Hellinger–Toeplitz theorem

Hellinger–Toeplitz theorem In functional analysis, una branca della matematica, the Hellinger–Toeplitz theorem states that an everywhere-defined symmetric operator on a Hilbert space with inner product {displaystyle angolo cdot |angolo cdot } è delimitato. Per definizione, an operator A is symmetric if {displaystyle langle Ax|yrangle = angolo x|Ayrangle } per tutti x, y in the domain of A. Note that symmetric everywhere-defined operators are necessarily self-adjoint, so this theorem can also be stated as follows: an everywhere-defined self-adjoint operator is bounded. The theorem is named after Ernst David Hellinger and Otto Toeplitz.

This theorem can be viewed as an immediate corollary of the closed graph theorem, as self-adjoint operators are closed. In alternativa, it can be argued using the uniform boundedness principle. One relies on the symmetric assumption, therefore the inner product structure, in proving the theorem. Also crucial is the fact that the given operator A is defined everywhere (e, a sua volta, the completeness of Hilbert spaces).

The Hellinger–Toeplitz theorem reveals certain technical difficulties in the mathematical formulation of quantum mechanics. Observables in quantum mechanics correspond to self-adjoint operators on some Hilbert space, but some observables (like energy) sono illimitati. By Hellinger–Toeplitz, such operators cannot be everywhere defined (but they may be defined on a dense subset). Take for instance the quantum harmonic oscillator. Here the Hilbert space is L2(R), the space of square integrable functions on R, and the energy operator H is defined by (assuming the units are chosen such that ℏ = m = ω = 1) {stile di visualizzazione [Hf](X)=-{frac {1}{2}}{frac {matematica {d} ^{2}}{matematica {d} x^{2}}}f(X)+{frac {1}{2}}x^{2}f(X).} This operator is self-adjoint and unbounded (its eigenvalues are 1/2, 3/2, 5/2, ...), so it cannot be defined on the whole of L2(R).

References Reed, Michael and Simon, Barry: Metodi di Fisica Matematica, Volume 1: Analisi funzionale. Stampa accademica, 1980. See Section III.5. Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Provvidenza: Società matematica americana. ISBN 978-0-8218-4660-5. nascondi vte Analisi funzionale (argomenti – glossario) Spazi BanachBesovFréchetHilbertHölderNucleareOrliczSchwartzSobolevVettore topologico Proprietà barrelledcompletatodual (algebrico/topologico)localmente convessoriflessivoseparabile TeoremiHahn–BanachRieszrappresentazionegrafo chiusoprincipio di limitatezza uniformeKakutani punto fissoKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatori adjointboundedcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebres Algebra di BanachC*-algebraspettro di un'algebra C*problemi di un operatore algebra localmente compatto di un'algebra di Neumanngruppo compatto di un'algebra di Neumann Problema del sottospazio Congettura di Mahler Applicazioni Spazio di Hardy Teoria spettrale delle equazioni differenziali ordinarie Heat Kernel Teorema dell'indice Calcolo delle variazioni Calcolo funzionale Operatore integrale Polinomio di Jones Teoria dei campi quantistici topologici Geometria non commutativa Ipotesi di Riemann Distribuzione (o funzioni generalizzate) Argomenti avanzati proprietà di approssimazione insieme bilanciato Teoria di Choquet topologia debole Distanza di Banach–Mazur Teoria di Tomita–Takesaki Categorie: Teoremi nell'analisi funzionale