Hilbert's basis theorem

Hilbert's basis theorem In mathematics, specifically commutative algebra, Hilbert's basis theorem says that a polynomial ring over a Noetherian ring is Noetherian.

Conteúdo 1 Declaração 2 Prova 2.1 First Proof 2.2 Second Proof 3 Formulários 4 Formal proofs 5 Referências 6 Further reading Statement If {estilo de exibição R} is a ring, deixar {estilo de exibição R[X]} denote the ring of polynomials in the indeterminate {estilo de exibição X} sobre {estilo de exibição R} . Hilbert proved that if {estilo de exibição R} é "not too large", in the sense that if {estilo de exibição R} is Noetherian, the same must be true for {estilo de exibição R[X]} . Formalmente, Hilbert's Basis Theorem. Se {estilo de exibição R} is a Noetherian ring, então {estilo de exibição R[X]} is a Noetherian ring.

Corolário. Se {estilo de exibição R} is a Noetherian ring, então {estilo de exibição R[X_{1},dotsc ,X_{n}]} is a Noetherian ring.

This can be translated into algebraic geometry as follows: every algebraic set over a field can be described as the set of common roots of finitely many polynomial equations. Hilbert proved the theorem (for the special case of polynomial rings over a field) in the course of his proof of finite generation of rings of invariants.[1] Hilbert produced an innovative proof by contradiction using mathematical induction; his method does not give an algorithm to produce the finitely many basis polynomials for a given ideal: it only shows that they must exist. One can determine basis polynomials using the method of Gröbner bases.

Proof Theorem. Se {estilo de exibição R} is a left (resp. certo) Noetherian ring, then the polynomial ring {estilo de exibição R[X]} is also a left (resp. certo) Noetherian ring.

Observação. We will give two proofs, in both only the "deixei" case is considered; the proof for the right case is similar. First Proof Suppose {estilo de exibição {mathfrak {uma}}subseteq R[X]} is a non-finitely generated left ideal. Then by recursion (using the axiom of dependent choice) there is a sequence of polynomials {estilo de exibição {f_{0},f_{1},ldots }} tal que se {estilo de exibição {mathfrak {b}}_{n}} is the left ideal generated by {estilo de exibição f_{0},ldots ,f_{n-1}} então {estilo de exibição f_{n}dentro {mathfrak {uma}}setminus {mathfrak {b}}_{n}} is of minimal degree. É claro que {estilo de exibição {grau(f_{0}),grau(f_{1}),ldots }} is a non-decreasing sequence of natural numbers. Deixar {estilo de exibição a_{n}} be the leading coefficient of {estilo de exibição f_{n}} e deixar {estilo de exibição {mathfrak {b}}} be the left ideal in {estilo de exibição R} generated by {estilo de exibição a_{0},uma_{1},ldots } . Desde {estilo de exibição R} is Noetherian the chain of ideals {estilo de exibição (uma_{0})subset (uma_{0},uma_{1})subset (uma_{0},uma_{1},uma_{2})subset cdots } must terminate. Desta forma {estilo de exibição {mathfrak {b}}=(uma_{0},ldots ,uma_{N-1})} for some integer {estilo de exibição N} . So in particular, {estilo de exibição a_{N}=soma _{euand claim also {estilo de exibição {mathfrak {uma}}subseteq {mathfrak {uma}}^{*}} . Suppose for the sake of contradiction this is not so. Then let {displaystyle hin {mathfrak {uma}}setminus {mathfrak {uma}}^{*}} be of minimal degree, and denote its leading coefficient by {estilo de exibição a} . Caso 1: {displaystyle deg(h)gek d} . Regardless of this condition, temos {displaystyle ain {mathfrak {b}}} , so is a left linear combination {displaystyle a=sum _{j}você_{j}uma_{j}} of the coefficients of the {estilo de exibição f_{j}} . Considerar {estilo de exibição h_{0}triangleq sum _{j}você_{j}X^{grau(h)-grau(f_{j})}f_{j},} which has the same leading term as {estilo de exibição h} ; moreover {estilo de exibição h_{0}dentro {mathfrak {uma}}^{*}} enquanto {displaystyle hnotin {mathfrak {uma}}^{*}} . Portanto {displaystyle h-h_{0}dentro {mathfrak {uma}}setminus {mathfrak {uma}}^{*}} e {displaystyle deg(h-h_{0})

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