Teorema di Gauss-Lucas

Teorema di Gauss-Lucas In analisi complessa, una branca della matematica, il teorema di Gauss-Lucas fornisce una relazione geometrica tra le radici di un polinomio P e le radici della sua derivata P′. L'insieme delle radici di un polinomio reale o complesso è un insieme di punti nel piano complesso. Il teorema afferma che le radici di P′ giacciono tutte all'interno dell'involucro convesso delle radici di P, che è il più piccolo poligono convesso contenente le radici di P. Quando P ha un'unica radice allora questo scafo convesso è un singolo punto e quando le radici giacciono su una linea allora lo scafo convesso è un segmento di questa linea. Il teorema di Gauss-Lucas, prende il nome da Carl Friedrich Gauss e Félix Lucas, è simile nello spirito al teorema di Rolle.

Illustrazione del teorema di Gauss-Lucas, che mostra l'evoluzione delle radici delle derivate di un polinomio. Contenuti 1 Dichiarazione formale 2 Casi speciali 3 Prova 4 Guarda anche 5 Appunti 6 Riferimenti 7 Collegamenti esterni Dichiarazione formale Se P è a (non costante) polinomio a coefficienti complessi, tutti gli zeri di P′ appartengono allo scafo convesso dell'insieme di zeri di P.[1] Casi particolari È facile vedere che se P(X) = ax2 + bx + c è un polinomio di secondo grado, lo zero di P′(X) = 2ax + b è la media delle radici di P. In quel caso, lo scafo convesso è il segmento di linea con le due radici come estremi ed è chiaro che la media delle radici è il punto medio del segmento.

Per un polinomio complesso di terzo grado P (funzione cubica) con tre zeri distinti, Il teorema di Marden afferma che gli zeri di P′ sono i fuochi dell'inellisse di Steiner che è l'unica ellisse tangente ai punti medi del triangolo formato dagli zeri di P.

Per un polinomio complesso di quarto grado P (funzione quartica) con quattro zeri distinti che formano un quadrilatero concavo, uno degli zeri di P si trova all'interno del guscio convesso degli altri tre; tutti e tre gli zeri di P′ giacciono in due dei tre triangoli formati dallo zero interno di P e da altri due zeri di P.[2] Inoltre, se un polinomio di grado n di coefficienti reali ha n zeri reali distinti {stile di visualizzazione x_{1}

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