Teorema di Stokes generalizzato

Teorema di Stokes generalizzato (Reindirizzato da teorema di Stokes) Vai alla navigazione Vai alla ricerca Questo articolo riguarda il teorema generalizzato. Per il teorema classico, vedi il teorema di Stokes. Per l'equazione che governa la resistenza viscosa nei fluidi, vedi la legge di Stokes. Part of a series of articles about Calculus Fundamental theorem Leibniz integral rule Limits of functionsContinuity Mean value theoremRolle's theorem show Differential show Integral show Series hide Vector GradientDivergenceCurlLaplacianDirectional derivativeIdentities Theorems GradientGreen'sStokes'Divergencegeneralized Stokes show Multivariable show Advanced show Specialized show Miscellaneous vte In vector calculus and differential geometry the generalized Stokes theorem (a volte con apostrofo come teorema di Stokes o teorema di Stokes), chiamato anche teorema di Stokes-Cartan,[1] è un'affermazione sull'integrazione di forme differenziali su varietà, che semplifica e generalizza diversi teoremi del calcolo vettoriale. È una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo di Isaac Newton che mette in relazione gli integrali di linea bidimensionali con gli integrali di superficie tridimensionali.[2] Il teorema di Stokes dice che l'integrale di un differenziale forma ω sul confine {displaystyle parziale Omega } di qualche varietà orientabile Ω è uguale all'integrale della sua derivata esterna dω sull'insieme di Ω, cioè., {displaystyle int _{Omega parziale }omega =int _{Omega }domega ,.} Il teorema di Stokes è stato formulato nella sua forma moderna da Élie Cartan in 1945,[3] dopo un precedente lavoro sulla generalizzazione dei teoremi del calcolo vettoriale di Vito Volterra, Edouard Goursat, e Henri Poincaré.[4][5] Questa forma moderna del teorema di Stokes è una vasta generalizzazione di un risultato classico che Lord Kelvin comunicò a George Stokes in una lettera datata luglio 2, 1850.[6][7][8] Stokes pone il teorema come una domanda sul 1854 L'esame del Premio Smith, che ha portato al risultato che porta il suo nome. Fu pubblicato per la prima volta da Hermann Hankel in 1861.[8][9] Questo caso classico mette in relazione l'integrale di superficie dell'arricciatura di un campo vettoriale F su una superficie (questo è, il flusso del riccio F) nel trispazio euclideo all'integrale di linea del campo vettoriale sul confine della superficie (noto anche come integrale di ciclo).

Generalizzazioni classiche del teorema fondamentale del calcolo come il teorema della divergenza, e il teorema di Green dal calcolo vettoriale sono casi speciali della formulazione generale sopra indicata dopo aver effettuato un'identificazione standard di campi vettoriali con forme differenziali (diverso per ciascuno dei teoremi classici).

Contenuti 1 introduzione 2 Formulazione per varietà lisce con bordo 3 Preliminari topologici; integrazione su catene 4 Principio di fondo 5 Esempio di analisi vettoriale classica 6 Generalizzazione agli insiemi approssimativi 7 Casi speciali 7.1 Classico (calcolo vettoriale) Astuccio 7.2 Il teorema di Green 7.2.1 Nell'elettromagnetismo 7.3 Teorema della divergenza 8 Guarda anche 9 Note a piè di pagina 10 Riferimenti 11 Ulteriori letture 12 External links Introduction The second fundamental theorem of calculus states that the integral of a function f over the interval [un, b] can be calculated by finding an antiderivative F of f: {displaystyle int _{un}^{b}f(X),dx=F(b)-F(un),.} Il teorema di Stokes è una vasta generalizzazione di questo teorema nel senso seguente.

Per scelta di F, dF / dx = f(X). Nel gergo delle forme differenziali, questo vuol dire che f(X) dx è la derivata esterna della forma 0, cioè. funzione, F: in altre parole, che dF = f dx. Il teorema generale di Stokes si applica a forme differenziali superiori ω invece di sole forme 0 come F. Un intervallo chiuso [un, b] è un semplice esempio di varietà unidimensionale con bordo. Il suo confine è l'insieme costituito dai due punti a e b. L'integrazione di f nell'intervallo può essere generalizzata all'integrazione di forme su una varietà di dimensioni superiori. Sono necessarie due condizioni tecniche: il collettore deve essere orientabile, e la forma deve essere sostenuta in modo compatto per dare un integrale ben definito. I due punti aeb formano il confine dell'intervallo chiuso. Più generalmente, Il teorema di Stokes si applica alle varietà orientate M con bordo. Il confine ∂M di M è esso stesso una varietà ed eredita un orientamento naturale da quello di M. Per esempio, l'orientamento naturale dell'intervallo fornisce un orientamento dei due punti di confine. Intuitivamente, a eredita l'orientamento opposto come b, poiché sono alle estremità opposte dell'intervallo. Così, "integrando" F su due punti di confine a, b sta prendendo la differenza F(b) -F(un).

In termini ancora più semplici, si possono considerare i punti come confini di curve, cioè come confini 0-dimensionali di varietà unidimensionali. Così, proprio come si può trovare il valore di un integrale (fdx = dF) su una varietà unidimensionale ([un, b]) considerando l'antiderivato (F) ai confini 0-dimensionali ({un, b}), si può generalizzare il teorema fondamentale del calcolo, con alcune avvertenze aggiuntive, per trattare il valore degli integrali (dω) su varietà n-dimensionali (Oh) considerando l'antiderivata (oh) al (n - 1)-confini dimensionali (∂Ω) del collettore.

Quindi si legge il teorema fondamentale: {displaystyle int _{[un,b]}f(X),dx=int _{[un,b]},dF=int _{parziale [un,b]},F=int _{{un}^{-}tazza {b}^{+}}F=F(b)-F(un),.} Formulation for smooth manifolds with boundary Let Ω be an oriented smooth manifold with boundary of dimension n and let α be a smooth n-differential form that is compactly supported on Ω. Primo, supponiamo che α sia supportato in modo compatto nel dominio di un singolo, grafico a coordinate orientate {u, Phi}. In questo caso, definiamo l'integrale di α su Ω come {displaystyle int _{Omega }alfa =int _{varfi (u)}(varfi ^{-1})^{*}alfa ,,} cioè., tramite il pullback di α a Rn.

Più generalmente, l'integrale di α su Ω è definito come segue: Permettere {ψi} essere una partizione di unità associata a una copertura localmente finita {Ui, io} di (coerentemente orientato) grafici delle coordinate, quindi definire l'integrale {displaystyle int _{Omega }somma alfa equivalente _{io}int _{U_{io}}psi _{io}alfa ,,} dove ogni termine nella somma viene valutato riportando a Rn come descritto sopra. Questa quantità è ben definita; questo è, non dipende dalla scelta dei grafici delle coordinate, né la partizione dell'unità.

Si legge il teorema di Stokes generalizzato: Teorema (Stokes-Cartan) - Permettere {stile di visualizzazione omega } essere un liscio {stile di visualizzazione (n-1)} -forma con appoggio compatto su un orientato, {stile di visualizzazione n} -varietà dimensionale-con-confine {stile di visualizzazione M} , dove {displaystyle parziale M} viene dato l'orientamento indotto. Quindi {displaystyle int _{M}domega =int _{parziale M}omega .} Qui {stile di visualizzazione d} è la derivata esterna, che è definito utilizzando solo la struttura del collettore. Il lato destro è talvolta scritto come {stile testo unguento _{Omega parziale }omega } per sottolineare il fatto che il {stile di visualizzazione (n-1)} -collettore {displaystyle parziale Omega } non ha confine.[Nota 1] (Questo fatto è anche un'implicazione del teorema di Stokes, poiché per un dato liscio {stile di visualizzazione n} -varietà dimensionale {stile di visualizzazione Omega } , l'applicazione del teorema fornisce due volte {stile testo int _{parziale (Omega parziale )}omega =int _{Omega }d(domega )=0} per ogni {stile di visualizzazione (n-2)} -modulo {stile di visualizzazione omega } , il che lo implica {stile di visualizzazione parziale (Omega parziale )=vuoto } .) Il lato destro dell'equazione viene spesso utilizzato per formulare leggi integrali; il lato sinistro porta quindi a formulazioni differenziali equivalenti (vedi sotto).

Il teorema è spesso usato in situazioni in cui {stile di visualizzazione Omega } è una sottovarietà orientata incorporata di una varietà più grande, Spesso {displaystyle mathbf {R} ^{K}} , su cui il modulo {stile di visualizzazione omega } è definito.

Preliminari topologici; integration over chains Let M be a smooth manifold. UN (liscio) Il singolare k-simplex in M ​​è definito come una mappa liscia dal simplesso standard in Rk a M. Il gruppo Ck(M, Z) di catene k singolari su M è definito come il gruppo abeliano libero sull'insieme di k-simplici singolari in M. Questi gruppi, insieme alla mappa dei confini, ∂, definire un complesso di catene. L'omologia corrispondente (risp. coomologia) gruppo è isomorfo al solito gruppo di omologia singolare Hk(M, Z) (risp. il gruppo di coomologia singolare Hk(M, Z)), definito usando semplici continui anziché lisci in M.

D'altro canto, le forme differenziali, con derivato esterno, d, come mappa di collegamento, formare un complesso di cocatene, che definisce i gruppi di coomologia de Rham {stile di visualizzazione H_{dR}^{K}(M,mathbf {R} )} .

K-forme differenziali possono essere integrate su un k-simplex in modo naturale, tirando indietro a Rk. L'estensione per linearità consente l'integrazione su catene. Ciò fornisce una mappa lineare dallo spazio delle k-forme al k-esimo gruppo di cocatene singolari, Cc(M, Z), i funzionali lineari su Ck(M, Z). In altre parole, una k-forma ω definisce un funzionale {stile di visualizzazione I(omega )(c)=unto _{c}omega .} sulle catene k. Il teorema di Stokes afferma che questa è una mappa a catena dalla coomologia di de Rham alla coomologia singolare con coefficienti reali; il derivato esterno, d, si comporta come il duale di ∂ sulle forme. Questo dà un omomorfismo dalla coomologia de Rham alla coomologia singolare. A livello di forme, questo significa: forme chiuse, cioè., dω = 0, hanno integrale zero sui confini, cioè. su varietà che possono essere scritte come ∂Σc Mc, e forme esatte, cioè., ω = dσ, hanno integrale zero sui cicli, cioè. se i confini si sommano all'insieme vuoto: Σc Mc = ∅.

Il teorema di De Rham mostra che questo omomorfismo è in realtà un isomorfismo. Quindi il contrario a 1 e 2 sopra vale. In altre parole, Se {ci} sono cicli che generano il k-esimo gruppo di omologia, quindi per qualsiasi numero reale corrispondente, {ai} , esiste una forma chiusa, oh, tale che {displaystyle unto_{c_{io}}omega =a_{io},,} e questa forma è unica fino a forme esatte.

Il teorema di Stokes sulle varietà lisce può essere derivato dal teorema di Stokes per le catene nelle varietà lisce, e viceversa.[10] Formalmente dichiarato, si legge quest'ultimo:[11] Teorema (Teorema di Stokes per le catene) — If c is a smooth k-chain in a smooth manifold M, e ω è un liscio (k - 1)-modulo su M, poi {displaystyle int _{parziale c}omega =int _{c}domega .} Underlying principle To simplify these topological arguments, vale la pena esaminare il principio sottostante considerando un esempio per d = 2 dimensioni. L'idea essenziale può essere compresa dal diagramma a sinistra, che lo dimostra, in una piastrellatura orientata di un collettore, i percorsi interni sono percorsi in direzioni opposte; i loro contributi all'integrale del cammino si annullano quindi a vicenda a coppie. Come conseguenza, rimane solo il contributo del confine. È quindi sufficiente dimostrare il teorema di Stokes per piastrellature sufficientemente fini (o, equivalentemente, semplice), che di solito non è difficile.

Classical vector analysis example Let γ: [un, b] → R2 sia una curva piana di Jordan liscia a tratti. Il teorema della curva di Jordan implica che γ divide R2 in due componenti, uno compatto e un altro non compatto. Sia D la parte compatta che è limitata da γ e supponiamo ψ: D → R3 è liscio, with S := pag(D). Se Γ è la curva spaziale definita da Γ(t) = pag(c(t))[Nota 2] e F è un campo vettoriale uniforme su R3, poi:[12][13][14] {displaystyle unto_{Gamma }mathbf {F} ,cdot ,d{mathbf {Gamma } }= non _{S}sinistra(nabla volte mathbf {F} Giusto)cdot ,dmathbf {S} } Questa classica affermazione, è un caso speciale della formulazione generale dopo aver identificato il campo vettoriale con una forma 1 e il suo arricciatura con una due forme attraverso {stile di visualizzazione {inizio{pmatrice}F_{X}\F_{y}\F_{z}\fine{pmatrice}}cdot dGamma a F_{X},dx+fa_{y},tu+F_{z},dz} {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&nabla times {inizio{pmatrice}F_{X}\F_{y}\F_{z}fine{pmatrice}}cdot dmathbf {S} ={inizio{pmatrice}parziale _{y}F_{z}-parziale _{z}F_{y}\parziale _{z}F_{X}-parziale _{X}F_{z}\parziale _{X}F_{y}-parziale _{y}F_{X}\fine{pmatrice}}cdot dmathbf {S} a \[1.4ex]&d(F_{X},dx+fa_{y},tu+F_{z},dz)= sinistra(parziale _{y}F_{z}-parziale _{z}F_{y}Giusto)dywedge dz+sinistra(parziale _{z}F_{X}-parziale _{X}F_{z}Giusto)dzwedge dx+sinistra(parziale _{X}F_{y}-parziale _{y}F_{X}Giusto)dxwedge dy.end{allineato}}} Generalizzazione agli insiemi approssimativi Una regione (qui chiamato D invece di Ω) con bordo liscio a tratti. Questo è un collettore con angoli, quindi il suo confine non è una varietà liscia.

La formulazione sopra, in cui Ω è una varietà liscia con bordo, non è sufficiente in molte applicazioni. Per esempio, se il dominio di integrazione è definito come la regione piana tra due coordinate x ei grafici di due funzioni, capita spesso che il dominio abbia degli angoli. In tal caso, i punti d'angolo significano che Ω non è una varietà liscia con bordo, e quindi l'affermazione del teorema di Stokes data sopra non si applica. Tuttavia, è possibile verificare che la conclusione del teorema di Stokes sia ancora vera. Questo perché Ω e il suo confine si comportano bene lontano da un piccolo insieme di punti (una misura zero impostata).

Una versione del teorema di Stokes che tiene conto della rugosità è stata dimostrata da Whitney.[15] Si supponga che D sia un sottoinsieme aperto limitato connesso di Rn. Chiama D un dominio standard se soddisfa la seguente proprietà: Esiste un sottoinsieme P di ∂D, aperto in ∂D, il cui complemento in ∂D ha Hausdorff (n - 1)-misura zero; e tale che ogni punto di P ha un vettore normale generalizzato. Questo è un vettore v(X) tale che, se si sceglie un sistema di coordinate in modo che v(X) è il primo vettore base, poi, in un quartiere aperto intorno a x, esiste una funzione liscia f(x2, ..., xn) tale che P è il grafico { x1 = f(x2, ..., xn) } e D è la regione {x1 : x1 < f(x2, ..., xn) }. Whitney remarks that the boundary of a standard domain is the union of a set of zero Hausdorff (n − 1)-measure and a finite or countable union of smooth (n − 1)-manifolds, each of which has the domain on only one side. He then proves that if D is a standard domain in Rn, ω is an (n − 1)-form which is defined, continuous, and bounded on D ∪ P, smooth on D, integrable on P, and such that dω is integrable on D, then Stokes' theorem holds, that is, {displaystyle int _{P}omega =int _{D}domega ,.} The study of measure-theoretic properties of rough sets leads to geometric measure theory. Even more general versions of Stokes' theorem have been proved by Federer and by Harrison.[16] Special cases The general form of the Stokes theorem using differential forms is more powerful and easier to use than the special cases. The traditional versions can be formulated using Cartesian coordinates without the machinery of differential geometry, and thus are more accessible. Further, they are older and their names are more familiar as a result. The traditional forms are often considered more convenient by practicing scientists and engineers but the non-naturalness of the traditional formulation becomes apparent when using other coordinate systems, even familiar ones like spherical or cylindrical coordinates. There is potential for confusion in the way names are applied, and the use of dual formulations. Classical (vector calculus) case Main article: Stokes' theorem An illustration of the vector-calculus Stokes theorem, with surface Σ, its boundary ∂Σ and the "normal" vector n. This is a (dualized) (1 + 1)-dimensional case, for a 1-form (dualized because it is a statement about vector fields). This special case is often just referred to as Stokes' theorem in many introductory university vector calculus courses and is used in physics and engineering. It is also sometimes known as the curl theorem. The classical Stokes' theorem relates the surface integral of the curl of a vector field over a surface Σ in Euclidean three-space to the line integral of the vector field over its boundary. It is a special case of the general Stokes theorem (with n = 2) once we identify a vector field with a 1-form using the metric on Euclidean 3-space. The curve of the line integral, ∂Σ, must have positive orientation, meaning that ∂Σ points counterclockwise when the surface normal, n, points toward the viewer. One consequence of this theorem is that the field lines of a vector field with zero curl cannot be closed contours. The formula can be rewritten as: Theorem — Suppose F = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) is defined in a region with smooth surface Σ and has continuous first-order partial derivatives. Then {displaystyle iint _{Sigma }{Biggl (}left({frac {partial R}{partial y}}-{frac {partial Q}{partial z}}right)dy,dz+left({frac {partial P}{partial z}}-{frac {partial R}{partial x}}right)dz,dx+left({frac {partial Q}{partial x}}-{frac {partial P}{partial y}}right)dx,dy{Biggr )}=oint _{partial Sigma }{Big (}P,dx+Q,dy+R,dz{Big )},,} where P, Q, and R are the components of F, and ∂Σ is the boundary of the region Σ. Green's theorem Green's theorem is immediately recognizable as the third integrand of both sides in the integral in terms of P, Q, and R cited above. In electromagnetism Two of the four Maxwell equations involve curls of 3-D vector fields, and their differential and integral forms are related by the special 3-dimensional (vector calculus) case of Stokes' theorem. Caution must be taken to avoid cases with moving boundaries: the partial time derivatives are intended to exclude such cases. If moving boundaries are included, interchange of integration and differentiation introduces terms related to boundary motion not included in the results below (see Differentiation under the integral sign): Name Differential form Integral form (using three-dimensional Stokes theorem plus relativistic invariance, ∫ ∂ / ∂t ... → d / dt ∫ ...) Maxwell–Faraday equation Faraday's law of induction: {displaystyle nabla times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}} {displaystyle {begin{aligned}oint _{C}mathbf {E} cdot dmathbf {l} &=iint _{S}nabla times mathbf {E} cdot dmathbf {A} \&=-iint _{S}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}cdot dmathbf {A} end{aligned}}} (with C and S not necessarily stationary) Ampère's law (with Maxwell's extension): {displaystyle nabla times mathbf {H} =mathbf {J} +{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}} {displaystyle {begin{aligned}oint _{C}mathbf {H} cdot dmathbf {l} &=iint _{S}nabla times mathbf {H} cdot dmathbf {A} \&=iint _{S}mathbf {J} cdot dmathbf {A} +iint _{S}{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}cdot dmathbf {A} end{aligned}}} (with C and S not necessarily stationary) The above listed subset of Maxwell's equations are valid for electromagnetic fields expressed in SI units. In other systems of units, such as CGS or Gaussian units, the scaling factors for the terms differ. For example, in Gaussian units, Faraday's law of induction and Ampère's law take the forms:[17][18] {displaystyle {begin{aligned}nabla times mathbf {E} &=-{frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}},,\nabla times mathbf {H} &={frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}+{frac {4pi }{c}}mathbf {J} ,,end{aligned}}} respectively, where c is the speed of light in vacuum. Divergence theorem Likewise, the divergence theorem {displaystyle int _{mathrm {Vol} }nabla cdot mathbf {F} ,d_{mathrm {Vol} }=oint _{partial operatorname {Vol} }mathbf {F} cdot d{boldsymbol {Sigma }}} is a special case if we identify a vector field with the (n − 1)-form obtained by contracting the vector field with the Euclidean volume form. An application of this is the case F = fc where c is an arbitrary constant vector. Working out the divergence of the product gives {displaystyle mathbf {c} cdot int _{mathrm {Vol} }nabla f,d_{mathrm {Vol} }=mathbf {c} cdot oint _{partial mathrm {Vol} }f,d{boldsymbol {Sigma }},.} Since this holds for all c we find {displaystyle int _{mathrm {Vol} }nabla f,d_{mathrm {Vol} }=oint _{partial mathrm {Vol} }f,d{boldsymbol {Sigma }},.} See also Mathematics portal Chandrasekhar–Wentzel lemma Footnotes ^ For mathematicians this fact is known, therefore the circle is redundant and often omitted. However, one should keep in mind here that in thermodynamics, where frequently expressions as ∮W {dtotalU} appear (wherein the total derivative, see below, should not be confused with the exterior one), the integration path W is a one-dimensional closed line on a much higher-dimensional manifold. That is, in a thermodynamic application, where U is a function of the temperature α1 := T, the volume α2 := V, and the electrical polarization α3 := P of the sample, one has {displaystyle {d_{text{total}}U}=sum _{i=1}^{3}{frac {partial U}{partial alpha _{i}}},dalpha _{i},,} and the circle is really necessary, e.g. if one considers the differential consequences of the integral postulate {displaystyle oint _{W},{d_{text{total}}U},{stackrel {!}{=}},0,.} ^ γ and Γ are both loops, however, Γ is not necessarily a Jordan curve References ^ Physics of Collisional Plasmas – Introduction to | Michel Moisan | Springer. ^ "The Man Who Solved the Market", Gregory Zuckerman, Portfolio November 2019, ASIN: B07P1NNTSD ^ Cartan, Élie (1945). Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques. Paris: Hermann. ^ Katz, Victor J. (1979-01-01). "The History of Stokes' Theorem". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR 2690275. ^ Katz, Victor J. (1999). "5. Differential Forms". In James, I. M. (ed.). History of Topology. Amsterdam: Elsevier. pp. 111–122. ISBN 9780444823755. ^ See: Katz, Victor J. (May 1979). "The history of Stokes' theorem". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.1080/0025570x.1979.11976770. The letter from Thomson to Stokes appears in: Thomson, William; Stokes, George Gabriel (1990). Wilson, David B. (ed.). The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869. Cambridge, England: Cambridge University Press. pp. 96–97. ISBN 9780521328319. Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published proof appeared in 1861 in: Hankel, Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids]. Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. pp. 34–37. Hankel doesn't mention the author of the theorem. In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William, Baron Rayleigh (eds.). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes. Vol. 5. Cambridge, England: University of Cambridge Press. pp. 320–321. ^ Darrigol, Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford, England. p. 146. ISBN 0198505930. ^ Jump up to: a b Spivak (1965), p. vii, Preface. ^ See: The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with Edward John Routh. See: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M. (ed.). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation. Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. 1. Oxford, England: Clarendon Press. pp. 25–27. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem". ^ Renteln, Paul (2014). Manifolds, Tensors, and Forms. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 158–175. ISBN 9781107324893. ^ Lee, John M. (2013). Introduction to Smooth Manifolds. New York: Springer. p. 481. ISBN 9781441999818. ^ Stewart, James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole. ^ This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (University of Bath, U.K) [1], please refer the [2] ^ "This proof is also same to the proof shown in". ^ Whitney, Geometric Integration Theory, III.14. ^ Harrison, J. (October 1993). "Stokes' theorem for nonsmooth chains". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 29 (2): 235–243. arXiv:math/9310231. Bibcode:1993math.....10231H. doi:10.1090/S0273-0979-1993-00429-4. S2CID 17436511. ^ Jackson, J. D. (1975). Classical Electrodynamics (2nd ed.). New York, NY: Wiley. ^ Born, M.; Wolf, E. (1980). Principles of Optics (6th ed.). Cambridge, England: Cambridge University Press. Further reading Grunsky, Helmut (1983). The General Stokes' Theorem. Boston: Pitman. ISBN 0-273-08510-7. Katz, Victor J. (May 1979). "The History of Stokes' Theorem". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR 2690275. Loomis, Lynn Harold; Sternberg, Shlomo (2014). Advanced Calculus. Hackensack, New Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-4583-93-0. Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58956-8. Marsden, Jerrold E.; Anthony, Tromba (2003). Vector Calculus (5th ed.). W. H. Freeman. Lee, John (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York, NY: McGraw–Hill. ISBN 0-07-054235-X. Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9. Stewart, James (2009). Calculus: Concepts and Contexts. Cengage Learning. pp. 960–967. ISBN 978-0-495-55742-5. Stewart, James (2003). Calculus: Early Transcendental Functions (5th ed.). Brooks/Cole. Tu, Loring W. (2011). An Introduction to Manifolds (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3. External links Media related to Stokes' theorem at Wikimedia Commons "Stokes formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu – an expository explanation show vte Calculus Categories: Differential topologyDifferential formsDuality theoriesIntegration on manifoldsTheorems in calculusTheorems in differential geometry