Satz von Gauß-Lucas

Satz von Gauß-Lucas In der komplexen Analyse, ein Zweig der Mathematik, Das Gauß-Lucas-Theorem gibt eine geometrische Beziehung zwischen den Wurzeln eines Polynoms P und den Wurzeln seiner Ableitung P '. Die Menge der Wurzeln eines reellen oder komplexen Polynoms ist eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene. Der Satz besagt, dass die Wurzeln von P′ alle innerhalb der konvexen Hülle der Wurzeln von P liegen, das ist das kleinste konvexe Polygon, das die Wurzeln von P enthält. Wenn P eine einzelne Wurzel hat, dann ist diese konvexe Hülle ein einzelner Punkt, und wenn die Wurzeln auf einer Linie liegen, dann ist die konvexe Hülle ein Segment dieser Linie. Das Gauß-Lucas-Theorem, benannt nach Carl Friedrich Gauß und Félix Lucas, ist im Geiste dem Satz von Rolle ähnlich.

Illustration des Gauß-Lucas-Theorems, Anzeige der Entwicklung der Wurzeln der Ableitungen eines Polynoms. Inhalt 1 Formale Aussage 2 Spezialfälle 3 Nachweisen 4 Siehe auch 5 Anmerkungen 6 Verweise 7 Externe Links Formale Aussage Wenn P a ist (nicht konstant) Polynom mit komplexen Koeffizienten, alle Nullstellen von P′ gehören zur konvexen Hülle der Nullstellenmenge von P.[1] Sonderfälle Es ist leicht einzusehen, dass, wenn P(x) = ax2 + bx + c ist ein Polynom zweiten Grades, die Null von P′(x) = 2x + b ist der Durchschnitt der Wurzeln von P. In diesem Fall, Die konvexe Hülle ist das Liniensegment mit den beiden Wurzeln als Endpunkten, und es ist klar, dass der Durchschnitt der Wurzeln der Mittelpunkt des Segments ist.

Für ein komplexes Polynom dritten Grades P (kubische Funktion) mit drei verschiedenen Nullen, Der Satz von Marden besagt, dass die Nullstellen von P′ die Brennpunkte der Steinerschen Ellipse sind, die die eindeutige Ellipsentangente an die Mittelpunkte des durch die Nullstellen von P gebildeten Dreiecks ist.

Für ein komplexes Polynom vierten Grades P (Quartische Funktion) mit vier verschiedenen Nullen, die ein konkaves Viereck bilden, eine der Nullstellen von P liegt innerhalb der konvexen Hülle der anderen drei; alle drei Nullstellen von P′ liegen in zwei der drei Dreiecke, die durch die innere Nullstelle von P und zwei weitere Nullstellen von P gebildet werden.[2] Zusätzlich, wenn ein Polynom vom Grad n reeller Koeffizienten n verschiedene reelle Nullstellen hat {Anzeigestil x_{1}

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