Satz von Hilbert-Schmidt

Hilbert–Schmidt theorem In mathematical analysis, the Hilbert–Schmidt theorem, also known as the eigenfunction expansion theorem, is a fundamental result concerning compact, self-adjoint operators on Hilbert spaces. In the theory of partial differential equations, it is very useful in solving elliptic boundary value problems.

Aussage des Theorems Let (H, ⟨ , ⟩) be a real or complex Hilbert space and let A : H → H be a bounded, kompakt, self-adjoint operator. Then there is a sequence of non-zero real eigenvalues λi, i = 1, …, N, with N equal to the rank of A, so dass |λi| is monotonically non-increasing and, if N = +∞, {Anzeigestil lim _{ito +infty }Lambda _{ich}=0.} Außerdem, if each eigenvalue of A is repeated in the sequence according to its multiplicity, then there exists an orthonormal set φi, i = 1, …, N, of corresponding eigenfunctions, d.h., {displaystyle Avarphi _{ich}=Lambda_{ich}varphi_{ich}{mbox{ zum }}i=1,dots ,N.} Darüber hinaus, the functions φi form an orthonormal basis for the range of A and A can be written as {displaystyle Au=sum _{i=1}^{N}Lambda _{ich}langle varphi _{ich},urangle varphi _{ich}{mbox{ für alle }}uin H.} Referenzen Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Eine Einführung in partielle Differentialgleichungen. Texte zur Angewandten Mathematik 13 (Zweite Aufl.). New York: Springer-Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0. (Satz 8.94) Royden, Halsey; Fitzpatrick, Patrick (2017). Real Analysis (Fourth ed.). New York: MacMillan. ISBN 0134689496. (Abschnitt 16.6) verbergen vte Funktionsanalyse (Themen – Glossar) Leerzeichen BanachBesovFréchetHilbertHölderNuclearOrliczSchwartzSobolevtopological vector Properties barrelledcompletedual (algebraisch/topologisch)lokal konvexreflexivseparable Theoreme Hahn-BanachRiesz-Darstellunggeschlossener Graphgleichmäßiges BeschränktheitsprinzipKakutani-FixpunktKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatoren adjointboundcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebren Banach-AlgebraC*-AlgebraSpektrum einer C*-AlgebraOperator-Algebravon Gruppenalgebra einer lokalvariant-kompakten Gruppe SubraumproblemMahlersche Vermutung Anwendungen Hardy-RaumSpektraltheorie gewöhnlicher DifferentialgleichungenWärmekernindexsatzVariationsrechnungFunktionsrechnungIntegraloperatorJones-PolynomTopologische QuantenfeldtheorieNichtkommutative GeometrieRiemann-HypotheseVerteilung (oder verallgemeinerte Funktionen) Fortgeschrittene Themen Approximation PropertyBalanced SetChoquet-TheorieSchwache TopologieBanach-Mazur-AbstandTomita-Takesaki-Theorie Kategorien: OperatortheorieTheoreme in der Funktionalanalysis