Verallgemeinerter Satz von Stokes

Verallgemeinerter Satz von Stokes (Umgeleitet vom Satz von Stokes) Zur Navigation springen Zur Suche springen In diesem Artikel geht es um den verallgemeinerten Satz. Für den klassischen Satz, siehe Satz von Stokes. Für die Gleichung, die den viskosen Widerstand in Flüssigkeiten bestimmt, siehe Stokessches Gesetz. Part of a series of articles about Calculus Fundamental theorem Leibniz integral rule Limits of functionsContinuity Mean value theoremRolle's theorem show Differential show Integral show Series hide Vector GradientDivergenceCurlLaplacianDirectional derivativeIdentities Theorems GradientGreen'sStokes'Divergencegeneralized Stokes show Multivariable show Advanced show Specialized show Miscellaneous vte In vector calculus and differential geometry the generalized Stokes theorem (manchmal mit Apostroph als Theorem von Stokes oder Theorem von Stokes), auch Stokes-Cartan-Theorem genannt,[1] ist eine Aussage über die Integration von Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten, was mehrere Sätze aus der Vektorrechnung sowohl vereinfacht als auch verallgemeinert. Es ist eine Verallgemeinerung von Isaac Newtons fundamentalem Theorem der Analysis, das zweidimensionale Linienintegrale mit dreidimensionalen Oberflächenintegralen in Beziehung setzt.[2] Der Satz von Stokes besagt, dass das Integral eines Differentials ω über der Grenze bildet {Displaystyle teilweise Omega } einer orientierbaren Mannigfaltigkeit Ω ist gleich dem Integral ihrer äußeren Ableitung dω über ganz Ω, d.h., {Anzeigestil int _{partielles Omega }omega = int _{Omega }domega ,.} Der Satz von Stokes wurde in seiner modernen Form von Élie Cartan in formuliert 1945,[3] nach früheren Arbeiten zur Verallgemeinerung der Sätze der Vektorrechnung von Vito Volterra, Edouard Goursat, und Henri Poincaré.[4][5] Diese moderne Form des Satzes von Stokes ist eine umfassende Verallgemeinerung eines klassischen Ergebnisses, das Lord Kelvin George Stokes in einem Brief vom Juli mitteilte 2, 1850.[6][7][8] Stokes stellt den Satz als Frage an die 1854 Smith's Prize-Prüfung, was zu dem Ergebnis führte, das seinen Namen trägt. Es wurde erstmals von Hermann Hankel in veröffentlicht 1861.[8][9] Dieser klassische Fall bezieht das Oberflächenintegral der Rotation eines Vektorfeldes F über eine Oberfläche (das ist, der Lockenfluss F) im euklidischen Dreiraum zum Linienintegral des Vektorfeldes über den Flächenrand (auch Schleifenintegral genannt).

Klassische Verallgemeinerungen des Fundamentalsatzes der Analysis wie der Divergenzsatz, und der Satz von Green aus der Vektorrechnung sind Spezialfälle der oben angegebenen allgemeinen Formulierung, nachdem eine Standardidentifikation von Vektorfeldern mit Differentialformen vorgenommen wurde (unterschiedlich für jeden der klassischen Theoreme).

Inhalt 1 Einführung 2 Formulierung für glatte Mannigfaltigkeiten mit Rand 3 Topologische Vorarbeiten; Integration über Ketten 4 Zugrundeliegendes Prinzip 5 Beispiel für eine klassische Vektoranalyse 6 Verallgemeinerung auf grobe Mengen 7 Spezialfälle 7.1 Klassisch (Vektorrechnung) Fall 7.2 Satz von Green 7.2.1 Im Elektromagnetismus 7.3 Divergenzsatz 8 Siehe auch 9 Fußnoten 10 Verweise 11 Weiterlesen 12 External links Introduction The second fundamental theorem of calculus states that the integral of a function f over the interval [a, b] can be calculated by finding an antiderivative F of f: {Anzeigestil int _{a}^{b}f(x),dx=F(b)-F(a),.} Der Satz von Stokes ist eine weitreichende Verallgemeinerung dieses Satzes im folgenden Sinne.

Durch die Wahl von F, dF / dx = f(x). Im Sprachgebrauch der Differentialformen, das heißt, dass f(x) dx ist die äußere Ableitung der 0-Form, d.h. Funktion, F: mit anderen Worten, dass dF = f dx. Der allgemeine Satz von Stokes gilt für höhere Differentialformen ω statt nur für 0-Formen wie F. Ein geschlossenes Intervall [a, b] ist ein einfaches Beispiel einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit mit Rand. Ihr Rand ist die Menge, die aus den beiden Punkten a und b besteht. Das Integrieren von f über das Intervall kann verallgemeinert werden, um Formen auf einer höherdimensionalen Mannigfaltigkeit zu integrieren. Zwei technische Voraussetzungen sind erforderlich: Der Verteiler muss orientierbar sein, und die Form muss kompakt unterstützt werden, um ein wohldefiniertes Integral zu geben. Die beiden Punkte a und b bilden die Grenze des geschlossenen Intervalls. Allgemeiner, Der Satz von Stokes gilt für orientierte Mannigfaltigkeiten M mit Rand. Der Rand ∂M von M ist selbst eine Mannigfaltigkeit und erbt eine natürliche Orientierung von der von M. Zum Beispiel, die natürliche Ausrichtung des Intervalls ergibt eine Ausrichtung der beiden Grenzpunkte. Intuitiv, a erbt die entgegengesetzte Orientierung wie b, da sie sich an entgegengesetzten Enden des Intervalls befinden. So, "integrieren" F über zwei Randpunkten a, b nimmt die Differenz F(b) −F(a).

Noch einfacher ausgedrückt, man kann die Punkte als Grenzen von Kurven betrachten, das heißt als 0-dimensionale Grenzen von 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. So, genauso wie man den Wert eines Integrals finden kann (fdx = dF) über einer 1-dimensionalen Mannigfaltigkeit ([a, b]) durch Berücksichtigung der Stammfunktion (F) an den 0-dimensionalen Grenzen ({a, b}), man kann den Fundamentalsatz der Analysis verallgemeinern, mit ein paar zusätzlichen Vorbehalten, sich mit dem Wert von Integralen auseinandersetzen (dω) über n-dimensionale Mannigfaltigkeiten (Oh) durch Berücksichtigung der Stammfunktion (oh) Bei der (n- 1)-dimensionale Grenzen (∂Ω) des Verteilers.

Also lautet der Fundamentalsatz: {Anzeigestil int _{[a,b]}f(x),dx=int _{[a,b]},dF=int _{teilweise [a,b]},F=int _{{a}^{-}Tasse {b}^{+}}F=F(b)-F(a),.} Formulation for smooth manifolds with boundary Let Ω be an oriented smooth manifold with boundary of dimension n and let α be a smooth n-differential form that is compactly supported on Ω. Zuerst, nehmen wir an, dass α im Bereich von Eins kompakt unterstützt wird, orientiertes Koordinatendiagramm {U, Phi}. In diesem Fall, wir definieren das Integral von α über Ω als {Anzeigestil int _{Omega }alpha = int _{Varphi (U)}(Varphi ^{-1})^{*}Alpha ,,} d.h., über den Pullback von α auf Rn.

Allgemeiner, das Integral von α über Ω ist wie folgt definiert: Lassen {ψi} sei eine Partition der Einheit, die einer lokal endlichen Abdeckung zugeordnet ist {Ui, ich} von (konsequent orientiert) Koordinatendiagramme, definiere dann das Integral {Anzeigestil int _{Omega }Alpha-Äquivalentsumme _{ich}int _{U_{ich}}psi _{ich}Alpha ,,} wobei jeder Term in der Summe ausgewertet wird, indem wie oben beschrieben zu Rn zurückgezogen wird. Diese Größe ist wohldefiniert; das ist, es kommt nicht auf die Wahl der Koordinatenkarten an, noch die Teilung der Einheit.

Der verallgemeinerte Satz von Stokes lautet: Satz (Stokes-Cartan) — Let {Anzeigestil Omega } sei glatt {Anzeigestil (n-1)} -Form mit kompakter Unterstützung auf einer orientierten, {Anzeigestil n} -dimensionale Mannigfaltigkeit-mit-Grenze {Anzeigestil M} , wo {Displaystil teilweise M} erhält die induzierte Orientierung. Dann {Anzeigestil int _{M}domega =int _{teilweise m}Omega .} Hier {Anzeigestil d} ist die äußere Ableitung, die nur unter Verwendung der Verteilerstruktur definiert ist. Die rechte Seite wird manchmal geschrieben als {textstyle oint _{partielles Omega }Omega } die Tatsache zu betonen, dass die {Anzeigestil (n-1)} -vielfältig {Displaystyle teilweise Omega } hat keine Grenze.[Hinweis 1] (Diese Tatsache ist auch eine Implikation des Satzes von Stokes, da für eine gegebene glatte {Anzeigestil n} -dimensionale Mannigfaltigkeit {Anzeigestil Omega } , zweimalige Anwendung des Satzes ergibt {textstyle int _{teilweise (partielles Omega )}omega = int _{Omega }d(domega )=0} für alle {Anzeigestil (n-2)} -bilden {Anzeigestil Omega } , was das impliziert {Anzeigestil teilweise (partielles Omega )= leerer Satz } .) Die rechte Seite der Gleichung wird oft verwendet, um Integralgesetze zu formulieren; die linke Seite führt dann zu äquivalenten Differentialformulierungen (siehe unten).

Der Satz wird oft in Situationen verwendet, in denen {Anzeigestil Omega } ist eine eingebettete orientierte Untermannigfaltigkeit einer größeren Mannigfaltigkeit, häufig {Anzeigestil mathbf {R} ^{k}} , auf dem das Formular {Anzeigestil Omega } ist definiert.

Topologische Vorarbeiten; integration over chains Let M be a smooth manifold. EIN (glatt) Der singuläre k-Simplex in M ​​ist als glatte Abbildung vom Standard-Simplex in Rk auf M definiert. Die Gruppe Ck(M, Z) von singulären k-Ketten auf M ist definiert als die freie abelsche Gruppe auf der Menge von singulären k-Simplices in M. Diese Gruppen, zusammen mit der Grenzkarte, ∂, Definiere einen Kettenkomplex. Die entsprechende Homologie (bzw. Kohomologie) Gruppe ist isomorph zur üblichen singulären Homologiegruppe Hk(M, Z) (bzw. die singuläre Kohomologiegruppe Hk(M, Z)), definiert unter Verwendung von stetigen statt glatten Simplizes in M.

Auf der anderen Seite, die Differentialformen, mit äußerer Ableitung, d, als verbindende Karte, bilden einen Cochain-Komplex, die die de Rham-Kohomologiegruppen definiert {Anzeigestil H_{DR}^{k}(M,mathbf {R} )} .

Differentielle k-Formen können auf natürliche Weise über einen k-Simplex integriert werden, durch Zurückziehen nach Rk. Das Erweitern um Linearität ermöglicht es, über Ketten zu integrieren. Dies ergibt eine lineare Abbildung vom Raum der k-Formen zur k-ten Gruppe singulärer Koketten, Ck(M, Z), die linearen Funktionale auf Ck(M, Z). Mit anderen Worten, eine k-Form ω definiert ein Funktional {Anzeigestil I(Omega )(c)=Punkt _{c}Omega .} an den k-Ketten. Der Satz von Stokes besagt, dass dies eine Kettenabbildung von der de Rham-Kohomologie zur singulären Kohomologie mit reellen Koeffizienten ist; die äußere Ableitung, d, verhält sich wie das Dual von ∂ auf Formen. Dies ergibt einen Homomorphismus von der de Rham-Kohomologie zur singulären Kohomologie. Auf der Ebene der Formulare, das heisst: geschlossene Formen, d.h., dω = 0, Nullintegral über Grenzen haben, d.h. über Mannigfaltigkeiten, die als ∂Σc Mc geschrieben werden können, und exakte Formen, d.h., ω = dσ, Nullintegral über Zyklen haben, d.h. wenn die Grenzen die leere Menge ergeben: Σc Mc = ∅.

Der Satz von de Rham zeigt, dass dieser Homomorphismus tatsächlich ein Isomorphismus ist. Also das Gegenteil zu 1 und 2 oben gelten. Mit anderen Worten, wenn {ci} sind Zyklen, die die k-te Homologiegruppe erzeugen, dann für entsprechende reelle Zahlen, {ai} , Es gibt eine geschlossene Form, oh, so dass {Anzeigestil gesalbt_{c_{ich}}omega =a_{ich},,} und diese Form ist einzigartig bis auf exakte Formen.

Der Satz von Stokes über glatte Mannigfaltigkeiten kann aus dem Satz von Stokes für Ketten in glatten Mannigfaltigkeiten abgeleitet werden, und umgekehrt.[10] Formal erklärt, letzteres lautet:[11] Satz (Satz von Stokes für Ketten) — If c is a smooth k-chain in a smooth manifold M, und ω ist glatt (k- 1)-Form auf M, dann {Anzeigestil int _{teilweise c}omega = int _{c}domega .} Underlying principle To simplify these topological arguments, Es lohnt sich, das zugrunde liegende Prinzip anhand eines Beispiels für d = zu untersuchen 2 Maße. Die Grundidee kann durch das Diagramm auf der linken Seite verstanden werden, was das zeigt, in einer orientierten Kachelung eines Verteilers, die inneren Pfade werden in entgegengesetzten Richtungen durchlaufen; ihre Beiträge zum Pfadintegral heben sich also paarweise auf. Als Konsequenz, nur der Beitrag von der Grenze bleibt. Es genügt also, den Satz von Stokes für hinreichend feine Kacheln zu beweisen (oder, gleichwertig, einfach), was normalerweise nicht schwierig ist.

Classical vector analysis example Let γ: [a, b] → R2 sei eine stückweise glatte Kurve der Jordan-Ebene. Der Jordan-Kurvensatz impliziert, dass γ R2 in zwei Komponenten teilt, eine kompakte und eine andere, die nicht kompakt ist. Bezeichne D den kompakten Teil, der durch γ begrenzt ist, und nehme ψ an: D → R3 ist glatt, with S := p(D). Wenn Γ die durch Γ definierte Raumkurve ist(t) = p(c(t))[Hinweis 2] und F ist ein glattes Vektorfeld auf R3, dann:[12][13][14] {Anzeigestil gesalbt_{Gamma }mathbf {F} ,cdot ,d{mathbf {Gamma } }=int _{S}links(nabla mal mathbf {F} Rechts)cdot ,dmathbf {S} } Diese klassische Aussage, Ein Sonderfall der allgemeinen Formulierung ist nach der Identifikation des Vektorfeldes mit einer 1-Form und seiner Kräuselung mit einer Zwei-Form durch {Anzeigestil {Start{pMatrix}F_{x}\F_{j}\F_{z}\Ende{pMatrix}}cdot dGamma zu F_{x},dx+F_{j},du+F_{z},dz} {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&nabla times {Start{pMatrix}F_{x}\F_{j}\F_{z}Ende{pMatrix}}cdot dmathbf {S} ={Start{pMatrix}teilweise _{j}F_{z}-teilweise _{z}F_{j}\teilweise _{z}F_{x}-teilweise _{x}F_{z}\teilweise _{x}F_{j}-teilweise _{j}F_{x}\Ende{pMatrix}}cdot dmathbf {S} zu \[1.4ex]&d(F_{x},dx+F_{j},du+F_{z},dz)=links(teilweise _{j}F_{z}-teilweise _{z}F_{j}Rechts)dywedge dz+links(teilweise _{z}F_{x}-teilweise _{x}F_{z}Rechts)dzwedge dx+links(teilweise _{x}F_{j}-teilweise _{j}F_{x}Rechts)dxwedge dy.end{ausgerichtet}}} Verallgemeinerung auf grobe Mengen A-Region (hier D statt Ω genannt) mit stückweise glatter Grenze. Dies ist ein Verteiler mit Ecken, seine Grenze ist also keine glatte Mannigfaltigkeit.

Die obige Formulierung, wobei Ω eine glatte Mannigfaltigkeit mit Rand ist, reicht für viele Anwendungen nicht aus. Zum Beispiel, wenn der Integrationsbereich als der ebene Bereich zwischen zwei x-Koordinaten und den Graphen zweier Funktionen definiert ist, es kommt oft vor, dass die Domain Ecken hat. In einem solchen Fall, die Eckpunkte bedeuten, dass Ω keine glatte Mannigfaltigkeit mit Rand ist, und somit gilt die obige Aussage des Satzes von Stokes nicht. Nichtsdestotrotz, Es ist möglich zu überprüfen, ob die Schlussfolgerung des Satzes von Stokes immer noch wahr ist. Dies liegt daran, dass sich Ω und seine Grenze abseits einer kleinen Menge von Punkten gut verhalten (ein Maß Null gesetzt).

Eine Version des Satzes von Stokes, die Rauheit zulässt, wurde von Whitney bewiesen.[15] Angenommen, D sei eine zusammenhängende beschränkte offene Teilmenge von Rn. Nennen Sie D eine Standarddomäne, wenn sie die folgende Eigenschaft erfüllt: Es existiert eine Teilmenge P von ∂D, offen in ∂D, dessen Komplement in ∂D Hausdorff hat (n- 1)-Null messen; und so, dass jeder Punkt von P einen verallgemeinerten Normalenvektor hat. Dies ist ein Vektor v(x) so dass, wenn ein Koordinatensystem so gewählt wird, dass v(x) ist der erste Basisvektor, dann, in einer offenen Umgebung um x, es gibt eine glatte Funktion f(x2, ..., xn) so dass P der Graph ist { x1 = f(x2, ..., xn) } und D ist die Region {x1 : x1 < f(x2, ..., xn) }. Whitney remarks that the boundary of a standard domain is the union of a set of zero Hausdorff (n − 1)-measure and a finite or countable union of smooth (n − 1)-manifolds, each of which has the domain on only one side. He then proves that if D is a standard domain in Rn, ω is an (n − 1)-form which is defined, continuous, and bounded on D ∪ P, smooth on D, integrable on P, and such that dω is integrable on D, then Stokes' theorem holds, that is, {displaystyle int _{P}omega =int _{D}domega ,.} The study of measure-theoretic properties of rough sets leads to geometric measure theory. Even more general versions of Stokes' theorem have been proved by Federer and by Harrison.[16] Special cases The general form of the Stokes theorem using differential forms is more powerful and easier to use than the special cases. The traditional versions can be formulated using Cartesian coordinates without the machinery of differential geometry, and thus are more accessible. Further, they are older and their names are more familiar as a result. The traditional forms are often considered more convenient by practicing scientists and engineers but the non-naturalness of the traditional formulation becomes apparent when using other coordinate systems, even familiar ones like spherical or cylindrical coordinates. There is potential for confusion in the way names are applied, and the use of dual formulations. Classical (vector calculus) case Main article: Stokes' theorem An illustration of the vector-calculus Stokes theorem, with surface Σ, its boundary ∂Σ and the "normal" vector n. This is a (dualized) (1 + 1)-dimensional case, for a 1-form (dualized because it is a statement about vector fields). This special case is often just referred to as Stokes' theorem in many introductory university vector calculus courses and is used in physics and engineering. It is also sometimes known as the curl theorem. The classical Stokes' theorem relates the surface integral of the curl of a vector field over a surface Σ in Euclidean three-space to the line integral of the vector field over its boundary. It is a special case of the general Stokes theorem (with n = 2) once we identify a vector field with a 1-form using the metric on Euclidean 3-space. The curve of the line integral, ∂Σ, must have positive orientation, meaning that ∂Σ points counterclockwise when the surface normal, n, points toward the viewer. One consequence of this theorem is that the field lines of a vector field with zero curl cannot be closed contours. The formula can be rewritten as: Theorem — Suppose F = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) is defined in a region with smooth surface Σ and has continuous first-order partial derivatives. Then {displaystyle iint _{Sigma }{Biggl (}left({frac {partial R}{partial y}}-{frac {partial Q}{partial z}}right)dy,dz+left({frac {partial P}{partial z}}-{frac {partial R}{partial x}}right)dz,dx+left({frac {partial Q}{partial x}}-{frac {partial P}{partial y}}right)dx,dy{Biggr )}=oint _{partial Sigma }{Big (}P,dx+Q,dy+R,dz{Big )},,} where P, Q, and R are the components of F, and ∂Σ is the boundary of the region Σ. Green's theorem Green's theorem is immediately recognizable as the third integrand of both sides in the integral in terms of P, Q, and R cited above. In electromagnetism Two of the four Maxwell equations involve curls of 3-D vector fields, and their differential and integral forms are related by the special 3-dimensional (vector calculus) case of Stokes' theorem. Caution must be taken to avoid cases with moving boundaries: the partial time derivatives are intended to exclude such cases. If moving boundaries are included, interchange of integration and differentiation introduces terms related to boundary motion not included in the results below (see Differentiation under the integral sign): Name Differential form Integral form (using three-dimensional Stokes theorem plus relativistic invariance, ∫ ∂ / ∂t ... → d / dt ∫ ...) Maxwell–Faraday equation Faraday's law of induction: {displaystyle nabla times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}} {displaystyle {begin{aligned}oint _{C}mathbf {E} cdot dmathbf {l} &=iint _{S}nabla times mathbf {E} cdot dmathbf {A} \&=-iint _{S}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}cdot dmathbf {A} end{aligned}}} (with C and S not necessarily stationary) Ampère's law (with Maxwell's extension): {displaystyle nabla times mathbf {H} =mathbf {J} +{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}} {displaystyle {begin{aligned}oint _{C}mathbf {H} cdot dmathbf {l} &=iint _{S}nabla times mathbf {H} cdot dmathbf {A} \&=iint _{S}mathbf {J} cdot dmathbf {A} +iint _{S}{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}cdot dmathbf {A} end{aligned}}} (with C and S not necessarily stationary) The above listed subset of Maxwell's equations are valid for electromagnetic fields expressed in SI units. In other systems of units, such as CGS or Gaussian units, the scaling factors for the terms differ. For example, in Gaussian units, Faraday's law of induction and Ampère's law take the forms:[17][18] {displaystyle {begin{aligned}nabla times mathbf {E} &=-{frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}},,\nabla times mathbf {H} &={frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}+{frac {4pi }{c}}mathbf {J} ,,end{aligned}}} respectively, where c is the speed of light in vacuum. Divergence theorem Likewise, the divergence theorem {displaystyle int _{mathrm {Vol} }nabla cdot mathbf {F} ,d_{mathrm {Vol} }=oint _{partial operatorname {Vol} }mathbf {F} cdot d{boldsymbol {Sigma }}} is a special case if we identify a vector field with the (n − 1)-form obtained by contracting the vector field with the Euclidean volume form. An application of this is the case F = fc where c is an arbitrary constant vector. Working out the divergence of the product gives {displaystyle mathbf {c} cdot int _{mathrm {Vol} }nabla f,d_{mathrm {Vol} }=mathbf {c} cdot oint _{partial mathrm {Vol} }f,d{boldsymbol {Sigma }},.} Since this holds for all c we find {displaystyle int _{mathrm {Vol} }nabla f,d_{mathrm {Vol} }=oint _{partial mathrm {Vol} }f,d{boldsymbol {Sigma }},.} See also Mathematics portal Chandrasekhar–Wentzel lemma Footnotes ^ For mathematicians this fact is known, therefore the circle is redundant and often omitted. However, one should keep in mind here that in thermodynamics, where frequently expressions as ∮W {dtotalU} appear (wherein the total derivative, see below, should not be confused with the exterior one), the integration path W is a one-dimensional closed line on a much higher-dimensional manifold. That is, in a thermodynamic application, where U is a function of the temperature α1 := T, the volume α2 := V, and the electrical polarization α3 := P of the sample, one has {displaystyle {d_{text{total}}U}=sum _{i=1}^{3}{frac {partial U}{partial alpha _{i}}},dalpha _{i},,} and the circle is really necessary, e.g. if one considers the differential consequences of the integral postulate {displaystyle oint _{W},{d_{text{total}}U},{stackrel {!}{=}},0,.} ^ γ and Γ are both loops, however, Γ is not necessarily a Jordan curve References ^ Physics of Collisional Plasmas – Introduction to | Michel Moisan | Springer. ^ "The Man Who Solved the Market", Gregory Zuckerman, Portfolio November 2019, ASIN: B07P1NNTSD ^ Cartan, Élie (1945). Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques. Paris: Hermann. ^ Katz, Victor J. (1979-01-01). "The History of Stokes' Theorem". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR 2690275. ^ Katz, Victor J. (1999). "5. 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In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William, Baron Rayleigh (eds.). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes. Vol. 5. Cambridge, England: University of Cambridge Press. pp. 320–321. ^ Darrigol, Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford, England. p. 146. ISBN 0198505930. ^ Jump up to: a b Spivak (1965), p. vii, Preface. ^ See: The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with Edward John Routh. See: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M. (ed.). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation. Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. 1. Oxford, England: Clarendon Press. pp. 25–27. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem". ^ Renteln, Paul (2014). Manifolds, Tensors, and Forms. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 158–175. ISBN 9781107324893. ^ Lee, John M. (2013). Introduction to Smooth Manifolds. New York: Springer. p. 481. ISBN 9781441999818. ^ Stewart, James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole. ^ This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (University of Bath, U.K) [1], please refer the [2] ^ "This proof is also same to the proof shown in". ^ Whitney, Geometric Integration Theory, III.14. ^ Harrison, J. (October 1993). "Stokes' theorem for nonsmooth chains". Bulletin of the American Mathematical Society. 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External links Media related to Stokes' theorem at Wikimedia Commons "Stokes formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu – an expository explanation show vte Calculus Categories: Differential topologyDifferential formsDuality theoriesIntegration on manifoldsTheorems in calculusTheorems in differential geometry