Heine–Cantor theorem

Heine–Cantor theorem Not to be confused with Cantor's theorem. This article includes a list of references, letture correlate o collegamenti esterni, ma le sue fonti rimangono poco chiare perché mancano di citazioni inline. Aiutaci a migliorare questo articolo introducendo citazioni più precise. (aprile 2019) (Scopri come e quando rimuovere questo messaggio modello) In matematica, the Heine–Cantor theorem, named after Eduard Heine and Georg Cantor, afferma che se {displaystyle fcolon Mto N} is a continuous function between two metric spaces {stile di visualizzazione M} e {stile di visualizzazione N} , e {stile di visualizzazione M} è compatto, poi {stile di visualizzazione f} is uniformly continuous. An important special case is that every continuous function from a closed bounded interval to the real numbers is uniformly continuous.

Proof Suppose that {stile di visualizzazione M} e {stile di visualizzazione N} are two metric spaces with metrics {stile di visualizzazione d_{M}} e {stile di visualizzazione d_{N}} , rispettivamente. Suppose further that a function {stile di visualizzazione f:Mto N} is continuous and {stile di visualizzazione M} è compatto. We want to show that {stile di visualizzazione f} is uniformly continuous, questo è, for every positive real number {displaystyle varepsilon >0} there exists a positive real number {displaystyle delta >0} such that for all points {stile di visualizzazione x,y} in the function domain {stile di visualizzazione M} , {stile di visualizzazione d_{M}(X,y)0} By continuity, for any point {displaystyle x} in the domain {displaystyle M} , there exists {displaystyle delta _{x}>0} tale che {stile di visualizzazione d_{N}(f(X),f(y))

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