Théorème de Hilbert-Schmidt

Théorème de Hilbert-Schmidt En analyse mathématique, le théorème de Hilbert-Schmidt, également connu sous le nom de théorème d'expansion des fonctions propres, est un résultat fondamental concernant la compacité, opérateurs auto-adjoints sur les espaces de Hilbert. Dans la théorie des équations aux dérivées partielles, il est très utile pour résoudre les problèmes de valeurs aux limites elliptiques.

Énoncé du théorème Soit (H, ⟨ , ⟩) un espace de Hilbert réel ou complexe et soit A : H → H soit un borné, compact, opérateur auto-adjoint. Alors il existe une suite de valeurs propres réelles non nulles λi, je = 1, …, N, avec N égal au rang de A, tel que |je| est monotone non croissante et, si N = +∞, {style d'affichage lim _{il +infty }lambda _{je}=0.} Par ailleurs, si chaque valeur propre de A se répète dans la suite selon sa multiplicité, alors il existe un ensemble orthonormé φi, je = 1, …, N, des fonctions propres correspondantes, c'est à dire., {style d'affichage Avarphi _{je}=lambda _{je}varphi _{je}{mbox{ pour }}i=1,points ,N} En outre, les fonctions φi forment une base orthonormée pour la plage de A et A peut s'écrire {displaystyle Au=sum _{je=1}^{N}lambda _{je}langle varphi _{je},varphi orangé{je}{mbox{ pour tous }}ui H.} Références Renardy, Michael; Roger, Robert C.. (2004). Une introduction aux équations aux dérivées partielles. Textes en mathématiques appliquées 13 (Deuxième éd.). New York: Springer Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0. (Théorème 8.94) chez Roy, Halsey; Fitzpatrick, patrick (2017). Analyse réelle (Quatrième éd.). New York: MacMillan. ISBN 0134689496. (Section 16.6) cacher vte Analyse fonctionnelle (sujets – glossaire) Espaces BanachBesovFréchetHilbertHölderNucléaireOrliczSchwartzSobolevvecteur topologique Propriétés tonneaucomplètedouble (algébrique/topologique)localement convexe réflexif séparable Théorèmes Hahn–Banach Représentation de Riesz graphe fermé principe de délimitation uniforme Kakutani virgule fixeKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Opérateurs adjointlimitécompactHilbert–Schmidtnormalnucléairetraceclasstransposéillimitéunitaire problème de sous-espaceconjecture de MahlerApplicationsespace de Hardythéorie spectrale des équations différentielles ordinairesnoyau de chaleurthéorème d'indexcalcul des variationscalcul fonctionnelopérateur intégralpolynôme de Jonesthéorie des champs quantiques topologiquesgéométrie non commutativehypothèse de Riemanndistribution (ou fonctions généralisées) Sujets avancés propriété d'approximationensemble équilibréThéorie de Choquettopologie faibleDistance de Banach–MazurThéorie de Tomita–Takesaki Catégories: Théorie des opérateursThéorèmes en analyse fonctionnelle