Hadwiger's theorem

Hadwiger's theorem In integral geometry (otherwise called geometric probability theory), Hadwiger's theorem characterises the valuations on convex bodies in {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}.} It was proved by Hugo Hadwiger.

Conteúdo 1 Introdução 1.1 Valuations 1.2 Quermassintegrals 2 Declaração 2.1 Corolário 3 Veja também 4 References Introduction Valuations Let {estilo de exibição mathbb {K} ^{n}} be the collection of all compact convex sets in {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}.} A valuation is a function {estilo de exibição v:mathbb {K} ^{n}para mathbb {R} } de tal modo que {estilo de exibição v(varnothing )=0} and for every {estilo de exibição S,Tin mathbb {K} ^{n}} that satisfy {displaystyle Scup Tin mathbb {K} ^{n},} {estilo de exibição v(S)+v(T)=v(Scap T)+v(Scup T)~.} A valuation is called continuous if it is continuous with respect to the Hausdorff metric. A valuation is called invariant under rigid motions if {estilo de exibição v(varphi (S))=v(S)} em qualquer momento {displaystyle Sin mathbb {K} ^{n}} e {estilo de exibição varphi } is either a translation or a rotation of {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}.} Quermassintegrals Main article: quermassintegral The quermassintegrals {estilo de exibição W_{j}:mathbb {K} ^{n}para mathbb {R} } are defined via Steiner's formula {matemática de estilo de exibição {Volume} _{n}(K+tB)=soma _{j=0}^{n}{alguns deles {n}{j}}C_{j}(K)t^{j}~,} Onde {estilo de exibição B} is the Euclidean ball. Por exemplo, {estilo de exibição W_{o}} is the volume, {estilo de exibição W_{1}} is proportional to the surface measure, {estilo de exibição W_{n-1}} is proportional to the mean width, e {estilo de exibição W_{n}} is the constant {nome do operador de estilo de exibição {Volume} _{n}(B).} {estilo de exibição W_{j}} is a valuation which is homogeneous of degree {displaystyle n-j,} isso é, {estilo de exibição W_{j}(tK)=t^{n-j}C_{j}(K)~,quad tgeq 0~.} Statement Any continuous valuation {estilo de exibição v} sobre {estilo de exibição mathbb {K} ^{n}} that is invariant under rigid motions can be represented as {estilo de exibição v(S)=soma _{j=0}^{n}c_{j}C_{j}(S)~.} Corollary Any continuous valuation {estilo de exibição v} sobre {estilo de exibição mathbb {K} ^{n}} that is invariant under rigid motions and homogeneous of degree {estilo de exibição j} is a multiple of {estilo de exibição W_{n-j}.} See also Minkowski functional Set function – Function from sets to numbers References An account and a proof of Hadwiger's theorem may be found in Klain, D.A.; Rota, G.-C. (1997). Introduction to geometric probability. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X. SENHOR 1608265.

An elementary and self-contained proof was given by Beifang Chen in Chen, B. (2004). "A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem". Geometria. Dedicata. 105: 107-120. doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46. SENHOR 2057247. Categorias: Integral geometryTheorems in convex geometryProbability theorems