Goldstine theorem

Goldstine theorem In functional analysis, una branca della matematica, the Goldstine theorem, named after Herman Goldstine, is stated as follows: Goldstine theorem. Permettere {stile di visualizzazione X} be a Banach space, then the image of the closed unit ball {displaystyle Bsubseteq X} under the canonical embedding into the closed unit ball {stile di visualizzazione B^{prime prime }} of the bidual space {stile di visualizzazione X^{prime prime }} is a weak*-dense subset.

The conclusion of the theorem is not true for the norm topology, which can be seen by considering the Banach space of real sequences that converge to zero, c0 space {stile di visualizzazione c_{0},} and its bi-dual space Lp space {displaystyle ell ^{infty }.} Contenuti 1 Prova 1.1 Lemma 1.1.1 Proof of Lemma 1.2 Proof of Theorem 2 Guarda anche 3 References Proof Lemma For all {stile di visualizzazione x^{prime prime }in B^{prime prime },} {displaystyle varphi _{1},ldot ,varfi _{n}in X^{primo }} e {displaystyle delta >0,} there exists an {stile di visualizzazione xin (1+delta )B} tale che {displaystyle varphi _{io}(X)=x^{prime prime }(varfi _{io})} per tutti {displaystyle 1leq ileq n.} Proof of Lemma By the surjectivity of {stile di visualizzazione {inizio{casi}Phi :Xto matematicabb {C} ^{n},\xmapsto left(varfi _{1}(X),cdot ,varfi _{n}(X)Giusto)fine{casi}}} it is possible to find {stile di visualizzazione xin X} insieme a {displaystyle varphi _{io}(X)=x^{prime prime }(varfi _{io})} per {displaystyle 1leq ileq n.} Now let {stile di visualizzazione Y:= maiuscoletto _{io}ker varphi _{io}=ker Phi .} Every element of {displaystyle zin (x+Y)berretto (1+delta )B} soddisfa {displaystyle zin (1+delta )B} e {displaystyle varphi _{io}(z)=varphi _{io}(X)=x^{prime prime }(varfi _{io}),} so it suffices to show that the intersection is nonempty.

Assume for contradiction that it is empty. Quindi {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {dist} (X,Y)geq 1+delta } and by the Hahn–Banach theorem there exists a linear form {displaystyle varphi in X^{primo }} tale che {stile di visualizzazione varphi {big vert }_{Y}=0,varphi (X)geq 1+delta } e {stile di visualizzazione |varfi |_{X^{primo }}=1.} Quindi {displaystyle varphi in operatorname {span} sinistra{varfi _{1},ldot ,varfi _{n}Giusto}} [1] e quindi {displaystyle 1+delta leq varphi (X)=x^{prime prime }(varfi )leq |varfi |_{X^{primo }}sinistra|x^{prime prime }Giusto|_{X^{prime prime }}leq 1,} which is a contradiction.

Proof of Theorem Fix {stile di visualizzazione x^{prime prime }in B^{prime prime },} {displaystyle varphi _{1},ldot ,varfi _{n}in X^{primo }} e {displaystyle epsilon >0.} Examine the set {stile di visualizzazione U:= sinistra{si^{prime prime }in X^{prime prime }:|(x^{prime prime }-si^{prime prime })(varfi _{io})|0} there exists {displaystyle xin (1+delta )B} {displaystyle x^{prime prime }(varphi _{i}) =varphi _{i}(x),} {displaystyle 1leq ileq n,} and in particular {displaystyle {text{Ev}}_{x}in U.} Since {displaystyle J(B)subset B^{prime prime },} we have (1+delta )J(B)cap We can scale to get {displaystyle {frac {1}{1+delta }}{text{Ev}}_{x}in J(B).} goal show sufficiently small {displaystyle delta >0,} J(B)cap Directly checking, {displaystyle left|left[x^{prime prime }-{frac {1}{1+delta }}{text{Ev}}_{x}right](varphi _{i})right| =left|varphi _{i}(x)-{frac {1}{1+delta }}varphi _{i}(x)right| ={frac {delta }{1+delta }}|varphi _{i}(x)|.} Note choose {displaystyle M} large {displaystyle |varphi _{i}|_{X^{prime }}leq M} {displaystyle 1leq ileq n.} [3] as well {displaystyle |x|_{X}leq ).} If {displaystyle delta } {displaystyle delta M

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