Il teorema di Godunov

Il teorema di Godunov In analisi numerica e fluidodinamica computazionale, Il teorema di Godunov - noto anche come teorema della barriera d'ordine di Godunov - è un teorema matematico importante nello sviluppo della teoria degli schemi ad alta risoluzione per la soluzione numerica di equazioni alle derivate parziali.

Il teorema lo afferma: Schemi numerici lineari per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali (PDE), avendo la proprietà di non generare nuovi estremi (schema monotono), può essere al massimo accurato al primo ordine.

Il professor Sergej K. Godunov originariamente dimostrò il teorema come dottorato di ricerca. studente all'Università Statale di Mosca. È il suo lavoro più influente nell'area della matematica applicata e numerica e ha avuto un impatto importante sulla scienza e sull'ingegneria, in particolare nello sviluppo di metodi utilizzati nella fluidodinamica computazionale (CFD) e altri campi computazionali. Uno dei suoi maggiori contributi fu la dimostrazione del teorema (Godunov, 1954; Godunov, 1959), che porta il suo nome.

Contenuti 1 Il teorema 2 Guarda anche 3 Riferimenti 4 Ulteriori letture Il teorema Generalmente seguiamo Wesseling (2001).

A parte Supponiamo che un problema continuo descritto da una PDE debba essere calcolato utilizzando uno schema numerico basato su una griglia computazionale uniforme e un, passo costante, Punto della griglia M, algoritmo di integrazione, implicito o esplicito. Allora se {stile di visualizzazione x_{j}=j,Delta x} e {stile di visualizzazione t^{n}=n,Delta t} , un tale schema può essere descritto da {limiti di somma di stile di visualizzazione _{m=1}^{M}{beta _{m}}varfi _{j+m}^{n+1}= limiti di somma _{m=1}^{M}{alfa _{m}varfi _{j+m}^{n}}.quadruplo (1)} In altre parole, la soluzione {displaystyle varphi _{j}^{n+1}} a tempo {stile di visualizzazione n+1} e posizione {stile di visualizzazione j} è una funzione lineare della soluzione al passo temporale precedente {stile di visualizzazione n} . Supponiamo che {displaystyle beta _{m}} determina {displaystyle varphi _{j}^{n+1}} in modo univoco. Adesso, poiché l'equazione di cui sopra rappresenta una relazione lineare tra {displaystyle varphi _{j}^{n}} e {displaystyle varphi _{j}^{n+1}} possiamo eseguire una trasformazione lineare per ottenere la seguente forma equivalente, {displaystyle varphi _{j}^{n+1}= limiti di somma _{m}^{M}{gamma _{m}varfi _{j+m}^{n}}.quadruplo (2)} Teorema 1: Preservare la monotonia Lo schema di equazione di cui sopra (2) è la monotonia che preserva se e solo se {stile di visualizzazione gamma _{m}geq 0,quad forall m.quad quad (3)} Prova - Godunov (1959) Caso 1: (condizione sufficiente) Assumere (3) si applica e quello {displaystyle varphi _{j}^{n}} è monotonicamente crescente con {stile di visualizzazione j} .

Quindi, perché {displaystyle varphi _{j}^{n}dove _{j+1}^{n}leq cdots leq varphi _{j+m}^{n}} ne consegue quindi che {displaystyle varphi _{j}^{n+1}dove _{j+1}^{n+1}leq cdots leq varphi _{j+m}^{n+1}} perché {displaystyle varphi _{j}^{n+1}-varfi _{j-1}^{n+1}= limiti di somma _{m}^{M}{gamma _{m}sinistra({varfi _{j+m}^{n}-varfi _{j+m-1}^{n}}Giusto)}geq 0.quad quad (4)} Ciò significa che la monotonia è preservata per questo caso.

Caso 2: (condizione necessaria) Dimostriamo la condizione necessaria per assurdo. Supponi che {stile di visualizzazione gamma _{p}^{}<0} for some {displaystyle p} and choose the following monotonically increasing {displaystyle varphi _{j}^{n}quad } , {displaystyle varphi _{i}^{n}=0,quad i0,quad xin mathbb {R} quadruplo (10)} non può preservare la monotonia a meno che {displaystyle sigma =sinistra|giusto|{{Delta t} Sopra {Delta x}}in matematica bb {N} ,quadruplo (11)} dove {displaystyle sigma } è la condizione firmata Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) numero.

Prova - Godunov (1959) Assumi uno schema numerico della forma descritta dall'equazione (2) e scegli {displaystyle varphi a sinistra({0,X}Giusto)= sinistra({{x oltre {Delta x}}-{1 Sopra 2}}Giusto)^{2}-{1 Sopra 4},quadvarphi_{j}^{0}= sinistra({j-{1 Sopra 2}}Giusto)^{2}-{1 Sopra 4}.quadruplo (12)} La soluzione esatta è {displaystyle varphi a sinistra({t,X}Giusto)= sinistra({{{x-ct} Sopra {Delta x}}-{1 Sopra 2}}Giusto)^{2}-{1 Sopra 4}.quadruplo (13)} Se assumiamo che lo schema sia accurato almeno al secondo ordine, dovrebbe produrre esattamente la seguente soluzione {displaystyle varphi _{j}^{1}= sinistra({j-sigma -{1 Sopra 2}}Giusto)^{2}-{1 Sopra 4},quadvarphi_{j}^{0}= sinistra({j-{1 Sopra 2}}Giusto)^{2}-{1 Sopra 4}.quadruplo (14)} Sostituzione in equazione (2) dà: {stile di visualizzazione a sinistra({j-sigma -{1 Sopra 2}}Giusto)^{2}-{1 Sopra 4}= limiti di somma _{m}^{M}{gamma _{m}sinistra{{sinistra({j+m-{1 Sopra 2}}Giusto)^{2}-{1 Sopra 4}}Giusto}}.quadruplo (15)} Supponiamo che lo schema PRESERVA la monotonia, quindi secondo il teorema 1 sopra, {stile di visualizzazione gamma _{m}geq 0} .

Adesso, è chiaro dall'equazione (15) Quello {stile di visualizzazione a sinistra({j-sigma -{1 Sopra 2}}Giusto)^{2}-{1 Sopra 4}geq 0,quad forall j.quad quad (16)} Assumere {displaystyle sigma >0,quad sigma notin mathbb {N} } e scegli {stile di visualizzazione j} tale che {displaystyle j>sigma >left(j-1giusto)} . Questo implica che {stile di visualizzazione a sinistra({j-sigma }Giusto)>0} e {stile di visualizzazione a sinistra({j-sigma -1}Giusto)<0} . It therefore follows that, {displaystyle left({j-sigma -{1 over 2}}right)^{2}-{1 over 4}=left(j-sigma right)left(j-sigma -1right)<0,quad quad (17)} which contradicts equation (16) and completes the proof. The exceptional situation whereby {displaystyle sigma =left|cright|{{Delta t} over {Delta x}}in mathbb {N} } is only of theoretical interest, since this cannot be realised with variable coefficients. Also, integer CFL numbers greater than unity would not be feasible for practical problems. See also Finite volume method Flux limiter Total variation diminishing References Godunov, Sergei K. (1954), Ph.D. Dissertation: Different Methods for Shock Waves, Moscow State University. Godunov, Sergei K. (1959), A Difference Scheme for Numerical Solution of Discontinuous Solution of Hydrodynamic Equations, Mat. Sbornik, 47, 271-306, translated US Joint Publ. Res. Service, JPRS 7226, 1969. Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag. Further reading Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, vol 2, Wiley. Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press. Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag. Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis. Categories: Numerical differential equationsTheorems in analysisComputational fluid dynamics