Théorème de Stokes généralisé

Théorème de Stokes généralisé (Redirigé à partir du théorème de Stokes) Aller à la navigation Aller à la recherche Cet article concerne le théorème généralisé. Pour le théorème classique, voir le théorème de Stokes. Pour l'équation régissant la traînée visqueuse dans les fluides, voir la loi de Stokes. Part of a series of articles about Calculus Fundamental theorem Leibniz integral rule Limits of functionsContinuity Mean value theoremRolle's theorem show Differential show Integral show Series hide Vector GradientDivergenceCurlLaplacianDirectional derivativeIdentities Theorems GradientGreen'sStokes'Divergencegeneralized Stokes show Multivariable show Advanced show Specialized show Miscellaneous vte In vector calculus and differential geometry the generalized Stokes theorem (parfois avec apostrophe comme théorème de Stokes ou théorème de Stokes), également appelé théorème de Stokes-Cartan,[1] est une déclaration sur l'intégration des formes différentielles sur les variétés, qui à la fois simplifie et généralise plusieurs théorèmes du calcul vectoriel. Il s'agit d'une généralisation du théorème fondamental du calcul d'Isaac Newton qui relie les intégrales de ligne bidimensionnelles aux intégrales de surface tridimensionnelles.[2] Le théorème de Stokes dit que l'intégrale d'une forme différentielle ω sur la frontière {style d'affichage partiel Omega } d'une variété orientable Ω est égale à l'intégrale de sa dérivée extérieure dω sur l'ensemble de Ω, c'est à dire., {style d'affichage entier _{Oméga partiel }oméga =int _{Oméga }domega ,.} Le théorème de Stokes a été formulé sous sa forme moderne par Élie Cartan en 1945,[3] à la suite des travaux antérieurs sur la généralisation des théorèmes du calcul vectoriel par Vito Volterra, Édouard Goursat, et Henri Poincaré.[4][5] Cette forme moderne du théorème de Stokes est une vaste généralisation d'un résultat classique que Lord Kelvin a communiqué à George Stokes dans une lettre datée de juillet 2, 1850.[6][7][8] Stokes pose le théorème comme une question sur la 1854 Examen du prix Smith, qui a conduit au résultat portant son nom. Il a été publié pour la première fois par Hermann Hankel dans 1861.[8][9] Ce cas classique concerne l'intégrale de surface de la courbure d'un champ vectoriel F sur une surface (C'est, le flux de curl F) dans l'espace tridimensionnel euclidien à l'intégrale linéaire du champ vectoriel sur la frontière de la surface (également connu sous le nom d'intégrale de boucle).

Généralisations classiques du théorème fondamental du calcul comme le théorème de divergence, et le théorème de Green du calcul vectoriel sont des cas particuliers de la formulation générale énoncée ci-dessus après avoir effectué une identification standard des champs vectoriels avec des formes différentielles (différent pour chacun des théorèmes classiques).

Contenu 1 Introduction 2 Formulation pour collecteurs lisses avec limite 3 Préliminaires topologiques; intégration sur chaînes 4 Principe sous-jacent 5 Exemple d'analyse vectorielle classique 6 Généralisation aux ensembles approximatifs 7 Cas spéciaux 7.1 Classique (calcul vectoriel) Cas 7.2 Théorème de Green 7.2.1 En électromagnétisme 7.3 Théorème de divergence 8 Voir également 9 Notes de bas de page 10 Références 11 Lectures complémentaires 12 External links Introduction The second fundamental theorem of calculus states that the integral of a function f over the interval [un, b] can be calculated by finding an antiderivative F of f: {style d'affichage entier _{un}^{b}F(X),dx=F(b)-F(un),.} Le théorème de Stokes est une vaste généralisation de ce théorème dans le sens suivant.

Par le choix de F, dF / dx = f(X). Dans le langage des formes différentielles, c'est dire que f(X) dx est la dérivée extérieure de la forme 0, c'est à dire. fonction, F: autrement dit, que dF = f dx. Le théorème général de Stokes s'applique aux formes différentielles supérieures ω au lieu des seules formes 0 telles que F. Un intervalle fermé [un, b] est un exemple simple de variété unidimensionnelle de frontière. Sa frontière est l'ensemble constitué des deux points a et b. L'intégration de f sur l'intervalle peut être généralisée à l'intégration de formes sur une variété de dimension supérieure. Deux conditions techniques sont nécessaires: le collecteur doit être orientable, et la forme doit être supportée de manière compacte afin de donner une intégrale bien définie. Les deux points a et b forment la frontière de l'intervalle fermé. Plus généralement, Le théorème de Stokes s'applique aux variétés orientées M de frontière. Le bord ∂M de M est lui-même une variété et hérite d'une orientation naturelle de celle de M. Par exemple, l'orientation naturelle de l'intervalle donne une orientation des deux points frontières. Intuitivement, a hérite de l'orientation opposée à b, car ils sont aux extrémités opposées de l'intervalle. Alors, "en intégrant" F sur deux points limites a, b prend la différence F(b) − F(un).

En termes encore plus simples, on peut considérer les points comme des frontières de courbes, c'est-à-dire comme des frontières à 0 dimensions de variétés à 1 dimension. Alors, comme on peut trouver la valeur d'une intégrale (f dx = dF) sur une variété unidimensionnelle ([un, b]) en considérant la primitive (F) aux frontières de dimension 0 ({un, b}), on peut généraliser le théorème fondamental du calcul, avec quelques mises en garde supplémentaires, traiter de la valeur des intégrales (dω) sur des variétés à n dimensions (Oh) en considérant la primitive (oh) au (n- 1)-limites dimensionnelles (∂Ω) du collecteur.

Donc le théorème fondamental s'écrit: {style d'affichage entier _{[un,b]}F(X),dx=int _{[un,b]},dF=int _{partiel [un,b]},F=int _{{un}^{-}Coupe {b}^{+}}F=F(b)-F(un),.} Formulation for smooth manifolds with boundary Let Ω be an oriented smooth manifold with boundary of dimension n and let α be a smooth n-differential form that is compactly supported on Ω. Première, supposons que α soit supporté de manière compacte dans le domaine d'un seul, carte de coordonnées orientées {tu, Phi}. Dans ce cas, nous définissons l'intégrale de α sur Ω comme {style d'affichage entier _{Oméga }alpha=int _{varphi (tu)}(varphi ^{-1})^{*}alpha ,,} c'est à dire., via le pullback de α vers Rn.

Plus généralement, l'intégrale de α sur Ω est définie comme suit: Laisser {ψi} être une partition d'unité associée à un revêtement localement fini {interface utilisateur, je} de (constamment orienté) tableaux de coordonnées, puis définir l'intégrale {style d'affichage entier _{Oméga }somme équiv alpha _{je}entier _{U_{je}}psi _{je}alpha ,,} où chaque terme de la somme est évalué en revenant à Rn comme décrit ci-dessus. Cette quantité est bien définie; C'est, cela ne dépend pas du choix des cartes de coordonnées, ni la partition de l'unité.

Le théorème de Stokes généralisé se lit: Théorème (Stokes–Cartan) — Let {style d'affichage oméga } être lisse {style d'affichage (n-1)} -forme à appui compact sur un plan orienté, {displaystyle n} -variété dimensionnelle avec frontière {style d'affichage M} , où {style d'affichage partiel M} reçoit l'orientation induite. Alors {style d'affichage entier _{M}domega = int _{partiel M}oméga .} Ici {displaystyle d} est la dérivée extérieure, qui est défini à l'aide de la structure du collecteur uniquement. Le côté droit est parfois écrit comme {point de style de texte _{Oméga partiel }oméga } souligner le fait que le {style d'affichage (n-1)} -collecteur {style d'affichage partiel Omega } n'a pas de frontière.[Remarque 1] (Ce fait est aussi une implication du théorème de Stokes, puisque pour une lisse donnée {displaystyle n} -collecteur dimensionnel {style d'affichage Omega } , l'application du théorème donne deux fois {style de texte entier _{partiel (Oméga partiel )}oméga =int _{Oméga }ré(domega )=0} pour toute {style d'affichage (n-2)} -formulaire {style d'affichage oméga } , ce qui implique que {style d'affichage partiel (Oméga partiel )= ensemble vide } .) Le membre de droite de l'équation est souvent utilisé pour formuler des lois intégrales; le membre de gauche conduit alors à des formulations différentielles équivalentes (voir ci-dessous).

Le théorème est souvent utilisé dans des situations où {style d'affichage Omega } est une sous-variété orientée embarquée d'une plus grande variété, souvent {style d'affichage mathbf {R} ^{k}} , sur lequel le formulaire {style d'affichage oméga } est défini.

Préliminaires topologiques; integration over chains Let M be a smooth manifold. UN (lisse) k-simplex singulier dans M est défini comme une application lisse du simplexe standard dans Rk vers M. Le groupe Ck(M, Z) des k-chaînes singulières sur M est défini comme étant le groupe abélien libre sur l'ensemble des k-simplices singuliers dans M. Ces groupes, avec la carte des limites, ∂, définir un complexe de chaîne. L'homologie correspondante (resp. cohomologie) est isomorphe au groupe d'homologie singulier usuel Hk(M, Z) (resp. le groupe de cohomologie singulier Hk(M, Z)), défini en utilisant des simplexes continus plutôt que lisses dans M.

D'autre part, les formes différentielles, avec dérivé extérieur, ré, comme carte de liaison, former un complexe de cochaîne, qui définit les groupes de cohomologie de de Rham {style d'affichage H_{dR}^{k}(M,mathbf {R} )} .

Les k-formes différentielles peuvent être intégrées sur un k-simplex de manière naturelle, en tirant vers Rk. L'extension par linéarité permet d'intégrer sur des chaînes. Cela donne une carte linéaire de l'espace des formes k au k ème groupe de cochaînes singulières, Ck(M, Z), les fonctionnelles linéaires sur Ck(M, Z). Autrement dit, une k-forme ω définit une fonctionnelle {style d'affichage I(oméga )(c)=point _{c}oméga .} sur les chaînes k. Le théorème de Stokes dit qu'il s'agit d'une carte en chaîne de la cohomologie de Rham à la cohomologie singulière avec des coefficients réels; la dérivée extérieure, ré, se comporte comme le dual de ∂ sur les formes. Cela donne un homomorphisme de la cohomologie de de Rham à la cohomologie singulière. Au niveau des formulaires, ça signifie: formulaires fermés, c'est à dire., dω = 0, avoir une intégrale nulle sur les frontières, c'est à dire. sur des variétés qui peuvent s'écrire ∂Σc Mc, et formes exactes, c'est à dire., ω = dσ, avoir une intégrale nulle sur les cycles, c'est à dire. si les frontières totalisent l'ensemble vide: Σc Mc = ∅.

Le théorème de De Rham montre que cet homomorphisme est en fait un isomorphisme. Donc l'inverse de 1 et 2 ci-dessus. Autrement dit, si {ci} sont des cycles générant le ke groupe d'homologie, alors pour tout nombre réel correspondant, {ai} , il existe une forme fermée, oh, tel que {displaystyle oint _{c_{je}}oméga =a_{je},,} et cette forme est unique jusqu'aux formes exactes.

Le théorème de Stokes sur les variétés lisses peut être dérivé du théorème de Stokes pour les chaînes dans les variétés lisses, et vice versa.[10] Formellement déclaré, ce dernier lit:[11] Théorème (Théorème de Stokes pour les chaînes) — If c is a smooth k-chain in a smooth manifold M, et ω est une lisse (k- 1)-forme sur M, alors {style d'affichage entier _{c partiel}oméga =int _{c}domega .} Underlying principle To simplify these topological arguments, il est intéressant d'examiner le principe sous-jacent en considérant un exemple pour d = 2 dimensions. L'idée essentielle peut être comprise par le schéma à gauche, ce qui montre que, dans un pavage orienté d'une variété, les chemins intérieurs sont parcourus dans des directions opposées; leurs contributions à l'intégrale de chemin s'annulent donc deux à deux. En conséquence, seule la contribution de la frontière reste. Il suffit donc de prouver le théorème de Stokes pour des pavages suffisamment fins (ou, de manière équivalente, Facile), ce qui n'est généralement pas difficile.

Classical vector analysis example Let γ: [un, b] → R2 soit une courbe plane de Jordan lisse par morceaux. Le théorème de la courbe de Jordan implique que γ divise R2 en deux composantes, un compact et un autre non compact. Soit D la partie compacte bornée par γ et supposons ψ: D → R3 est lisse, with S :=p(ré). Si Γ est la courbe spatiale définie par Γ(t) =p(c(t))[Remarque 2] et F est un champ vectoriel lisse sur R3, alors:[12][13][14] {displaystyle oint _{Gamma }mathbf {F} ,cdot ,ré{mathbf {Gamma } }=iint _{S}la gauche(nabla fois mathbf {F} droit)cdot ,dmathbf {S} } Cette déclaration classique, est un cas particulier de la formulation générale après avoir fait une identification du champ vectoriel avec une forme 1 et sa boucle avec une forme deux à travers {style d'affichage {commencer{pmatrice}F_{X}\F_{y}\F_{z}\fin{pmatrice}}cdot dGamma à F_{X},dx+F_{y},toi+F_{z},dz} {style d'affichage {commencer{aligné}&nabla times {commencer{pmatrice}F_{X}\F_{y}\F_{z}fin{pmatrice}}cdot dmathbf {S} ={commencer{pmatrice}partiel _{y}F_{z}-partiel _{z}F_{y}\partiel _{z}F_{X}-partiel _{X}F_{z}\partiel _{X}F_{y}-partiel _{y}F_{X}\fin{pmatrice}}cdot dmathbf {S} à \[1.4ex]&d(F_{X},dx+F_{y},toi+F_{z},dz)=gauche(partiel _{y}F_{z}-partiel _{z}F_{y}droit)dywedge dz+gauche(partiel _{z}F_{X}-partiel _{X}F_{z}droit)dzwedge dx+gauche(partiel _{X}F_{y}-partiel _{y}F_{X}droit)dxwedge dy.end{aligné}}} Généralisation aux ensembles approximatifs Une région (ici appelé D au lieu de Ω) avec frontière lisse par morceaux. Ceci est un collecteur avec des coins, donc sa frontière n'est pas une variété lisse.

La formule ci-dessus, dans laquelle Ω est une variété lisse de bord, ne suffit pas dans de nombreuses applications. Par exemple, si le domaine d'intégration est défini comme la région plane entre deux abscisses et les graphiques de deux fonctions, il arrivera souvent que le domaine ait des coins. Dans ce cas, les points d'angle signifient que Ω n'est pas une variété lisse de frontière, et donc l'énoncé du théorème de Stokes donné ci-dessus ne s'applique pas. Néanmoins, il est possible de vérifier que la conclusion du théorème de Stokes est toujours vraie. C'est parce que Ω et sa frontière se comportent bien loin d'un petit ensemble de points (un zéro de mesure réglé).

Une version du théorème de Stokes qui tient compte de la rugosité a été prouvée par Whitney.[15] Supposons que D est un sous-ensemble ouvert borné connexe de Rn. Appelez D un domaine standard s'il vérifie la propriété suivante: Il existe un sous-ensemble P de ∂D, ouvert en ∂D, dont le complément dans ∂D a Hausdorff (n- 1)-mesurer zéro; et tel que tout point de P possède un vecteur normal généralisé. C'est un vecteur v(X) tel que, si un système de coordonnées est choisi tel que v(X) est le premier vecteur de base, alors, dans un voisinage ouvert autour de x, il existe une fonction lisse f(x2, ..., xn) tel que P est le graphe { x1 = f(x2, ..., xn) } et D est la région {x1 : x1 < f(x2, ..., xn) }. Whitney remarks that the boundary of a standard domain is the union of a set of zero Hausdorff (n − 1)-measure and a finite or countable union of smooth (n − 1)-manifolds, each of which has the domain on only one side. He then proves that if D is a standard domain in Rn, ω is an (n − 1)-form which is defined, continuous, and bounded on D ∪ P, smooth on D, integrable on P, and such that dω is integrable on D, then Stokes' theorem holds, that is, {displaystyle int _{P}omega =int _{D}domega ,.} The study of measure-theoretic properties of rough sets leads to geometric measure theory. Even more general versions of Stokes' theorem have been proved by Federer and by Harrison.[16] Special cases The general form of the Stokes theorem using differential forms is more powerful and easier to use than the special cases. The traditional versions can be formulated using Cartesian coordinates without the machinery of differential geometry, and thus are more accessible. Further, they are older and their names are more familiar as a result. The traditional forms are often considered more convenient by practicing scientists and engineers but the non-naturalness of the traditional formulation becomes apparent when using other coordinate systems, even familiar ones like spherical or cylindrical coordinates. There is potential for confusion in the way names are applied, and the use of dual formulations. Classical (vector calculus) case Main article: Stokes' theorem An illustration of the vector-calculus Stokes theorem, with surface Σ, its boundary ∂Σ and the "normal" vector n. This is a (dualized) (1 + 1)-dimensional case, for a 1-form (dualized because it is a statement about vector fields). This special case is often just referred to as Stokes' theorem in many introductory university vector calculus courses and is used in physics and engineering. It is also sometimes known as the curl theorem. The classical Stokes' theorem relates the surface integral of the curl of a vector field over a surface Σ in Euclidean three-space to the line integral of the vector field over its boundary. It is a special case of the general Stokes theorem (with n = 2) once we identify a vector field with a 1-form using the metric on Euclidean 3-space. The curve of the line integral, ∂Σ, must have positive orientation, meaning that ∂Σ points counterclockwise when the surface normal, n, points toward the viewer. One consequence of this theorem is that the field lines of a vector field with zero curl cannot be closed contours. The formula can be rewritten as: Theorem — Suppose F = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) is defined in a region with smooth surface Σ and has continuous first-order partial derivatives. Then {displaystyle iint _{Sigma }{Biggl (}left({frac {partial R}{partial y}}-{frac {partial Q}{partial z}}right)dy,dz+left({frac {partial P}{partial z}}-{frac {partial R}{partial x}}right)dz,dx+left({frac {partial Q}{partial x}}-{frac {partial P}{partial y}}right)dx,dy{Biggr )}=oint _{partial Sigma }{Big (}P,dx+Q,dy+R,dz{Big )},,} where P, Q, and R are the components of F, and ∂Σ is the boundary of the region Σ. Green's theorem Green's theorem is immediately recognizable as the third integrand of both sides in the integral in terms of P, Q, and R cited above. In electromagnetism Two of the four Maxwell equations involve curls of 3-D vector fields, and their differential and integral forms are related by the special 3-dimensional (vector calculus) case of Stokes' theorem. Caution must be taken to avoid cases with moving boundaries: the partial time derivatives are intended to exclude such cases. If moving boundaries are included, interchange of integration and differentiation introduces terms related to boundary motion not included in the results below (see Differentiation under the integral sign): Name Differential form Integral form (using three-dimensional Stokes theorem plus relativistic invariance, ∫ ∂ / ∂t ... → d / dt ∫ ...) Maxwell–Faraday equation Faraday's law of induction: {displaystyle nabla times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}} {displaystyle {begin{aligned}oint _{C}mathbf {E} cdot dmathbf {l} &=iint _{S}nabla times mathbf {E} cdot dmathbf {A} \&=-iint _{S}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}cdot dmathbf {A} end{aligned}}} (with C and S not necessarily stationary) Ampère's law (with Maxwell's extension): {displaystyle nabla times mathbf {H} =mathbf {J} +{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}} {displaystyle {begin{aligned}oint _{C}mathbf {H} cdot dmathbf {l} &=iint _{S}nabla times mathbf {H} cdot dmathbf {A} \&=iint _{S}mathbf {J} cdot dmathbf {A} +iint _{S}{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}cdot dmathbf {A} end{aligned}}} (with C and S not necessarily stationary) The above listed subset of Maxwell's equations are valid for electromagnetic fields expressed in SI units. In other systems of units, such as CGS or Gaussian units, the scaling factors for the terms differ. For example, in Gaussian units, Faraday's law of induction and Ampère's law take the forms:[17][18] {displaystyle {begin{aligned}nabla times mathbf {E} &=-{frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}},,\nabla times mathbf {H} &={frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}+{frac {4pi }{c}}mathbf {J} ,,end{aligned}}} respectively, where c is the speed of light in vacuum. Divergence theorem Likewise, the divergence theorem {displaystyle int _{mathrm {Vol} }nabla cdot mathbf {F} ,d_{mathrm {Vol} }=oint _{partial operatorname {Vol} }mathbf {F} cdot d{boldsymbol {Sigma }}} is a special case if we identify a vector field with the (n − 1)-form obtained by contracting the vector field with the Euclidean volume form. An application of this is the case F = fc where c is an arbitrary constant vector. Working out the divergence of the product gives {displaystyle mathbf {c} cdot int _{mathrm {Vol} }nabla f,d_{mathrm {Vol} }=mathbf {c} cdot oint _{partial mathrm {Vol} }f,d{boldsymbol {Sigma }},.} Since this holds for all c we find {displaystyle int _{mathrm {Vol} }nabla f,d_{mathrm {Vol} }=oint _{partial mathrm {Vol} }f,d{boldsymbol {Sigma }},.} See also Mathematics portal Chandrasekhar–Wentzel lemma Footnotes ^ For mathematicians this fact is known, therefore the circle is redundant and often omitted. However, one should keep in mind here that in thermodynamics, where frequently expressions as ∮W {dtotalU} appear (wherein the total derivative, see below, should not be confused with the exterior one), the integration path W is a one-dimensional closed line on a much higher-dimensional manifold. That is, in a thermodynamic application, where U is a function of the temperature α1 := T, the volume α2 := V, and the electrical polarization α3 := P of the sample, one has {displaystyle {d_{text{total}}U}=sum _{i=1}^{3}{frac {partial U}{partial alpha _{i}}},dalpha _{i},,} and the circle is really necessary, e.g. if one considers the differential consequences of the integral postulate {displaystyle oint _{W},{d_{text{total}}U},{stackrel {!}{=}},0,.} ^ γ and Γ are both loops, however, Γ is not necessarily a Jordan curve References ^ Physics of Collisional Plasmas – Introduction to | Michel Moisan | Springer. ^ "The Man Who Solved the Market", Gregory Zuckerman, Portfolio November 2019, ASIN: B07P1NNTSD ^ Cartan, Élie (1945). Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques. Paris: Hermann. ^ Katz, Victor J. (1979-01-01). "The History of Stokes' Theorem". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR 2690275. ^ Katz, Victor J. (1999). "5. 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In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William, Baron Rayleigh (eds.). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes. Vol. 5. Cambridge, England: University of Cambridge Press. pp. 320–321. ^ Darrigol, Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford, England. p. 146. ISBN 0198505930. ^ Jump up to: a b Spivak (1965), p. vii, Preface. ^ See: The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with Edward John Routh. See: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M. (ed.). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation. Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. 1. Oxford, England: Clarendon Press. pp. 25–27. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem". ^ Renteln, Paul (2014). Manifolds, Tensors, and Forms. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 158–175. ISBN 9781107324893. ^ Lee, John M. (2013). Introduction to Smooth Manifolds. New York: Springer. p. 481. ISBN 9781441999818. ^ Stewart, James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole. ^ This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (University of Bath, U.K) [1], please refer the [2] ^ "This proof is also same to the proof shown in". ^ Whitney, Geometric Integration Theory, III.14. ^ Harrison, J. (October 1993). "Stokes' theorem for nonsmooth chains". Bulletin of the American Mathematical Society. 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External links Media related to Stokes' theorem at Wikimedia Commons "Stokes formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu – an expository explanation show vte Calculus Categories: Differential topologyDifferential formsDuality theoriesIntegration on manifoldsTheorems in calculusTheorems in differential geometry