Hilbert–Schmidt theorem

Hilbert–Schmidt theorem In mathematical analysis, the Hilbert–Schmidt theorem, also known as the eigenfunction expansion theorem, is a fundamental result concerning compact, self-adjoint operators on Hilbert spaces. In the theory of partial differential equations, it is very useful in solving elliptic boundary value problems.

Enunciato del teorema Let (H, ⟨ , ⟩) be a real or complex Hilbert space and let A : H → H be a bounded, compatto, self-adjoint operator. Then there is a sequence of non-zero real eigenvalues λi, i = 1, …, N, with N equal to the rank of A, tale che |io| is monotonically non-increasing and, if N = +∞, {displaystyle lim _{ito +infty }lambda _{io}=0.} Inoltre, if each eigenvalue of A is repeated in the sequence according to its multiplicity, then there exists an orthonormal set φi, i = 1, …, N, of corresponding eigenfunctions, cioè., {displaystyle Avarphi _{io}= lambda _{io}varfi _{io}{mbox{ per }}i=1,dots ,N.} Inoltre, the functions φi form an orthonormal basis for the range of A and A can be written as {displaystyle Au=sum _{io=1}^{N}lambda _{io}langle varphi _{io},urangle varphi _{io}{mbox{ per tutti }}uin H.} Riferimenti Renardi, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introduzione alle equazioni alle derivate parziali. Testi in Matematica Applicata 13 (Seconda ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0. (Teorema 8.94) Royden, Halsey; Fitzpatrick, Patrizio (2017). Real Analysis (Fourth ed.). New York: MacMillan. ISBN 0134689496. (Sezione 16.6) nascondi vte Analisi funzionale (argomenti – glossario) Spazi BanachBesovFréchetHilbertHölderNucleareOrliczSchwartzSobolevVettore topologico Proprietà barrelledcompletatodual (algebrico/topologico)localmente convessoriflessivoseparabile TeoremiHahn–BanachRieszrappresentazionegrafo chiusoprincipio di limitatezza uniformeKakutani punto fissoKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatori adjointboundedcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebres Algebra di BanachC*-algebraspettro di un'algebra C*problemi di un operatore algebra localmente compatto di un'algebra di Neumanngruppo compatto di un'algebra di Neumann Problema del sottospazio Congettura di Mahler Applicazioni Spazio di Hardy Teoria spettrale delle equazioni differenziali ordinarie Heat Kernel Teorema dell'indice Calcolo delle variazioni Calcolo funzionale Operatore integrale Polinomio di Jones Teoria dei campi quantistici topologici Geometria non commutativa Ipotesi di Riemann Distribuzione (o funzioni generalizzate) Argomenti avanzati proprietà di approssimazione insieme bilanciato Teoria di Choquet topologia debole Distanza di Banach–Mazur Teoria di Tomita–Takesaki Categorie: Teoria degli operatori Teoremi nell'analisi funzionale