Théorème de Fuglede

Théorème de Fuglede En mathématiques, Le théorème de Fuglede est un résultat de la théorie des opérateurs, nommé d'après Bent Fuglede.

Contenu 1 Le résultat 2 La généralisation de Putnam 3 C*-algèbres 4 Références Le résultat Théorème (Birded) Soit T et N des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert complexe avec N normal. Si TN = NT, alors TN* = N*T, où N* désigne l'adjoint de N.

La normalité de N est nécessaire, comme on le voit en prenant T=N. Quand T est auto-adjoint, l'affirmation est triviale, que N soit normal ou non: {style d'affichage TN^{*}=(NT)^{*}=(TN)^{*}=N^{*}T} Preuve provisoire: Si l'espace de Hilbert sous-jacent est de dimension finie, le théorème spectral dit que N est de la forme {style d'affichage N=somme _{je}lambda _{je}P_{je}} où Pi sont des projections orthogonales par paires. On s'attend à ce que TN = NT si et seulement si TPi = PiT. En effet, il peut être prouvé qu'il est vrai par des arguments élémentaires (par exemple. on peut montrer que tous les Pi sont représentables comme des polynômes de N et pour cette raison, si T commute avec N, il doit faire la navette avec Pi...). Donc T doit aussi commuter avec {displaystyle N^{*}=somme _{je}{{bar {lambda }}_{je}}P_{je}.} En général, lorsque l'espace de Hilbert n'est pas de dimension finie, l'opérateur normal N donne lieu à une mesure à valeur de projection P sur son spectre, p(N), qui assigne une projection PΩ à chaque sous-ensemble de Borel de σ(N). N peut être exprimé comme {style d'affichage N=int _{sigma (N)}dP lambda(lambda ).} Contrairement au cas de dimension finie, il n'est nullement évident que TN = NT implique TPΩ = PΩT. Ainsi, il n'est pas si évident que T commute aussi avec toute fonction simple de la forme {style d'affichage rho = somme _{je}{bar {lambda }}P_{Oméga _{je}}.} En effet, suite à la construction de la décomposition spectrale pour un borné, Ordinaire, non auto-adjoint, opérateur T, on voit que pour vérifier que T commute avec {style d'affichage P_{Oméga _{je}}} , le moyen le plus simple est de supposer que T commute avec N et N*, créant un cercle vicieux!

C'est la pertinence du théorème de Fuglede: Cette dernière hypothèse n'est pas vraiment nécessaire.

Généralisation de Putnam Ce qui suit contient le résultat de Fuglede comme cas particulier. La preuve de Rosenblum illustrée ci-dessous est juste celle présentée par Fuglede pour son théorème en supposant que N = M.

Théorème (CalvinRichard Putnam)[1] Soit T, M, N être des opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert complexe, et supposons que M et N sont normaux, T est borné et MT = TN. Alors M*T = TN*.

Première preuve (Marvin Rosenblum): Par induction, l'hypothèse implique que MkT = TNk pour tout k. Ainsi pour tout λ dans {style d'affichage mathbb {C} } , {style d'affichage e^{{bar {lambda }}M}T=Le^{{bar {lambda }}N}.} Considérez la fonction {style d'affichage F(lambda )=e^{lambda M^{*}}Le^{-lambda N^{*}}.} Ceci est égal à {style d'affichage e^{lambda M^{*}}la gauche[e ^{-{bar {lambda }}M}Le^{{bar {lambda }}N}droit]e ^{-lambda N^{*}}=U(lambda )la télé(lambda )^{-1},} où {style d'affichage U(lambda )=e^{lambda M^{*}-{bar {lambda }}M}} car {style d'affichage M} Est normal, et de même {style d'affichage V(lambda )=e^{lambda N^{*}-{bar {lambda }}N}} . Cependant nous avons {style d'affichage U(lambda )^{*}=e^{{bar {lambda }}M-lambda M^{*}}=U(lambda )^{-1}} donc U est unitaire, et donc de norme 1 pour tout λ; il en est de même pour V(je), alors {style d'affichage |F(lambda )|leq |J| pour tous les lambda .} Donc F est une fonction vectorielle analytique bornée, et est donc constant, et égal à F(0) =T. Considérant les termes du premier ordre dans le développement pour petit λ, on doit avoir M*T = TN*.

L'article original de Fuglede est paru dans 1950; il a été étendu à la forme donnée ci-dessus par Putnam dans 1951.[1] La courte preuve donnée ci-dessus a été publiée pour la première fois par Rosenblum dans 1958; c'est très élégant, mais est moins général que la preuve originale qui considérait également le cas des opérateurs non bornés. Une autre preuve simple du théorème de Putnam est la suivante: Deuxième preuve: Considérez les matrices {style d'affichage T'={commencer{bmatrice}0&0\T&0end{bmatrice}}quad {texte{et}}quad N'={commencer{bmatrice}N&0\0&Mend{bmatrice}}.} L'opérateur N' est normal et, par hypothèse, T' N' = N' T' . Par le théorème de Fuglede, on a {style d'affichage T'(N')^{*}=(N')^{*}T'.} La comparaison des entrées donne alors le résultat souhaité.

De la généralisation de Putnam, on peut déduire ce qui suit: Corollaire Si deux opérateurs normaux M et N sont semblables, alors ils sont unitairement équivalents.

Preuve: Supposons MS = SN où S est un opérateur inversible borné. Le résultat de Putnam implique M*S = SN*, c'est à dire.

{style d'affichage S^{-1}M^{*}S=N^{*}.} Prenons l'adjoint de l'équation ci-dessus et nous avons {style d'affichage S^{*}M(S^{-1})^{*}=N.} Alors {style d'affichage S^{*}M(S^{-1})^{*}=S^{-1}MSquad Rightarrow quad SS^{*}M(SS^{*})^{-1}=M.} Soit S*=VR, avec V un unitaire (puisque S est inversible) et R la racine carrée positive de SS*. Comme R est une limite de polynômes sur SS*, ce qui précède implique que R commute avec M. Il est aussi inversible. Alors {style d'affichage N=S^{*}M(S^{*})^{-1}=VRMR^{-1}V^{*}=VMV^{*}.} Corollaire Si M et N sont des opérateurs normaux, et MN = NM, alors MN est aussi normal.

Preuve: L'argument invoque uniquement le théorème de Fuglede. On peut calculer directement {style d'affichage (MN)(MN)^{*}=MN(NM)^{*}=MNM^{*}N^{*}.} Ville de Fuglede, ce qui précède devient {style d'affichage =MM^{*}NN^{*}=M^{*}MN^{*}N} Mais M et N sont normaux, alors {style d'affichage =M^{*}N^{*}MN=(MN)^{*}MN.} C*-algèbres Le théorème peut être reformulé comme une déclaration sur les éléments des C*-algèbres.

Théorème (Oiseau-Putnam-Rosenblum) Soit x, y deux éléments normaux d'une C*-algèbre A et z tels que xz = zy. Alors il s'ensuit que x* z = z y*.

Références ^ Aller à: a b Putnam, C. R. (Avril 1951). "Sur les opérateurs normaux dans l'espace de Hilbert". Journal américain de mathématiques. 73 (2): 357–362. est ce que je:10.2307/2372180. Birded, Courbé. Un théorème de commutativité pour les opérateurs normaux — PNAS Berberian, Sterling K. (1974), Conférences en analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs, Textes d'études supérieures en mathématiques, volume. 15, New York-Heidelberg-Berlin: Springer Verlag, p. 274, ISBN 0-387-90080-2, M 0417727. Roudine, Walter (1973). Analyse fonctionnelle. Série internationale de mathématiques pures et appliquées. Volume. 25 (Première éd.). New York, New York: McGraw-Hill Sciences/Ingénierie/Maths. ISBN 9780070542259. cacher vte Analyse fonctionnelle (sujets – glossaire) Espaces BanachBesovFréchetHilbertHölderNucléaireOrliczSchwartzSobolevvecteur topologique Propriétés tonneaucomplètedouble (algébrique/topologique)localement convexe réflexif séparable Théorèmes Hahn–Banach Représentation de Riesz graphe fermé principe de délimitation uniforme Kakutani virgule fixeKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Opérateurs adjointlimitécompactHilbert–Schmidtnormalnucléairetraceclasstransposéillimitéunitaire problème de sous-espaceconjecture de MahlerApplicationsespace de Hardythéorie spectrale des équations différentielles ordinairesnoyau de chaleurthéorème d'indexcalcul des variationscalcul fonctionnelopérateur intégralpolynôme de Jonesthéorie des champs quantiques topologiquesgéométrie non commutativehypothèse de Riemanndistribution (ou fonctions généralisées) Sujets avancés propriété d'approximationensemble équilibréThéorie de Choquettopologie faibleDistance de Banach–MazurThéorie de Tomita–Takesaki Catégories: Théorie des opérateursThéorèmes en analyse fonctionnelle