell _{n})mappe (aell _{n},sigma aell _{1},ldot ,sigma ^{n-1}aell _{n-1}).} {stile di visualizzazione (1,sigma a,sigma asigma ^{2}un,ldot ,sigma acdots sigma ^{n-1}un)} is an eigenvector with eigenvalue {stile di visualizzazione 1} se {stile di visualizzazione a} has norm {stile di visualizzazione 1} .

References ^ Milne, James S. (2013). "Lectures on Etale Cohomology (v2.21)" (PDF). p. 80. Hilbert, Davide (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Relazione annuale dell'Associazione Tedesca dei Matematici (in tedesco), 4: 175–546, ISSN 0012-0456 Hilbert, Davide (1998), The theory of algebraic number fields, Berlino, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62779-1, SIG 1646901 Kummer, Ernst Eduard (1855), "Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke.", Diario di matematica pura e applicata (in tedesco), 50: 212–232, doi:10.1515/crll.1855.50.212, ISSN 0075-4102 Kummer, Ernst Eduard (1861), "Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist", Abdruck aus den Abhandlungen der Kgl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (in tedesco), Reprinted in volume 1 of his collected works, pages 699–839 Chapter II of J.S. Milne, Class Field Theory, available at his website [1]. Neukirch, Jurgen; Schmidt, Alessandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, fondamenti di scienze matematiche, vol. 323, Berlino: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, SIG 1737196, Zbl 0948.11001 Noether, Emmy (1933), "Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper.", Annali matematici (in tedesco), 108 (1): 411–419, doi:10.1007/BF01452845, ISSN 0025-5831, Zbl 0007.29501 Snaith, Victor P. (1994), Galois module structure, Fields Institute monographs, Provvidenza, RI: Società matematica americana, ISBN 0-8218-0264-X, Zbl 0830.11042 External links Wikisource has original text related to this article: Hilbert's Theorem 90 in: David Hilbert, Documenti raccolti, Erster Band Categories: Teoremi nella teoria algebrica dei numeri