Teorema de Stokes generalizado

Teorema de Stokes generalizado (Redirecionado do teorema de Stokes) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Este artigo é sobre o teorema generalizado. Para o teorema clássico, veja o teorema de Stokes. Para a equação que governa o arrasto viscoso em fluidos, veja a lei de Stokes. Part of a series of articles about Calculus Fundamental theorem Leibniz integral rule Limits of functionsContinuity Mean value theoremRolle's theorem show Differential show Integral show Series hide Vector GradientDivergenceCurlLaplacianDirectional derivativeIdentities Theorems GradientGreen'sStokes'Divergencegeneralized Stokes show Multivariable show Advanced show Specialized show Miscellaneous vte In vector calculus and differential geometry the generalized Stokes theorem (às vezes com apóstrofo como teorema de Stokes ou teorema de Stokes), também chamado de teorema de Stokes-Cartan,[1] é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais em variedades, que simplifica e generaliza vários teoremas do cálculo vetorial. É uma generalização do teorema fundamental do cálculo de Isaac Newton que relaciona integrais de linha bidimensionais a integrais de superfície tridimensionais.[2] O teorema de Stokes diz que a integral de uma forma diferencial ω sobre a fronteira {displaystyle parcial Omega } de alguma variedade orientável Ω é igual à integral de sua derivada externa dω sobre a totalidade de Ω, ou seja, {estilo de exibição int _{Ômega parcial }ômega =int_{Ómega }domega ,.} O teorema de Stokes foi formulado em sua forma moderna por Élie Cartan em 1945,[3] seguindo o trabalho anterior sobre a generalização dos teoremas do cálculo vetorial por Vito Volterra, Edouard Goursat, e Henri Poincaré.[4][5] Esta forma moderna do teorema de Stokes é uma vasta generalização de um resultado clássico que Lord Kelvin comunicou a George Stokes em uma carta datada de julho. 2, 1850.[6][7][8] Stokes estabeleceu o teorema como uma questão sobre o 1854 Exame do Prêmio Smith, que levou ao resultado com seu nome. Foi publicado pela primeira vez por Hermann Hankel em 1861.[8][9] Este caso clássico relaciona a integral de superfície do enrolamento de um campo vetorial F sobre uma superfície (isso é, o fluxo de onda F) em três espaços euclidianos para a integral de linha do campo vetorial sobre o limite da superfície (também conhecido como integral de laço).

Generalizações clássicas do teorema fundamental do cálculo como o teorema da divergência, e o teorema de Green do cálculo vetorial são casos especiais da formulação geral indicada acima depois de fazer uma identificação padrão de campos vetoriais com formas diferenciais (diferente para cada um dos teoremas clássicos).

Conteúdo 1 Introdução 2 Formulação para variedades suaves com limite 3 Preliminares topológicas; integração sobre cadeias 4 Princípio subjacente 5 Exemplo de análise vetorial clássica 6 Generalização para conjuntos brutos 7 Casos especiais 7.1 Clássico (cálculo vetorial) caso 7.2 Teorema de Green 7.2.1 No eletromagnetismo 7.3 Teorema da divergência 8 Veja também 9 Notas de rodapé 10 Referências 11 Leitura adicional 12 External links Introduction The second fundamental theorem of calculus states that the integral of a function f over the interval [uma, b] can be calculated by finding an antiderivative F of f: {estilo de exibição int _{uma}^{b}f(x),dx=F(b)-F(uma),.} O teorema de Stokes é uma vasta generalização deste teorema no seguinte sentido.

Pela escolha de F, dF / dx = f(x). Na linguagem das formas diferenciais, isso está dizendo que f(x) dx é a derivada externa da forma 0, ou seja. função, F: em outras palavras, que dF = f dx. O teorema geral de Stokes se aplica a formas diferenciais mais altas ω em vez de apenas formas 0, como F. Um intervalo fechado [uma, b] é um exemplo simples de uma variedade unidimensional com limite. Seu limite é o conjunto formado pelos dois pontos a e b. Integrar f ao longo do intervalo pode ser generalizado para integrar formas em uma variedade de dimensão superior. São necessárias duas condições técnicas: o coletor tem que ser orientável, e a forma tem que ser suportada de forma compacta para dar uma integral bem definida. Os dois pontos a e b formam o limite do intervalo fechado. De forma geral, O teorema de Stokes aplica-se a variedades orientadas M com limite. A fronteira ∂M de M é ela mesma uma variedade e herda uma orientação natural daquela de M. Por exemplo, a orientação natural do intervalo dá uma orientação dos dois pontos de fronteira. Intuitivamente, a herda a orientação oposta como b, como eles estão em extremidades opostas do intervalo. Então, "integrando" F sobre dois pontos de fronteira a, b está tomando a diferença F(b) − F(uma).

Em termos ainda mais simples, pode-se considerar os pontos como limites de curvas, que é como limites 0-dimensionais de variedades unidimensionais. Então, assim como se pode encontrar o valor de uma integral (fdx = dF) sobre uma variedade unidimensional ([uma, b]) considerando a antiderivada (F) nos limites de dimensão 0 ({uma, b}), pode-se generalizar o teorema fundamental do cálculo, com algumas ressalvas adicionais, para lidar com o valor das integrais (dω) sobre variedades n-dimensionais (Oh) considerando a antiderivada (oh) no (n - 1)-limites dimensionais (∂Ω) do múltiplo.

Então o teorema fundamental lê: {estilo de exibição int _{[uma,b]}f(x),dx=int_{[uma,b]},dF=int _{parcial [uma,b]},F=int_{{uma}^{-}copo {b}^{+}}F=F(b)-F(uma),.} Formulation for smooth manifolds with boundary Let Ω be an oriented smooth manifold with boundary of dimension n and let α be a smooth n-differential form that is compactly supported on Ω. Primeiro, suponha que α é compactamente suportado no domínio de um único, carta de coordenadas orientadas {você, Phi}. Nesse caso, definimos a integral de α sobre Ω como {estilo de exibição int _{Ómega }alfa = int _{varphi (você)}(varphi ^{-1})^{*}alfa ,,} ou seja, através do recuo de α para Rn.

De forma geral, a integral de α sobre Ω é definida como segue: Deixar {ψi} ser uma partição de unidade associada a uma cobertura localmente finita {Interface do usuário, eu} do (consistentemente orientado) coordenar gráficos, então defina a integral {estilo de exibição int _{Ómega }alfa equiv soma _{eu}int_{VOCÊ_{eu}}psi_{eu}alfa ,,} onde cada termo na soma é avaliado puxando de volta para Rn como descrito acima. Esta quantidade está bem definida; isso é, não depende da escolha das cartas de coordenadas, nem a partição da unidade.

O teorema de Stokes generalizado é: Teorema (Stokes-Cartan) — Let {displaystyle ômega } seja um suave {estilo de exibição (n-1)} -formulário com suporte compacto em um, {estilo de exibição m} -variedade dimensional com limite {estilo de exibição M} , Onde {estilo de exibição parcial M} é dada a orientação induzida. {estilo de exibição int _{M}domega =int_{parcial M}ómega .} Aqui {estilo de exibição d} é a derivada externa, que é definido usando apenas a estrutura manifold. O lado direito às vezes é escrito como {estilo de texto oint _{Ômega parcial }ómega } sublinhar o facto de o {estilo de exibição (n-1)} -múltiplo {displaystyle parcial Omega } não tem fronteira.[Nota 1] (Este fato também é uma implicação do teorema de Stokes, pois para um dado liso {estilo de exibição m} -colector dimensional {estilo de exibição Omega } , a aplicação do teorema duas vezes dá {estilo de texto int _{parcial (Ômega parcial )}ômega =int_{Ómega }d(domega )=0} para qualquer {estilo de exibição (n-2)} -Formato {displaystyle ômega } , o que implica que {estilo de exibição parcial (Ômega parcial )=conjunto vazio } .) O lado direito da equação é frequentemente usado para formular leis integrais; o lado esquerdo leva a formulações diferenciais equivalentes (Veja abaixo).

O teorema é frequentemente usado em situações em que {estilo de exibição Omega } é uma subvariedade orientada incorporada de alguma variedade maior, muitas vezes {estilo de exibição mathbf {R} ^{k}} , em que o formulário {displaystyle ômega } é definido.

Preliminares topológicas; integration over chains Let M be a smooth manifold. UMA (suave) k-simplex singular em M é definido como um mapa suave do simplex padrão em Rk para M. O grupo Ck(M, Z) de cadeias k singulares em M é definido como o grupo abeliano livre no conjunto de k-simples singulares em M. Esses grupos, juntamente com o mapa de fronteira, ∂, definir um complexo de cadeia. A correspondente homologia (resp. cohomologia) grupo é isomórfico ao grupo de homologia singular usual Hk(M, Z) (resp. o grupo de cohomologia singular Hk(M, Z)), definido usando simplices contínuos em vez de suaves em M.

Por outro lado, as formas diferenciais, com derivação exterior, d, como o mapa de conexão, formar um complexo de cochain, que define os grupos de cohomologia de Rham {estilo de exibição H_{dR}^{k}(M,mathbf {R} )} .

Formas k diferenciais podem ser integradas em um k-simplex de maneira natural, puxando de volta para Rk. Estender por linearidade permite integrar sobre cadeias. Isso fornece um mapa linear do espaço de k-formas para o k-ésimo grupo de cochains singulares, Ck(M, Z), os funcionais lineares em Ck(M, Z). Em outras palavras, uma forma k ω define um funcional {estilo de exibição I(ómega )(c)= unção _{c}ómega .} nas cadeias k. O teorema de Stokes diz que este é um mapa em cadeia da cohomologia de Rham para a cohomologia singular com coeficientes reais; a derivada externa, d, se comporta como o dual de ∂ em formas. Isso dá um homomorfismo da cohomologia de Rham para a cohomologia singular. Ao nível das formas, isso significa: formulários fechados, ou seja, dω = 0, tem zero integral sobre os limites, ou seja. sobre variedades que podem ser escritas como ∂Σc Mc, e formas exatas, ou seja, ω = dσ, tem zero integral sobre os ciclos, ou seja. se os limites somam o conjunto vazio: Σc Mc = ∅.

O teorema de De Rham mostra que este homomorfismo é de fato um isomorfismo. Então a recíproca para 1 e 2 acima é verdade. Em outras palavras, E se {ci} são ciclos que geram o k-ésimo grupo de homologia, então para quaisquer números reais correspondentes, {ai} , existe um formulário fechado, oh, de tal modo que {displaystyle ungido_{c_{eu}}ômega = a_{eu},,} e este formulário é único até formas exatas.

O teorema de Stokes em variedades suaves pode ser derivado do teorema de Stokes para cadeias em variedades suaves, e vice versa.[10] Declarado formalmente, este último lê:[11] Teorema (Teorema de Stokes para cadeias) — If c is a smooth k-chain in a smooth manifold M, e ω é suave (k- 1)-formulário em M, então {estilo de exibição int _{c parcial}ômega =int_{c}domega .} Underlying principle To simplify these topological arguments, vale a pena examinar o princípio subjacente considerando um exemplo para d = 2 dimensões. A ideia essencial pode ser compreendida pelo diagrama à esquerda, o que mostra que, em uma telha orientada de um coletor, os caminhos interiores são percorridos em direções opostas; suas contribuições para a integral de caminho cancelam-se, assim, aos pares. Como consequência, apenas a contribuição da fronteira permanece. Assim, basta provar o teorema de Stokes para ladrilhos suficientemente finos (ou, equivalentemente, simples), que geralmente não é difícil.

Classical vector analysis example Let γ: [uma, b] → R2 seja uma curva plana de Jordan suave por partes. O teorema da curva de Jordan implica que γ divide R2 em dois componentes, uma compacta e outra não compacta. Seja D a parte compacta limitada por γ e suponha que ψ: D → R3 é suave, with S := p(D). Se Γ é a curva espacial definida por Γ(t) = p(c(t))[Nota 2] e F é um campo vetorial suave em R3, então:[12][13][14] {displaystyle ungido_{Gama }mathbf {F} ,cdot ,d{mathbf {Gama } }=iint_{S}deixei(nabla vezes mathbf {F} certo)cdot ,dmathbf {S} } Esta afirmação clássica, é um caso especial da formulação geral depois de fazer uma identificação do campo vetorial com uma forma 1 e seu curl com uma forma duas através {estilo de exibição {começar{pmatrix}F_{x}\F_{y}\F_{z}\fim{pmatrix}}cdot dGamma para F_{x},dx+F_{y},você + F_{z},dz} {estilo de exibição {começar{alinhado}&nabla times {começar{pmatrix}F_{x}\F_{y}\F_{z}fim{pmatrix}}cdot dmathbf {S} ={começar{pmatrix}parcial _{y}F_{z}-parcial _{z}F_{y}\parcial _{z}F_{x}-parcial _{x}F_{z}\parcial _{x}F_{y}-parcial _{y}F_{x}\fim{pmatrix}}cdot dmathbf {S} para \[1.4ex]&d(F_{x},dx+F_{y},você + F_{z},dz)= esquerda(parcial _{y}F_{z}-parcial _{z}F_{y}certo)dywedge dz+esquerda(parcial _{z}F_{x}-parcial _{x}F_{z}certo)dzwedge dx+esquerda(parcial _{x}F_{y}-parcial _{y}F_{x}certo)dxwedge dy.end{alinhado}}} Generalização para conjuntos brutos Uma região (aqui chamado de D em vez de Ω) com limite suave por partes. Este é um coletor com cantos, então seu limite não é uma variedade suave.

A formulação acima, em que Ω é uma variedade suave com limite, não é suficiente em muitas aplicações. Por exemplo, se o domínio de integração é definido como a região do plano entre duas coordenadas x e os gráficos de duas funções, muitas vezes acontece que o domínio tem cantos. Nesse caso, os pontos de canto significam que Ω não é uma variedade suave com limite, e assim a afirmação do teorema de Stokes dada acima não se aplica. No entanto, é possível verificar que a conclusão do teorema de Stokes ainda é verdadeira. Isso ocorre porque Ω e seu limite se comportam bem longe de um pequeno conjunto de pontos (um conjunto de medida zero).

Uma versão do teorema de Stokes que permite a rugosidade foi provada por Whitney.[15] Suponha que D é um subconjunto aberto limitado conectado de Rn. Chame D de domínio padrão se satisfizer a seguinte propriedade: Existe um subconjunto P de ∂D, aberto em ∂D, cujo complemento em ∂D tem Hausdorff (n - 1)-medida zero; e tal que todo ponto de P tem um vetor normal generalizado. Este é um vetor v(x) de tal modo que, se um sistema de coordenadas for escolhido de modo que v(x) é o primeiro vetor base, então, em uma vizinhança aberta em torno de x, existe uma função suave f(x2, ..., xn) tal que P é o gráfico { x1 = f(x2, ..., xn) } e D é a região {x1 : x1 < f(x2, ..., xn) }. Whitney remarks that the boundary of a standard domain is the union of a set of zero Hausdorff (n − 1)-measure and a finite or countable union of smooth (n − 1)-manifolds, each of which has the domain on only one side. He then proves that if D is a standard domain in Rn, ω is an (n − 1)-form which is defined, continuous, and bounded on D ∪ P, smooth on D, integrable on P, and such that dω is integrable on D, then Stokes' theorem holds, that is, {displaystyle int _{P}omega =int _{D}domega ,.} The study of measure-theoretic properties of rough sets leads to geometric measure theory. Even more general versions of Stokes' theorem have been proved by Federer and by Harrison.[16] Special cases The general form of the Stokes theorem using differential forms is more powerful and easier to use than the special cases. The traditional versions can be formulated using Cartesian coordinates without the machinery of differential geometry, and thus are more accessible. Further, they are older and their names are more familiar as a result. The traditional forms are often considered more convenient by practicing scientists and engineers but the non-naturalness of the traditional formulation becomes apparent when using other coordinate systems, even familiar ones like spherical or cylindrical coordinates. There is potential for confusion in the way names are applied, and the use of dual formulations. Classical (vector calculus) case Main article: Stokes' theorem An illustration of the vector-calculus Stokes theorem, with surface Σ, its boundary ∂Σ and the "normal" vector n. This is a (dualized) (1 + 1)-dimensional case, for a 1-form (dualized because it is a statement about vector fields). This special case is often just referred to as Stokes' theorem in many introductory university vector calculus courses and is used in physics and engineering. It is also sometimes known as the curl theorem. The classical Stokes' theorem relates the surface integral of the curl of a vector field over a surface Σ in Euclidean three-space to the line integral of the vector field over its boundary. It is a special case of the general Stokes theorem (with n = 2) once we identify a vector field with a 1-form using the metric on Euclidean 3-space. The curve of the line integral, ∂Σ, must have positive orientation, meaning that ∂Σ points counterclockwise when the surface normal, n, points toward the viewer. One consequence of this theorem is that the field lines of a vector field with zero curl cannot be closed contours. The formula can be rewritten as: Theorem — Suppose F = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) is defined in a region with smooth surface Σ and has continuous first-order partial derivatives. Then {displaystyle iint _{Sigma }{Biggl (}left({frac {partial R}{partial y}}-{frac {partial Q}{partial z}}right)dy,dz+left({frac {partial P}{partial z}}-{frac {partial R}{partial x}}right)dz,dx+left({frac {partial Q}{partial x}}-{frac {partial P}{partial y}}right)dx,dy{Biggr )}=oint _{partial Sigma }{Big (}P,dx+Q,dy+R,dz{Big )},,} where P, Q, and R are the components of F, and ∂Σ is the boundary of the region Σ. Green's theorem Green's theorem is immediately recognizable as the third integrand of both sides in the integral in terms of P, Q, and R cited above. In electromagnetism Two of the four Maxwell equations involve curls of 3-D vector fields, and their differential and integral forms are related by the special 3-dimensional (vector calculus) case of Stokes' theorem. Caution must be taken to avoid cases with moving boundaries: the partial time derivatives are intended to exclude such cases. If moving boundaries are included, interchange of integration and differentiation introduces terms related to boundary motion not included in the results below (see Differentiation under the integral sign): Name Differential form Integral form (using three-dimensional Stokes theorem plus relativistic invariance, ∫ ∂ / ∂t ... → d / dt ∫ ...) Maxwell–Faraday equation Faraday's law of induction: {displaystyle nabla times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}} {displaystyle {begin{aligned}oint _{C}mathbf {E} cdot dmathbf {l} &=iint _{S}nabla times mathbf {E} cdot dmathbf {A} \&=-iint _{S}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}cdot dmathbf {A} end{aligned}}} (with C and S not necessarily stationary) Ampère's law (with Maxwell's extension): {displaystyle nabla times mathbf {H} =mathbf {J} +{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}} {displaystyle {begin{aligned}oint _{C}mathbf {H} cdot dmathbf {l} &=iint _{S}nabla times mathbf {H} cdot dmathbf {A} \&=iint _{S}mathbf {J} cdot dmathbf {A} +iint _{S}{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}cdot dmathbf {A} end{aligned}}} (with C and S not necessarily stationary) The above listed subset of Maxwell's equations are valid for electromagnetic fields expressed in SI units. In other systems of units, such as CGS or Gaussian units, the scaling factors for the terms differ. For example, in Gaussian units, Faraday's law of induction and Ampère's law take the forms:[17][18] {displaystyle {begin{aligned}nabla times mathbf {E} &=-{frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}},,\nabla times mathbf {H} &={frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}+{frac {4pi }{c}}mathbf {J} ,,end{aligned}}} respectively, where c is the speed of light in vacuum. Divergence theorem Likewise, the divergence theorem {displaystyle int _{mathrm {Vol} }nabla cdot mathbf {F} ,d_{mathrm {Vol} }=oint _{partial operatorname {Vol} }mathbf {F} cdot d{boldsymbol {Sigma }}} is a special case if we identify a vector field with the (n − 1)-form obtained by contracting the vector field with the Euclidean volume form. An application of this is the case F = fc where c is an arbitrary constant vector. Working out the divergence of the product gives {displaystyle mathbf {c} cdot int _{mathrm {Vol} }nabla f,d_{mathrm {Vol} }=mathbf {c} cdot oint _{partial mathrm {Vol} }f,d{boldsymbol {Sigma }},.} Since this holds for all c we find {displaystyle int _{mathrm {Vol} }nabla f,d_{mathrm {Vol} }=oint _{partial mathrm {Vol} }f,d{boldsymbol {Sigma }},.} See also Mathematics portal Chandrasekhar–Wentzel lemma Footnotes ^ For mathematicians this fact is known, therefore the circle is redundant and often omitted. However, one should keep in mind here that in thermodynamics, where frequently expressions as ∮W {dtotalU} appear (wherein the total derivative, see below, should not be confused with the exterior one), the integration path W is a one-dimensional closed line on a much higher-dimensional manifold. That is, in a thermodynamic application, where U is a function of the temperature α1 := T, the volume α2 := V, and the electrical polarization α3 := P of the sample, one has {displaystyle {d_{text{total}}U}=sum _{i=1}^{3}{frac {partial U}{partial alpha _{i}}},dalpha _{i},,} and the circle is really necessary, e.g. if one considers the differential consequences of the integral postulate {displaystyle oint _{W},{d_{text{total}}U},{stackrel {!}{=}},0,.} ^ γ and Γ are both loops, however, Γ is not necessarily a Jordan curve References ^ Physics of Collisional Plasmas – Introduction to | Michel Moisan | Springer. ^ "The Man Who Solved the Market", Gregory Zuckerman, Portfolio November 2019, ASIN: B07P1NNTSD ^ Cartan, Élie (1945). Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques. Paris: Hermann. ^ Katz, Victor J. (1979-01-01). "The History of Stokes' Theorem". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR 2690275. ^ Katz, Victor J. (1999). "5. 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In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William, Baron Rayleigh (eds.). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes. Vol. 5. Cambridge, England: University of Cambridge Press. pp. 320–321. ^ Darrigol, Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford, England. p. 146. ISBN 0198505930. ^ Jump up to: a b Spivak (1965), p. vii, Preface. ^ See: The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with Edward John Routh. See: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M. (ed.). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation. Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. 1. Oxford, England: Clarendon Press. pp. 25–27. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem". ^ Renteln, Paul (2014). Manifolds, Tensors, and Forms. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 158–175. ISBN 9781107324893. ^ Lee, John M. (2013). Introduction to Smooth Manifolds. New York: Springer. p. 481. ISBN 9781441999818. ^ Stewart, James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole. ^ This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (University of Bath, U.K) [1], please refer the [2] ^ "This proof is also same to the proof shown in". ^ Whitney, Geometric Integration Theory, III.14. ^ Harrison, J. (October 1993). "Stokes' theorem for nonsmooth chains". Bulletin of the American Mathematical Society. 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External links Media related to Stokes' theorem at Wikimedia Commons "Stokes formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu – an expository explanation show vte Calculus Categories: Differential topologyDifferential formsDuality theoriesIntegration on manifoldsTheorems in calculusTheorems in differential geometry