Goldstine theorem

Goldstine theorem In functional analysis, um ramo da matemática, the Goldstine theorem, named after Herman Goldstine, is stated as follows: Goldstine theorem. Deixar {estilo de exibição X} be a Banach space, then the image of the closed unit ball {displaystyle Bsubseteq X} under the canonical embedding into the closed unit ball {estilo de exibição B^{prime prime }} of the bidual space {estilo de exibição X^{prime prime }} is a weak*-dense subset.

The conclusion of the theorem is not true for the norm topology, which can be seen by considering the Banach space of real sequences that converge to zero, c0 space {estilo de exibição c_{0},} and its bi-dual space Lp space {displaystyle ell ^{infty }.} Conteúdo 1 Prova 1.1 Lema 1.1.1 Proof of Lemma 1.2 Proof of Theorem 2 Veja também 3 References Proof Lemma For all {estilo de exibição x^{prime prime }in B^{prime prime },} {estilo de exibição varphi _{1},ldots ,varphi_{n}em X^{melhor }} e {displaystyle delta >0,} there exists an {estilo de exibição xin (1+delta )B} de tal modo que {estilo de exibição varphi _{eu}(x)=x^{prime prime }(varphi_{eu})} para todos {displaystyle 1leq ileq n.} Proof of Lemma By the surjectivity of {estilo de exibição {começar{casos}Phi :Xto mathbb {C} ^{n},\xmapsto left(varphi_{1}(x),cdots ,varphi_{n}(x)certo)fim{casos}}} it is possible to find {estilo de exibição xin X} com {estilo de exibição varphi _{eu}(x)=x^{prime prime }(varphi_{eu})} por {displaystyle 1leq ileq n.} Now let {estilo de exibição Y:=bigcap _{eu}ker varphi _{eu}=ker Phi .} Every element of {displaystyle zin (x+Y)cap (1+delta )B} satisfies {displaystyle zin (1+delta )B} e {estilo de exibição varphi _{eu}(z)=varphi _{eu}(x)=x^{prime prime }(varphi_{eu}),} so it suffices to show that the intersection is nonempty.

Assume for contradiction that it is empty. Então {nome do operador de estilo de exibição {dist} (x,S)geq 1+delta } and by the Hahn–Banach theorem there exists a linear form {displaystyle varphi in X^{melhor }} de tal modo que {estilo de exibição varphi {big vert }_{S}=0,varphi (x)geq 1+delta } e {estilo de exibição |varphi |_{X^{melhor }}=1.} Então {displaystyle varphi in operatorname {span} deixei{varphi_{1},ldots ,varphi_{n}certo}} [1] e, portanto, {displaystyle 1+delta leq varphi (x)=x^{prime prime }(varphi )leq |varphi |_{X^{melhor }}deixei|x^{prime prime }certo|_{X^{prime prime }}leq 1,} which is a contradiction.

Proof of Theorem Fix {estilo de exibição x^{prime prime }in B^{prime prime },} {estilo de exibição varphi _{1},ldots ,varphi_{n}em X^{melhor }} e {displaystyle epsilon >0.} Examine the set {estilo de exibição U:= esquerda{^{prime prime }em X^{prime prime }:|(x^{prime prime }-^{prime prime })(varphi_{eu})|0} there exists {displaystyle xin (1+delta )B} {displaystyle x^{prime prime }(varphi _{i}) =varphi _{i}(x),} {displaystyle 1leq ileq n,} and in particular {displaystyle {text{Ev}}_{x}in U.} Since {displaystyle J(B)subset B^{prime prime },} we have (1+delta )J(B)cap We can scale to get {displaystyle {frac {1}{1+delta }}{text{Ev}}_{x}in J(B).} goal show sufficiently small {displaystyle delta >0,} J(B)cap Directly checking, {displaystyle left|left[x^{prime prime }-{frac {1}{1+delta }}{text{Ev}}_{x}right](varphi _{i})right| =left|varphi _{i}(x)-{frac {1}{1+delta }}varphi _{i}(x)right| ={frac {delta }{1+delta }}|varphi _{i}(x)|.} Note choose {displaystyle M} large {displaystyle |varphi _{i}|_{X^{prime }}leq M} {displaystyle 1leq ileq n.} [3] as well {displaystyle |x|_{X}leq ).} If {displaystyle delta } {displaystyle delta M

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