Hilbert's basis theorem

Hilbert's basis theorem In mathematics, specifically commutative algebra, Hilbert's basis theorem says that a polynomial ring over a Noetherian ring is Noetherian.

Contenuti 1 Dichiarazione 2 Prova 2.1 First Proof 2.2 Second Proof 3 Applicazioni 4 Formal proofs 5 Riferimenti 6 Further reading Statement If {stile di visualizzazione R} is a ring, permettere {stile di visualizzazione R[X]} denote the ring of polynomials in the indeterminate {stile di visualizzazione X} Sopra {stile di visualizzazione R} . Hilbert proved that if {stile di visualizzazione R} è "not too large", in the sense that if {stile di visualizzazione R} is Noetherian, the same must be true for {stile di visualizzazione R[X]} . Formalmente, Hilbert's Basis Theorem. Se {stile di visualizzazione R} is a Noetherian ring, poi {stile di visualizzazione R[X]} is a Noetherian ring.

Corollario. Se {stile di visualizzazione R} is a Noetherian ring, poi {stile di visualizzazione R[X_{1},punti ,X_{n}]} is a Noetherian ring.

This can be translated into algebraic geometry as follows: every algebraic set over a field can be described as the set of common roots of finitely many polynomial equations. Hilbert proved the theorem (for the special case of polynomial rings over a field) in the course of his proof of finite generation of rings of invariants.[1] Hilbert produced an innovative proof by contradiction using mathematical induction; his method does not give an algorithm to produce the finitely many basis polynomials for a given ideal: it only shows that they must exist. One can determine basis polynomials using the method of Gröbner bases.

Proof Theorem. Se {stile di visualizzazione R} is a left (risp. Giusto) Noetherian ring, then the polynomial ring {stile di visualizzazione R[X]} is also a left (risp. Giusto) Noetherian ring.

Nota. We will give two proofs, in both only the "sinistra" case is considered; the proof for the right case is similar. First Proof Suppose {stile di visualizzazione {mathfrak {un}}subseteq R[X]} is a non-finitely generated left ideal. Then by recursion (using the axiom of dependent choice) there is a sequence of polynomials {stile di visualizzazione {f_{0},f_{1},ldot }} tale che se {stile di visualizzazione {mathfrak {b}}_{n}} is the left ideal generated by {stile di visualizzazione f_{0},ldot ,f_{n-1}} poi {stile di visualizzazione f_{n}in {mathfrak {un}}set meno {mathfrak {b}}_{n}} is of minimal degree. È chiaro che {stile di visualizzazione {gradi(f_{0}),gradi(f_{1}),ldot }} is a non-decreasing sequence of natural numbers. Permettere {stile di visualizzazione a_{n}} be the leading coefficient of {stile di visualizzazione f_{n}} e lascia {stile di visualizzazione {mathfrak {b}}} be the left ideal in {stile di visualizzazione R} generated by {stile di visualizzazione a_{0},un_{1},ldot } . Da {stile di visualizzazione R} is Noetherian the chain of ideals {stile di visualizzazione (un_{0})sottoinsieme (un_{0},un_{1})sottoinsieme (un_{0},un_{1},un_{2})subset cdots } must terminate. così {stile di visualizzazione {mathfrak {b}}=(un_{0},ldot ,un_{N-1})} per qualche numero intero {stile di visualizzazione N} . Quindi in particolare, {stile di visualizzazione a_{N}=somma _{ioand claim also {stile di visualizzazione {mathfrak {un}}sottoseq {mathfrak {un}}^{*}} . Suppose for the sake of contradiction this is not so. Then let {displaystyle hin {mathfrak {un}}set meno {mathfrak {un}}^{*}} be of minimal degree, and denote its leading coefficient by {stile di visualizzazione a} . Caso 1: {displaystyle deg(h)gek d} . Regardless of this condition, noi abbiamo {displaystyle ain {mathfrak {b}}} , so is a left linear combination {displaystyle a=sum _{j}tu_{j}un_{j}} of the coefficients of the {stile di visualizzazione f_{j}} . Ritenere {stile di visualizzazione h_{0}triangleq sum _{j}tu_{j}X^{gradi(h)-gradi(f_{j})}f_{j},} which has the same leading term as {stile di visualizzazione h} ; moreover {stile di visualizzazione h_{0}in {mathfrak {un}}^{*}} mentre {displaystyle hnotin {mathfrak {un}}^{*}} . Perciò {displaystyle h-h_{0}in {mathfrak {un}}set meno {mathfrak {un}}^{*}} e {displaystyle deg(h-h_{0})

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