Hadwiger's theorem

Hadwiger's theorem In integral geometry (otherwise called geometric probability theory), Hadwiger's theorem characterises the valuations on convex bodies in {displaystyle mathbb {R} ^{n}.} It was proved by Hugo Hadwiger.

Contenuti 1 introduzione 1.1 Valuations 1.2 Quermassintegrals 2 Dichiarazione 2.1 Corollario 3 Guarda anche 4 References Introduction Valuations Let {displaystyle mathbb {K} ^{n}} be the collection of all compact convex sets in {displaystyle mathbb {R} ^{n}.} A valuation is a function {stile di visualizzazione v:mathbb {K} ^{n}a matematicabb {R} } tale che {stile di visualizzazione v(varnothing )=0} e per ogni {stile di visualizzazione S,Tin mathbb {K} ^{n}} that satisfy {displaystyle Scup Tin mathbb {K} ^{n},} {stile di visualizzazione v(S)+v(T)=v(Scap T)+v(Scup T)~.} A valuation is called continuous if it is continuous with respect to the Hausdorff metric. A valuation is called invariant under rigid motions if {stile di visualizzazione v(varfi (S))=v(S)} Ogni volta che {displaystyle Sin mathbb {K} ^{n}} e {stile di visualizzazione varphi } is either a translation or a rotation of {displaystyle mathbb {R} ^{n}.} Quermassintegrals Main article: quermassintegral The quermassintegrals {stile di visualizzazione W_{j}:mathbb {K} ^{n}a matematicabb {R} } are defined via Steiner's formula {displaystyle matematica {vol} _{n}(K+tB)=somma _{j=0}^{n}{alcuni di quelli {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~,} dove {stile di visualizzazione B} is the Euclidean ball. Per esempio, {stile di visualizzazione W_{o}} is the volume, {stile di visualizzazione W_{1}} is proportional to the surface measure, {stile di visualizzazione W_{n-1}} is proportional to the mean width, e {stile di visualizzazione W_{n}} is the constant {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {vol} _{n}(B).} {stile di visualizzazione W_{j}} is a valuation which is homogeneous of degree {displaystyle n-j,} questo è, {stile di visualizzazione W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,quad tgeq 0~.} Statement Any continuous valuation {stile di visualizzazione v} Su {displaystyle mathbb {K} ^{n}} that is invariant under rigid motions can be represented as {stile di visualizzazione v(S)=somma _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.} Corollary Any continuous valuation {stile di visualizzazione v} Su {displaystyle mathbb {K} ^{n}} that is invariant under rigid motions and homogeneous of degree {stile di visualizzazione j} is a multiple of {stile di visualizzazione W_{n-j}.} See also Minkowski functional Set function – Function from sets to numbers References An account and a proof of Hadwiger's theorem may be found in Klain, D.A.; Rota, G.-C. (1997). Introduction to geometric probability. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X. SIG 1608265.

An elementary and self-contained proof was given by Beifang Chen in Chen, B. (2004). "A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem". Geom. Dedicata. 105: 107–120. doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46. SIG 2057247. Categorie: Integral geometryTheorems in convex geometryProbability theorems