família exponencial

família exponencial (Redirecionado do teorema de Pitman–Koopman–Darmois) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Não confundir com a distribuição exponencial. "Parâmetro natural" redireciona aqui. Para uso deste termo em geometria diferencial, veja Parametrização natural.

Em probabilidade e estatística, uma família exponencial é um conjunto paramétrico de distribuições de probabilidade de uma certa forma, especificado abaixo. Esta forma especial é escolhida por conveniência matemática, com base em algumas propriedades algébricas úteis, bem como para a generalidade, como famílias exponenciais são, em certo sentido, conjuntos muito naturais de distribuições a serem consideradas. O termo classe exponencial às vezes é usado no lugar de "família exponencial",[1] ou o termo mais antigo família Koopman-Darmois. Os termos "distribuição" e "família" são freqüentemente usados ​​livremente: especificamente, uma família exponencial é um conjunto de distribuições, onde a distribuição específica varia com o parâmetro;[uma] Contudo, uma família paramétrica de distribuições é muitas vezes referida como "uma distribuição" (como "a distribuição normal", significado "a família de distribuições normais"), e o conjunto de todas as famílias exponenciais é às vezes vagamente referido como "a" família exponencial. Eles são distintos porque possuem uma variedade de propriedades desejáveis, mais importante, a existência de uma estatística suficiente.

O conceito de famílias exponenciais é creditado a[2] E. J. G. pitman,[3] G. Darmois,[4] e B. O. Koopman[5] em 1935–1936. Famílias exponenciais de distribuições fornecem uma estrutura geral para selecionar uma possível parametrização alternativa de uma família paramétrica de distribuições, em termos de parâmetros naturais, e para definir estatísticas de amostra úteis, chamado de estatísticas suficientes naturais da família.

Conteúdo 1 Definição 1.1 Exemplos de distribuições familiares exponenciais 1.2 Parâmetro escalar 1.3 Fatoração das variáveis ​​envolvidas 1.4 Parâmetro vetorial 1.5 Parâmetro vetorial, variável vetorial 1.6 Formulação teórica de medida 2 Interpretação 3 Propriedades 4 Exemplos 4.1 Distribuição normal: meio desconhecido, variância conhecida 4.2 Distribuição normal: média desconhecida e variância desconhecida 4.3 Distribuição binomial 5 Tabela de distribuições 6 Momentos e cumulantes da estatística suficiente 6.1 Normalização da distribuição 6.2 Função geradora de momento da estatística suficiente 6.2.1 Identidades diferenciais para cumulantes 6.2.2 Exemplo 1 6.2.3 Exemplo 2 6.2.4 Exemplo 3 7 Entropia 7.1 entropia relativa 7.2 Derivação de máxima entropia 8 Função nas estatísticas 8.1 Estimativa clássica: suficiência 8.2 estimativa bayesiana: distribuições conjugadas 8.3 Testando hipóteses: testes uniformemente mais poderosos 8.4 Modelos lineares generalizados 9 Veja também 10 Notas de rodapé 11 Referências 11.1 Citações 11.2 Fontes 12 Leitura adicional 13 Links externos Definição A maioria das distribuições comumente usadas formam uma família exponencial ou um subconjunto de uma família exponencial, listados na subseção abaixo. As subseções a seguir são uma sequência de definições matemáticas cada vez mais gerais de uma família exponencial.. Um leitor casual pode desejar restringir a atenção à primeira e mais simples definição, que corresponde a uma família de parâmetros únicos de distribuições de probabilidade discretas ou contínuas.

Exemplos de distribuições familiares exponenciais As famílias exponenciais incluem muitas das distribuições mais comuns. Entre muitos outros, famílias exponenciais incluem o seguinte: normal exponencial gama qui-quadrado beta Dirichlet Bernoulli categórico Poisson Wishart inverso Wishart geométrico Várias distribuições comuns são famílias exponenciais, mas apenas quando certos parâmetros são fixos e conhecidos. Por exemplo: binômio (com número fixo de tentativas) multinomial (com número fixo de tentativas) binômio negativo (com número fixo de falhas) Observe que em cada caso, os parâmetros que devem ser fixados determinam um limite no tamanho dos valores de observação.

Exemplos de distribuições comuns que não são famílias exponenciais são t de Student, a maioria das distribuições de mistura, e até mesmo a família de distribuições uniformes quando os limites não são fixos. Veja a seção abaixo sobre exemplos para mais discussão.

Parâmetro escalar Uma família exponencial de parâmetro único é um conjunto de distribuições de probabilidade cuja função de densidade de probabilidade (ou função de massa de probabilidade, para o caso de uma distribuição discreta) pode ser expresso na forma {eu}2(xmid teta )=h(x),exp !{eu}1,e (teta )cdot T(x)-UMA(teta ),{eu}0} onde T(x), h(x), o(eu), e A(eu) são funções conhecidas. a função h(x) é claro que deve ser não negativo.

Uma alternativa, forma equivalente frequentemente dada é {símbolo em negrito {chi }9(xmid teta )=h(x),g(teta ),exp !{símbolo em negrito {chi }8,e (teta )cdot T(x),{símbolo em negrito {chi }7} ou equivalente {símbolo em negrito {chi }6(xmid teta )=exp !{símbolo em negrito {chi }5,e (teta )cdot T(x)-UMA(teta )+B(x),{símbolo em negrito {chi }4} O valor θ é chamado de parâmetro da família.

Além disso, o apoio de {símbolo em negrito {chi }3!deixei(xmid teta certo)} (ou seja. o conjunto de todos {símbolo em negrito {chi }2 para qual {símbolo em negrito {chi }1!deixei(xmid teta certo)} é melhor que 0) não depende de {símbolo em negrito {chi }0 .[6] Isso pode ser usado para excluir uma distribuição de família paramétrica de ser uma família exponencial. Por exemplo, a distribuição de Pareto tem um pdf que é definido para {símbolo em negrito {e }9} ( {símbolo em negrito {e }8} sendo o parâmetro de escala) e seu suporte, Portanto, tem um limite inferior de {símbolo em negrito {e }7} . Desde o apoio de {símbolo em negrito {e }6}!(x)} depende do valor do parâmetro, a família de distribuições de Pareto não forma uma família exponencial de distribuições (pelo menos quando {símbolo em negrito {e }5} É desconhecido).

Frequentemente x é um vetor de medidas, nesse caso T(x) pode ser uma função do espaço de valores possíveis de x para os números reais. De forma geral, o(eu) e T(x) cada um pode ter valor vetorial tal que {símbolo em negrito {e }4 tem valor real. No entanto, veja a discussão abaixo sobre parâmetros vetoriais, sobre a família exponencial curva.

Se h(eu) = eu, então diz-se que a família exponencial está na forma canônica. Definindo um parâmetro transformado η = η(eu), sempre é possível converter uma família exponencial para a forma canônica. A forma canônica não é única, desde η(eu) pode ser multiplicado por qualquer constante diferente de zero, desde que T(x) é multiplicado pelo recíproco dessa constante, ou uma constante c pode ser adicionada a η(eu) e h(x) multiplicado por {símbolo em negrito {e }3-ccdot T(x),{símbolo em negrito {e }2} para compensá-lo. No caso especial em que η(eu) = θ e T(x) = x então a família é chamada de família exponencial natural.

Mesmo quando x é um escalar, e há apenas um único parâmetro, as funções η(eu) e T(x) ainda podem ser vetores, como descrito abaixo.

A função A(eu), ou equivalentemente g(eu), é determinado automaticamente uma vez que as outras funções foram escolhidas, uma vez que deve assumir uma forma que faça com que a distribuição seja normalizada (somar ou integrar a um sobre todo o domínio). Além disso, ambas as funções sempre podem ser escritas como funções de η, mesmo quando η(eu) não é uma função um-para-um, ou seja. dois ou mais valores diferentes de θ são mapeados para o mesmo valor de η(eu), e, portanto, η(eu) não pode ser invertido. Nesse caso, todos os valores de θ mapeados para o mesmo η(eu) também terá o mesmo valor para A(eu) e g(eu).

Fatoração das variáveis ​​envolvidas O que é importante observar, e o que caracteriza todas as variantes familiares exponenciais, é esse o parâmetro(s) e a variável de observação(s) deve fatorar (podem ser separados em produtos, cada um dos quais envolve apenas um tipo de variável), diretamente ou dentro de qualquer parte (a base ou expoente) de uma operação de exponenciação. Geralmente, isso significa que todos os fatores que constituem a densidade ou função de massa devem ser de uma das seguintes formas: {símbolo em negrito {e }1,c^{símbolo em negrito {e }0,{[f(x)]}^{não }9,{[g(teta )]}^{não }8,{[f(x)]}^{não }7,{[g(teta )]}^{não }6,{[f(x)]}^{não }5,{não }4}{[g(teta )]}^{não }3,} onde f e h são funções arbitrárias de x; g e j são funções arbitrárias de θ; e c é arbitrário "constante" expressão (ou seja. uma expressão que não envolve x ou θ).

Existem outras restrições sobre quantos desses fatores podem ocorrer. Por exemplo, as duas expressões: {não }2^{não }1,qquad {[f(x)]}^{não }0[g(teta )]^{símbolo em negrito {e }9,} são os mesmos, ou seja. um produto de dois "permitido" fatores. No entanto, quando reescrito na forma fatorada, {símbolo em negrito {e }8^{símbolo em negrito {e }7={[f(x)]}^{símbolo em negrito {e }6[g(teta )]^{símbolo em negrito {e }5=e^{[h(x)registro f(x)]j(teta )+h(x)[j(teta )log g(teta )]},} pode-se ver que não pode ser expresso na forma necessária. (No entanto, uma forma deste tipo é um membro de uma família exponencial curva, que permite múltiplos termos fatorados no expoente.[citação necessária]) Para ver porque uma expressão da forma {símbolo em negrito {e }4^{símbolo em negrito {e }3} qualifica, {símbolo em negrito {e }2^{símbolo em negrito {e }1=e^{símbolo em negrito {e }0} e, portanto, fatoriza dentro do expoente. De forma similar, {rm {T}9^{rm {T}8=e^{rm {T}7=e^{[h(x)registro f(x)]g(teta )}} e novamente fatoriza dentro do expoente.

Um fator que consiste em uma soma onde ambos os tipos de variáveis ​​estão envolvidos (por exemplo. um fator da forma {rm {T}6 ) não pode ser fatorado dessa forma (exceto em alguns casos onde ocorre diretamente em um expoente); isso é por que, por exemplo, a distribuição de Cauchy e a distribuição t de Student não são famílias exponenciais.

Parâmetro vetorial A definição em termos de um parâmetro de número real pode ser estendida para um parâmetro de vetor real {rm {T}5}equiv esquerdo[,teta _{rm {T}4,,teta _{rm {T}3,,ldots ,,teta _{rm {T}2,certo]^{rm {T}1}~.} Diz-se que uma família de distribuições pertence a uma família exponencial vetorial se a função de densidade de probabilidade (ou função de massa de probabilidade, para distribuições discretas) pode ser escrito como {rm {T}0(xmid {símbolo em negrito {chi }9})=h(x),exp esquerda(soma _{símbolo em negrito {chi }8^{símbolo em negrito {chi }7e _{símbolo em negrito {chi }6({símbolo em negrito {chi }5})T_{símbolo em negrito {chi }4(x)-UMA({símbolo em negrito {chi }3})certo)~,} ou de uma forma mais compacta, {símbolo em negrito {chi }2(xmid {símbolo em negrito {chi }1})=h(x),exp {símbolo em negrito {chi }0{símbolo em negrito {e }9}({símbolo em negrito {e }8})cdot mathbf {símbolo em negrito {e }7 (x)-UMA({símbolo em negrito {e }6}){símbolo em negrito {e }5} Este formulário escreve a soma como um produto escalar de funções de valor vetorial {símbolo em negrito {e }4}({símbolo em negrito {e }3})} e {símbolo em negrito {e }2 (x),} .

Uma alternativa, forma equivalente frequentemente vista é {símbolo em negrito {e }1(xmid {símbolo em negrito {e }0})=h(x),g({n}9}),exp {n}8{n}7}({n}6})cdot mathbf {n}5 (x){n}4} Como no caso de valor escalar, diz-se que a família exponencial está na forma canônica se {n}3({n}2})=teta _{n}1quad forall i,.} Uma família exponencial de vetores é dita curvada se a dimensão de {n}0}equiv esquerdo[,teta _{símbolo em negrito {e }9,,teta _{símbolo em negrito {e }8,,ldots ,,teta _{símbolo em negrito {e }7,,certo]^{símbolo em negrito {e }6}} é menor que a dimensão do vetor {símbolo em negrito {e }5}({símbolo em negrito {e }4})equiv esquerdo[,e _{símbolo em negrito {e }3({símbolo em negrito {e }2}),,e _{símbolo em negrito {e }1({símbolo em negrito {e }0}),,ldots ,,e _{rm {T}9({rm {T}8}),certo]^{rm {T}7}~.} Aquilo é, se a dimensão, d, do vetor de parâmetro é menor que o número de funções, s, do vetor de parâmetro na representação acima da função de densidade de probabilidade. As distribuições mais comuns na família exponencial não são curvas, e muitos algoritmos projetados para trabalhar com qualquer família exponencial assumem implícita ou explicitamente que a distribuição não é curva.

Como no caso acima de um parâmetro de valor escalar, a função {rm {T}6})} ou equivalente {rm {T}5})} é determinado automaticamente uma vez que as outras funções foram escolhidas, para que toda a distribuição seja normalizada. Além disso, como acima, ambas as funções sempre podem ser escritas como funções de {rm {T}4}} , independentemente da forma da transformação que gera {rm {T}3}} a partir de {rm {T}2},} . Daí uma família exponencial em sua "forma natural" (parametrizado por seu parâmetro natural) parece {rm {T}1(xmid {rm {T}0})=h(x),exp {i=1}9{i=1}8}cdot mathbf {i=1}7 (x)-UMA({i=1}6}){i=1}5} ou equivalente {i=1}4(xmid {i=1}3})=h(x),g({i=1}2}),exp {i=1}1{i=1}0}cdot mathbf {n}9 (x){n}8} As formas acima podem às vezes ser vistas com {n}7}^{n}6}mathbf {n}5 (x)} no lugar de {n}4}cdot mathbf {n}3 (x),} . Estas são formulações exatamente equivalentes, simplesmente usando uma notação diferente para o produto escalar.

Parâmetro vetorial, variável vetorial A forma do parâmetro vetorial sobre uma única variável aleatória de valor escalar pode ser expandida trivialmente para cobrir uma distribuição conjunta sobre um vetor de variáveis ​​aleatórias. A distribuição resultante é simplesmente a mesma que a distribuição acima para uma variável aleatória de valor escalar com cada ocorrência do escalar x substituída pelo vetor {n}2 = esquerda(x_{n}1,x_{n}0,cdots ,x_{T}9certo)^{T}8}~.} As dimensões k da variável aleatória não precisam corresponder à dimensão d do vetor de parâmetro, nem (no caso de uma função exponencial curva) a dimensão s do parâmetro natural {T}7}} e estatística suficiente T(x) .

A distribuição neste caso é escrita como {T}6!deixei(mathbf {T}5 meio {T}4}certo)=h(mathbf {T}3 ),exp !deixei(,soma _{T}2^{T}1e _{T}0({eu}9})T_{eu}8(mathbf {eu}7 )-UMA({eu}6}),certo)} Ou de forma mais compacta como {eu}5!deixei(,mathbf {eu}4 meio {eu}3},certo)=h(mathbf {eu}2 ),exp !{eu}1,{eu}0}({símbolo em negrito {e }9})cdot mathbf {símbolo em negrito {e }8 (mathbf {símbolo em negrito {e }7 )-UMA({símbolo em negrito {e }6}),{símbolo em negrito {e }5} Ou alternativamente como {símbolo em negrito {e }4!deixei(,mathbf {símbolo em negrito {e }3 meio {símbolo em negrito {e }2},certo)=g({símbolo em negrito {e }1});h(mathbf {símbolo em negrito {e }0 ),exp !{não }9,{não }8}({não }7})cdot mathbf {não }6 (mathbf {não }5 ),{não }4} Formulação teórica de medidas Usamos funções de distribuição cumulativas (CDF) para abranger distribuições discretas e contínuas.

Suponha que H é uma função não decrescente de uma variável real. Então integrais de Lebesgue-Stieltjes em relação a {não }3}H(mathbf {não }2 )} são integrais em relação à medida de referência da família exponencial gerada por H .

Qualquer membro dessa família exponencial tem função de distribuição cumulativa {não }1}voou(,mathbf {não }0 meio {símbolo em negrito {e }9},certo)=exp {símbolo em negrito {e }8,{símbolo em negrito {e }7}(teta )cdot mathbf {símbolo em negrito {e }6 (mathbf {símbolo em negrito {e }5 ),-,UMA({símbolo em negrito {e }4}),{símbolo em negrito {e }3~{símbolo em negrito {e }2}H(mathbf {símbolo em negrito {e }1 )~.} H(x) é um integrador Lebesgue-Stieltjes para a medida de referência. Quando a medida de referência é finita, pode ser normalizado e H é na verdade a função de distribuição cumulativa de uma distribuição de probabilidade. Se F é absolutamente contínua com uma densidade {símbolo em negrito {e }0 em relação a uma medida de referência {rm {T}9}x,} (tipicamente medida de Lebesgue), pode-se escrever {rm {T}8}F(x)=f(x)~{rm {T}7}x,} . Nesse caso, H também é absolutamente contínua e pode ser escrita {rm {T}6}H(x)=h(x),{rm {T}5}x,} então as fórmulas se reduzem às dos parágrafos anteriores. Se F é discreto, então H é uma função degrau (com degraus no apoio de F).

alternativamente, podemos escrever a medida de probabilidade diretamente como {rm {T}4}mathbf {rm {T}3 meio {rm {T}2},certo)=exp {rm {T}1,{rm {T}0}(teta )cdot mathbf {símbolo em negrito {chi }9 (mathbf {símbolo em negrito {chi }8 )-UMA({símbolo em negrito {chi }7}),{símbolo em negrito {chi }6em ({símbolo em negrito {chi }5}mathbf {símbolo em negrito {chi }4 )~.} para alguma medida de referência {símbolo em negrito {chi }3 .

Interpretação Nas definições acima, as funções T(x), o(eu), e A(o) foram aparentemente arbitrariamente definidos. No entanto, essas funções desempenham um papel significativo na distribuição de probabilidade resultante.

T(x) é uma estatística suficiente da distribuição. Para famílias exponenciais, a estatística suficiente é uma função dos dados que contém todas as informações que os dados x fornecem em relação aos valores dos parâmetros desconhecidos. Isso significa que, para quaisquer conjuntos de dados {símbolo em negrito {chi }2 e {símbolo em negrito {chi }1 , a razão de verossimilhança é a mesma, isso é {símbolo em negrito {chi }0)}{símbolo em negrito {e }9)}}={símbolo em negrito {e }8)}{símbolo em negrito {e }7)}}} se T(x) = T(y) . Isso é verdade mesmo que x e y sejam bastante distintos - isto é, ainda que {símbolo em negrito {e }6 . A dimensão de T(x) é igual ao número de parâmetros de θ e engloba todas as informações referentes aos dados relativos ao parâmetro θ. A estatística suficiente de um conjunto de observações independentes de dados identicamente distribuídos é simplesmente a soma das estatísticas suficientes individuais, e encapsula todas as informações necessárias para descrever a distribuição posterior dos parâmetros, dados os dados (e, portanto, derivar qualquer estimativa desejada dos parâmetros). (Esta propriedade importante é discutida mais adiante.) η é chamado de parâmetro natural. O conjunto de valores de η para os quais a função {símbolo em negrito {e }5(x;e )} é integrável é chamado de espaço de parâmetros natural. Pode-se mostrar que o espaço de parâmetros natural é sempre convexo. UMA(o) é chamada de função de partição de log[b] porque é o logaritmo de um fator de normalização, sem o qual {símbolo em negrito {e }4(x;teta )} não seria uma distribuição de probabilidade: {símbolo em negrito {e }3h(x),exp(e (teta )cdot T(x)),matemática {símbolo em negrito {e }2 xdireita)} A função A importante por si só, porque a média, variância e outros momentos da estatística suficiente T(x) pode ser obtido simplesmente diferenciando A(o). Por exemplo, porque registra(x) é um dos componentes da estatística suficiente da distribuição gama, {símbolo em negrito {e }1} [log x]} pode ser facilmente determinado para esta distribuição usando A(o). Tecnicamente, isso é verdade porque {símbolo em negrito {e }0 é a função geradora cumulante da estatística suficiente.

Propriedades As famílias exponenciais possuem um grande número de propriedades que as tornam extremamente úteis para análises estatísticas. Em muitos casos, pode-se mostrar que apenas famílias exponenciais têm essas propriedades. Exemplos: Famílias exponenciais são as únicas famílias com estatísticas suficientes que podem resumir quantidades arbitrárias de dados independentes distribuídos de forma idêntica usando um número fixo de valores. (Teorema de Pitman–Koopman–Darmois) Famílias exponenciais têm prioridades conjugadas, uma propriedade importante em estatísticas bayesianas. A distribuição preditiva posterior de uma variável aleatória de família exponencial com um conjugado anterior sempre pode ser escrita na forma fechada (desde que o próprio fator de normalização da distribuição da família exponencial possa ser escrito na forma fechada).[c] Na aproximação de campo médio em Bayes variacional (usado para aproximar a distribuição posterior em grandes redes bayesianas), a melhor distribuição posterior aproximada de um nó de família exponencial (um nó é uma variável aleatória no contexto de redes bayesianas) com um prior conjugado está na mesma família que o nó.[7] Dada uma família exponencial definida por {agora +n}9(xmid teta )=h(x),exp !{agora +n}8,teta cdot T(x)-UMA(teta ),{agora +n}7} , Onde {agora +n}6 é o espaço de parâmetros, de tal modo que {agora +n}5 ^{agora +n}4} . Então se {agora +n}3 tem interior não vazio em {agora +n}2 ^{agora +n}1} , em seguida, dadas quaisquer amostras IID {agora +n}0,...,X_{símbolo em negrito {e }9sim f_{símbolo em negrito {e }8} , a estatística {símbolo em negrito {e }7,...,X_{símbolo em negrito {e }6):=soma _{símbolo em negrito {e }5^{símbolo em negrito {e }4T(X_{símbolo em negrito {e }3)} é uma estatística completa para {símbolo em negrito {e }2 .[8][9] {símbolo em negrito {e }1 é uma estatística mínima para {símbolo em negrito {e }0 se para todos {rm {T}9,teta _{rm {T}8em Theta } , e {rm {T}7,x_{rm {T}6} no apoio de {rm {T}5 , E se {rm {T}4-teta _{rm {T}3)cdot (T(x_{rm {T}2)-T(x_{rm {T}1))=0} , então {rm {T}0=teta _{símbolo em negrito {chi }9} ou {símbolo em negrito {chi }8=x_{símbolo em negrito {chi }7} .[10] Exemplos É crítico, ao considerar os exemplos nesta seção, lembrar a discussão acima sobre o que significa dizer que um "distribuição" é uma família exponencial, e, em particular, ter em mente que o conjunto de parâmetros que podem variar é crítico para determinar se um "distribuição" é ou não é uma família exponencial.

O normal, exponencial, log-normal, gama, qui-quadrado, beta, Dirichlet, Bernoulli, categórico, Poisson, geométrico, gaussiano inverso, As distribuições de von Mises e von Mises-Fisher são todas famílias exponenciais.

Algumas distribuições são famílias exponenciais apenas se alguns de seus parâmetros forem mantidos fixos. A família de distribuições de Pareto com um limite mínimo fixo xm forma uma família exponencial. As famílias de distribuições binomial e multinomial com número fixo de tentativas n, mas parâmetro de probabilidade desconhecido(s) são famílias exponenciais. A família de distribuições binomiais negativas com número fixo de falhas (também conhecido como. parâmetro de tempo de parada) r é uma família exponencial. No entanto, quando qualquer um dos parâmetros fixos acima mencionados pode variar, a família resultante não é uma família exponencial.

Como acima mencionado, como uma regra geral, o suporte de uma família exponencial deve permanecer o mesmo em todas as configurações de parâmetro da família. É por isso que os casos acima (por exemplo. binômio com número variável de tentativas, Pareto com limite mínimo variável) não são famílias exponenciais — em todos os casos, o parâmetro em questão afeta o suporte (particularmente, alterando o valor mínimo ou máximo possível). Por razões semelhantes, nem a distribuição uniforme discreta nem a distribuição uniforme contínua são famílias exponenciais, pois um ou ambos os limites variam.

A distribuição Weibull com parâmetro de forma fixa k é uma família exponencial. Ao contrário dos exemplos anteriores, o parâmetro de forma não afeta o suporte; o fato de permitir que ele varie torna o Weibull não exponencial se deve mais à forma particular da função de densidade de probabilidade do Weibull (k aparece no expoente de um expoente).

No geral, distribuições que resultam de uma mistura finita ou infinita de outras distribuições, por exemplo. densidades de modelos de mistura e distribuições de probabilidade compostas, não são famílias exponenciais. Exemplos são modelos típicos de mistura gaussiana, bem como muitas distribuições de cauda pesada que resultam da composição (ou seja. misturando infinitamente) uma distribuição com uma distribuição a priori sobre um de seus parâmetros, por exemplo. a distribuição t de Student (composição de uma distribuição normal sobre uma precisão distribuída gama antes), e as distribuições beta-binomial e Dirichlet-multinomial. Outros exemplos de distribuições que não são famílias exponenciais são a distribuição F, distribuição Cauchy, distribuição hipergeométrica e distribuição logística.

A seguir estão alguns exemplos detalhados da representação de alguma distribuição útil como famílias exponenciais.

Distribuição normal: meio desconhecido, variância conhecida Como primeiro exemplo, considere uma variável aleatória distribuída normalmente com média desconhecida μ e variância conhecida σ2. A função de densidade de probabilidade é então {símbolo em negrito {chi }6(x;dentro )={símbolo em negrito {chi }5{símbolo em negrito {chi }4}}}e^{-(x-nós )^{símbolo em negrito {chi }3/(2sigma^{símbolo em negrito {chi }2)}.} Esta é uma família exponencial de parâmetro único, como pode ser visto definindo {símbolo em negrito {chi }1h_{símbolo em negrito {chi }0(x)&={i=1}9{i=1}8}}}e^{-x^{i=1}7/(2sigma^{i=1}6)}\[4pt]T_{i=1}5(x)&={i=1}4{i=1}3}\[4pt]UMA_{i=1}2(dentro )&={i=1}1}{i=1}0}}\[4pt]e _{n}9(dentro )&={n}8{n}7}.fim{n}6}} Se σ = 1 isso está na forma canônica, como então η(m) = m.

Distribuição normal: média desconhecida e variância desconhecida Next, considere o caso de uma distribuição normal com média desconhecida e variância desconhecida. A função de densidade de probabilidade é então {n}5{n}4}}}e^{-(y-in )^{n}3/2sigma^{n}2}.} Esta é uma família exponencial que pode ser escrita na forma canônica definindo {n}1{n}0}&=left[,{T}9{T}8}},~-{T}7{T}6}},certo]\h(y)&={T}5{T}4}}\T(y)&=left(y,^{T}3certo)^{T}2}\UMA({T}1})&={T}0}{eu}9}}+registro |sigma |=-{eu}8^{eu}7}{eu}6}}+{eu}5{eu}4}log à esquerda|{eu}3{eu}2}}certo|fim{eu}1}} Distribuição binomial Como exemplo de uma família exponencial discreta, considere a distribuição binomial com número conhecido de tentativas n. A função de massa de probabilidade para esta distribuição é {eu}0p^{alinhado}9(1-p)^{alinhado}8,quad xin {alinhado}7.} Isso pode ser escrito equivalentemente como {alinhado}6exp esquerda(xlog esquerda({alinhado}5{alinhado}4}certo)+interesse(1-p)certo),} o que mostra que a distribuição binomial é uma família exponencial, cujo parâmetro natural é {alinhado}3{alinhado}2}.} Esta função de p é conhecida como logit.

Tabela de distribuições A tabela a seguir mostra como reescrever várias distribuições comuns como distribuições de família exponencial com parâmetros naturais. Consulte os flashcards[11] para famílias exponenciais principais.

Para uma variável escalar e um parâmetro escalar, o formulário é o seguinte: {alinhado}1(xmid teta )=h(x)exp {alinhado}0e ({estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }9)T(x)-UMA({estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }8){estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }7} Para uma variável escalar e um parâmetro vetorial: {estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }6(xmid {estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }5})=h(x)exp {estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }4{estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }3}({estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }2})cdot mathbf {estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }1 (x)-UMA({estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }0}){X}9} {X}8(xmid {X}7})=h(x)g({X}6})exp {X}5{X}4}({X}3})cdot mathbf {X}2 (x){X}1} Para uma variável de vetor e um parâmetro de vetor: {X}0(mathbf {símbolo em negrito {chi }9 meio {símbolo em negrito {chi }8})=h(mathbf {símbolo em negrito {chi }7 )exp {símbolo em negrito {chi }6{símbolo em negrito {chi }5}({símbolo em negrito {chi }4})cdot mathbf {símbolo em negrito {chi }3 (mathbf {símbolo em negrito {chi }2 )-UMA({símbolo em negrito {chi }1}){símbolo em negrito {chi }0} As fórmulas acima escolhem a forma funcional da família exponencial com uma função de partição logarítmica {pi }9})} . A razão para isso é que os momentos das estatísticas suficientes podem ser calculados facilmente, simplesmente diferenciando esta função. Formas alternativas envolvem a parametrização desta função em termos do parâmetro normal {pi }8}} em vez do parâmetro natural, e/ou usando um fator {pi }7})} fora do exponencial. A relação entre o último e o primeiro é: {pi }6})=-log g({pi }5})} {pi }4})=e^{-UMA({pi }3})}} Para converter entre as representações envolvendo os dois tipos de parâmetro, use as fórmulas abaixo para escrever um tipo de parâmetro em função do outro.

Parâmetro de distribuição(s) {pi }2}} Parâmetro natural(s) {pi }1}} Mapeamento de parâmetro inverso Medida base {pi }0 estatística suficiente {símbolo em negrito {e }9 Log-partição {símbolo em negrito {e }8})} Log-partição {símbolo em negrito {e }7})} distribuição de Bernoulli {símbolo em negrito {e }6 {símbolo em negrito {e }5{símbolo em negrito {e }4}} Esta é a função logit. {símbolo em negrito {e }3{símbolo em negrito {e }2}}={símbolo em negrito {e }1}{símbolo em negrito {e }0}}} Esta é a função logística. {símbolo em negrito {chi }9 {símbolo em negrito {chi }8 {símbolo em negrito {chi }7)} {símbolo em negrito {chi }6 distribuição binomial com número conhecido de tentativas {símbolo em negrito {chi }5 {símbolo em negrito {chi }4 {símbolo em negrito {chi }3{símbolo em negrito {chi }2}} {símbolo em negrito {chi }1{símbolo em negrito {chi }0}}={i=1}9}{i=1}8}}} {i=1}7} {i=1}6 {i=1}5)} {i=1}4 Distribuição de veneno {i=1}3 {i=1}2 {i=1}1} {i=1}0{n}9}} {n}8 {n}7} {n}6 distribuição binomial negativa com número conhecido de falhas {n}5 {n}4 {n}3 {n}2} {n}1} {n}0 {T}9)} {T}8 distribuição exponencial {T}7 {T}6 {T}5 {T}4 {T}3 {T}2 {T}1 Distribuição de Pareto com valor mínimo conhecido {T}0} {eu}9 {eu}8 {eu}7 {eu}6 {eu}5 {eu}4 }} {eu}3 }} Distribuição Weibull com forma conhecida k {eu}2 {eu}1{eu}0}}} {estilo de exibição mathbf {T}9{estilo de exibição mathbf {T}8}}} {estilo de exibição mathbf {T}7} {estilo de exibição mathbf {T}6} {estilo de exibição mathbf {T}5 {estilo de exibição mathbf {T}4 Distribuição de Laplace com média conhecida {estilo de exibição mathbf {T}3 {estilo de exibição mathbf {T}2 {estilo de exibição mathbf {T}1{estilo de exibição mathbf {T}0}} {X}9{X}8}} {X}7 {X}6 {X}5{X}4}certo)} {X}3 distribuição qui-quadrada {X}2 {X}1{X}0}-1} {i=1}9 {i=1}8{i=1}7}}} {i=1}6 {i=1}5 {i=1}4{i=1}3}certo)+{i=1}2{i=1}1}registro 2} variância conhecida da distribuição normal {i=1}0 {n}9{n}8}} {n}7 {n}6}{n}5}}}}{{n}4}sigma }}} {n}3{n}2}} {n}1}{n}0}} {T}9}{T}8}}} distribuição contínua de Bernoulli {T}7 {T}6{T}5}} {T}4}{T}3}}} {T}2 {T}1 {T}0-1}{eu}9}} {eu}8{(1-lambda )log à esquerda({eu}7{eu}6}certo)}}certo)} distribuição normal {eu}5} {eu}4{eu}3{eu}2}}\[10pt]-{eu}1{eu}0}}fim{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }9}} {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }8-{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }7}{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }6}}\[15pt]-{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }5{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }4}}fim{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }3}} {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }2{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }1}}} {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }0x\x^{estilo de exibição {começar{alinhado}9fim{estilo de exibição {começar{alinhado}8}} {estilo de exibição {começar{alinhado}7^{estilo de exibição {começar{alinhado}6}{estilo de exibição {começar{alinhado}5}}-{estilo de exibição {começar{alinhado}4{estilo de exibição {começar{alinhado}3}registro(-2e _{estilo de exibição {começar{alinhado}2)} {estilo de exibição {começar{alinhado}1}{estilo de exibição {começar{alinhado}0}}+log sigma } distribuição log-normal {símbolo em negrito {chi }9} {símbolo em negrito {chi }8{símbolo em negrito {chi }7{símbolo em negrito {chi }6}}\[10pt]-{símbolo em negrito {chi }5{símbolo em negrito {chi }4}}fim{símbolo em negrito {chi }3}} {símbolo em negrito {chi }2-{símbolo em negrito {chi }1}{símbolo em negrito {chi }0}}\[15pt]-{símbolo em negrito {chi }9{símbolo em negrito {chi }8}}fim{símbolo em negrito {chi }7}} {símbolo em negrito {chi }6{{símbolo em negrito {chi }5}x}}} {símbolo em negrito {chi }4log x\(log x)^{símbolo em negrito {chi }3fim{símbolo em negrito {chi }2}} {símbolo em negrito {chi }1^{símbolo em negrito {chi }0}{T}9}}-{T}8{T}7}registro(-2e _{T}6)} {T}5}{T}4}}+log sigma } distribuição gaussiana inversa {T}3 {T}2-{T}1{T}0}}\[15pt]-{X}9{X}8}fim{X}7}} {X}6{X}5}{X}4}}}\[15pt]-2e _{X}3fim{X}2}} {X}1{{X}0}x^{símbolo em negrito {chi }9{símbolo em negrito {chi }8}}}} {símbolo em negrito {chi }7x\[5pt]{símbolo em negrito {chi }6{símbolo em negrito {chi }5}fim{símbolo em negrito {chi }4}} {símbolo em negrito {chi }3e _{símbolo em negrito {chi }2}}-{símbolo em negrito {chi }1{símbolo em negrito {chi }0}registro(-2e _{i=1}9)} {i=1}8{i=1}7}-{i=1}6{i=1}5}log lambda } distribuição gama {i=1}4 {i=1}3alpha -1\-beta end{i=1}2}} {i=1}1e _{i=1}0+1\-e _{n}9fim{n}8}} {n}7 {n}6log x\xend{n}5}} {n}4+1)-(e _{n}3+1)registro(-e _{n}2)} {n}1 {n}0 {T}9k-1\[5pt]-{T}8{T}7}fim{T}6}} {T}5e _{T}4+1\[5pt]-{T}3{T}2}}fim{T}1}} {T}0 distribuição gama inversa {eu}9 {eu}8-alpha -1\-beta end{eu}7}} {eu}6-e _{eu}5-1\-e _{eu}4fim{eu}3}} {eu}2 {eu}1log x\{eu}0{alinhado}9}fim{alinhado}8}} {alinhado}7-1)-(-e _{alinhado}6-1)registro(-e _{alinhado}5)} {alinhado}4 generalized inverse Gaussian distribution {alinhado}3 {alinhado}2p-1\-a/2\-b/2end{alinhado}1}} {alinhado}0e _{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }9+1\-2e _{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }8\-2e _{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }7fim{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }6}} {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }5 {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }4log x\x\{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }3{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }2}fim{estilo de exibição {símbolo em negrito {e }1}} {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }0+1}({estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }9e _{estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }8}})-{estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }7+1}{estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }6}registro {estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }5}{estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }4}}} {estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }3({estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }2})-{estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }1{estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }0}log .latex_thm, .latex_lem, .latex_cor, .latex_defn, .látex_prop, .látex_rem{ 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-1end{"@contexto":"https://schema.org","@gráfico":[{"@tipo":"Artigo","@eu ia":"https://elteoremadecuales.com/exponential-family/#article","é parte de":{"@eu ia":"https://elteoremadecuales.com/exponential-family/"},"autor":{"nome":"teoremas","@eu ia":"https://elteoremadecuales.com/#/schema/person/26175822ad90c491935d8dae9203ba6f"},"título":"família exponencial","data de publicação":"2021-11-28T09:46:35+00:00","data modificada":"2021-11-28T09:46:35+00:00","mainEntityOfPage":{"@eu ia":"https://elteoremadecuales.com/exponential-family/"},"contador de palavras":11023,"Contagem de comentários":0,"editor":{"@eu ia":"https://elteoremadecuales.com/#organization"},"imagem":{"@eu ia":"https://elteoremadecuales.com/exponential-family/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https://elteoremadecuales.com/wp-content/uploads/2022/08/exponential-family-1.png","ArtigoSeção":["distribuições contínuas","distribuições 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o colchete de Iverson* 3 2 distribuição categórica (variante 3) 1, ldots ,,p_0} where 9=1-textstyle sum _8^7p_6} 5registro 4}3}}\[10pt]vdots \[5pt]registro 2}1}}\[15pt]0fim0}=} 9registro 8}7^6p_5}}\[10pt]vdots \[5pt]registro 4}3^2p_1}}\[15pt]0fim0}} Esta é a função softmax inversa, uma generalização da função logit. Peso caiu um 1.85% 9Peso caiu um 1.85% 8}}Peso caiu um 1.85% 7^ Peso caiu um 1.85% 6e^O peso foi reduzido a 1.85% 5}}}\[10pt]vdots \[5pt]Peso caiu um 1.85% 4}}Peso caiu um 1.85% 3^ Peso caiu um 1.85% 2e^O peso foi reduzido a 1.85% 1}}}fimO peso foi reduzido um 1.85% 0}=} {estilo de exibição {começar{bmatriz}{dfrac {e^{e _{1}}}{1+soma _{i=1}^{k-1}e^{e _{eu}}}}\[10pt]vdots \[5pt]{dfrac {e^{e _{k-1}}}{1+soma _{i=1}^{k-1}e^{e _{eu}}}}\[15pt]{dfrac {1}{1+soma _{i=1}^{k-1}e^{e _{eu}}}}fim{bmatriz}}} Esta é a função softmax, uma generalização da função logística. {estilo de exibição 1} {estilo de exibição {começar{bmatriz}[x=1]\vdots \{[x=k]}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição [x=i]} é o colchete de Iverson* {registro de estilo de exibição deixado(soma _{i=1}^{k}e^{e _{eu}}certo)= logar à esquerda(1+soma _{i=1}^{k-1}e^{e _{eu}}certo)} {estilo de exibição -log p_{k}=-log à esquerda(1-soma _{i=1}^{k-1}p_{eu}certo)} distribuição multinomial (variante 1) com número conhecido de tentativas {estilo de exibição m} {estilo de exibição p_{1}, ldots ,,p_{k}} Onde {soma de estilo de texto de estilo de exibição _{i=1}^{k}p_{eu}=1} {estilo de exibição {começar{bmatriz}log p_{1}\vdots \log p_{k}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}e^{e _{1}}\vdots \e^{e _{k}}fim{bmatriz}}} Onde {soma de estilo de texto de estilo de exibição _{i=1}^{k}e^{e _{eu}}=1} {estilo de exibição {fratura {n!}{prod _{i=1}^{k}x_{eu}!}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}x_{1}\vdots \x_{k}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição 0} {estilo de exibição 0} distribuição multinomial (variante 2) com número conhecido de tentativas {estilo de exibição m} {estilo de exibição p_{1}, ldots ,,p_{k}} Onde {soma de estilo de texto de estilo de exibição _{i=1}^{k}p_{eu}=1} {estilo de exibição {começar{bmatriz}log p_{1}+C\vdots \log p_{k}+Um pouco{bmatriz}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}{dfrac {1}{C}}e^{e _{1}}\vdots \{dfrac {1}{C}}e^{e _{k}}fim{bmatriz}}=} {estilo de exibição {começar{bmatriz}{dfrac {e^{e _{1}}}{soma _{i=1}^{k}e^{e _{eu}}}}\[10pt]vdots \[5pt]{dfrac {e^{e _{k}}}{soma _{i=1}^{k}e^{e _{eu}}}}fim{bmatriz}}} Onde {soma de estilo de texto de estilo de exibição _{i=1}^{k}e^{e _{eu}}=C} {estilo de exibição {fratura {n!}{prod _{i=1}^{k}x_{eu}!}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}x_{1}\vdots \x_{k}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição 0} {estilo de exibição 0} distribuição multinomial (variante 3) com número conhecido de tentativas {estilo de exibição m} {estilo de exibição p_{1}, ldots ,,p_{k}} Onde {estilo de exibição p_{k}= soma de estilo de texto 1 _{i=1}^{k-1}p_{eu}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}registro {dfrac {p_{1}}{p_{k}}}\[10pt]vdots \[5pt]registro {dfrac {p_{k-1}}{p_{k}}}\[15pt]0fim{bmatriz}}=} {estilo de exibição {começar{bmatriz}registro {dfrac {p_{1}}{1-soma _{i=1}^{k-1}p_{eu}}}\[10pt]vdots \[5pt]registro {dfrac {p_{k-1}}{1-soma _{i=1}^{k-1}p_{eu}}}\[15pt]0fim{bmatriz}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}{dfrac {e^{e _{1}}}{soma _{i=1}^{k}e^{e _{eu}}}}\[10pt]vdots \[5pt]{dfrac {e^{e _{k}}}{soma _{i=1}^{k}e^{e _{eu}}}}fim{bmatriz}}=} {estilo de exibição {começar{bmatriz}{dfrac {e^{e _{1}}}{1+soma _{i=1}^{k-1}e^{e _{eu}}}}\[10pt]vdots \[5pt]{dfrac {e^{e _{k-1}}}{1+soma _{i=1}^{k-1}e^{e _{eu}}}}\[15pt]{dfrac {1}{1+soma _{i=1}^{k-1}e^{e _{eu}}}}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição {fratura {n!}{prod _{i=1}^{k}x_{eu}!}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}x_{1}\vdots \x_{k}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição nlog esquerdo(soma _{i=1}^{k}e^{e _{eu}}certo)= lado esquerdo(1+soma _{i=1}^{k-1}e^{e _{eu}}certo)} {estilo de exibição -nlog p_{k}=-nlog esquerda(1-soma _{i=1}^{k-1}p_{eu}certo)} Distribuição de Dirichlet (variante 1) {alfa de estilo de exibição _{1}, ldots ,,alfa _{k}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}alfa _{1}\vdots \alpha _{k}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}e _{1}\vdots \eta _{k}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição {fratura {1}{prod _{i=1}^{k}x_{eu}}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}log x_{1}\vdots \log x_{k}fim{bmatriz}}} {soma de estilo de exibição _{i=1}^{k}log Gama (e _{eu})-log gama esquerda(soma _{i=1}^{k}e _{eu}certo)} {soma de estilo de exibição _{i=1}^{k}log Gama (alfa _{eu})-log gama esquerda(soma _{i=1}^{k}alfa _{eu}certo)} Distribuição de Dirichlet (variante 2) {alfa de estilo de exibição _{1}, ldots ,,alfa _{k}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}alfa _{1}-1\vdots \alpha _{k}-1fim{bmatriz}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}e _{1}+1\vdots \eta _{k}+1fim{bmatriz}}} {estilo de exibição 1} {estilo de exibição {começar{bmatriz}log x_{1}\vdots \log x_{k}fim{bmatriz}}} {soma de estilo de exibição _{i=1}^{k}log Gama (e _{eu}+1)-log gama esquerda(soma _{i=1}^{k}(e _{eu}+1)certo)} {soma de estilo de exibição _{i=1}^{k}log Gama (alfa _{eu})-log gama esquerda(soma _{i=1}^{k}alfa _{eu}certo)} Distribuição Wishart {estilo de exibição mathbf {V} , n} {estilo de exibição {começar{bmatriz}-{fratura {1}{2}}mathbf {V} ^{-1}\[5pt]{dfrac {n-p-1}{2}}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}-{fratura {1}{2}}{{símbolo em negrito {e }}_{1}}^{-1}\[5pt]2e _{2}+p+1fim{bmatriz}}} {estilo de exibição 1} {estilo de exibição {começar{bmatriz}mathbf {X} \registro |mathbf {X} |fim{bmatriz}}} {estilo de exibição -esquerda(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo)registro |-{símbolo em negrito {e }}_{1}|} {estilo de exibição + log Gama _{p}deixei(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo)=} {estilo de exibição -{fratura {n}{2}}registro |-{símbolo em negrito {e }}_{1}|+log Gama _{p}deixei({fratura {n}{2}}certo)=} {estilo de exibição à esquerda(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo)(plog 2+log |mathbf {V} |)} {estilo de exibição + log Gama _{p}deixei(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo)} Três variantes com diferentes parametrizações são dadas, para facilitar os momentos de computação das estatísticas suficientes. {estilo de exibição {fratura {n}{2}}(plog 2+log |mathbf {V} |)+log Gama _{p}deixei({fratura {n}{2}}certo)} Observação: Usa o fato de que {estilo de exibição {rm {tr}}(mathbf {UMA} ^{matemática {T}}mathbf {B} )=nome do operador {vec} (mathbf {UMA} )nome do operador cdot {vec} (mathbf {B} ),} ou seja. o traço de um produto matricial é muito parecido com um produto escalar. Os parâmetros da matriz são assumidos como vetorizados (dispostos em um vetor) quando inserido na forma exponencial. Também, {estilo de exibição mathbf {V} } e {estilo de exibição mathbf {X} } são simétricos, então por exemplo. {estilo de exibição mathbf {V} ^{matemática {T}}= mathbf {V} .} distribuição inversa de Wishart {estilo de exibição mathbf {psi } ,,m} {estilo de exibição {começar{bmatriz}-{fratura {1}{2}}{símbolo em negrito {psi }}\[5pt]-{dfrac {m+p+1}{2}}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}-2{símbolo em negrito {e }}_{1}\[5pt]-(2e _{2}+p+1)fim{bmatriz}}} {estilo de exibição 1} {estilo de exibição {começar{bmatriz}mathbf {X} ^{-1}\registro |mathbf {X} |fim{bmatriz}}} {estilo de exibição à esquerda(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo)registro |-{símbolo em negrito {e }}_{1}|} {estilo de exibição + log Gama _{p}deixei(-{Grande (}e _{2}+{fratura {p+1}{2}}{Grande )}certo)=} {estilo de exibição -{fratura {m}{2}}registro |-{símbolo em negrito {e }}_{1}|+log Gama _{p}deixei({fratura {m}{2}}certo)=} {estilo de exibição -esquerda(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo)(plog 2-log |{símbolo em negrito {psi }}|)} {estilo de exibição + log Gama _{p}deixei(-{Grande (}e _{2}+{fratura {p+1}{2}}{Grande )}certo)} {estilo de exibição {fratura {m}{2}}(plog 2-log |{símbolo em negrito {psi }}|)+log Gama _{p}deixei({fratura {m}{2}}certo)} distribuição gama normal {alfa de estilo de exibição , beta , dentro , lambda } {estilo de exibição {começar{bmatriz}alfa -{fratura {1}{2}}\-beta -{dfrac {lambda em ^{2}}{2}}\lambda em \-{dfrac {lambda }{2}}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}e _{1}+{fratura {1}{2}}\-e _{2}+{dfrac {e _{3}^{2}}{4e _{4}}}\-{dfrac {e _{3}}{2e _{4}}}\-2e _{4}fim{bmatriz}}} {estilo de exibição {dfrac {1}{quadrado {2pi }}}} {estilo de exibição {começar{bmatriz}log tau \tau \tau x\tau x^{2}fim{bmatriz}}} {registro de estilo de exibição Gama à esquerda(e _{1}+{fratura {1}{2}}certo)-{fratura {1}{2}}log à esquerda(-2e _{4}certo)} {estilo de exibição -esquerda(e _{1}+{fratura {1}{2}}certo)log à esquerda(-e _{2}+{dfrac {e _{3}^{2}}{4e _{4}}}certo)} {registro de estilo de exibição Gama à esquerda(alfa certo)-alfa log beta -{fratura {1}{2}}log lambda } * O colchete de Iverson é uma generalização da função delta discreta: Se a expressão entre colchetes for verdadeira, o parêntese tem valor 1; se a declaração incluída for falsa, o colchete de Iverson é zero. Existem muitas notações variantes, por exemplo. colchetes ondulados: ⧙a=b⧘ é equivalente ao [a=b] notação usada acima.

As três variantes da distribuição categórica e da distribuição multinomial se devem ao fato de que os parâmetros {estilo de exibição p_{eu}} são limitados, de tal modo que {soma de estilo de exibição _{i=1}^{k}p_{eu}=1~.} Desta forma, há apenas {estilo de exibição k-1} parâmetros independentes.

Variante 1 usa {estilo de exibição k} parâmetros naturais com uma relação simples entre os parâmetros padrão e naturais; Contudo, apenas {estilo de exibição k-1} dos parâmetros naturais são independentes, e o conjunto de {estilo de exibição k} parâmetros naturais não é identificável. A restrição nos parâmetros usuais se traduz em uma restrição semelhante nos parâmetros naturais. Variante 2 demonstra o fato de que todo o conjunto de parâmetros naturais é não identificável: Adicionar qualquer valor constante aos parâmetros naturais não tem efeito na distribuição resultante. No entanto, usando a restrição nos parâmetros naturais, a fórmula para os parâmetros normais em termos dos parâmetros naturais pode ser escrita de forma independente da constante que é adicionada. Variante 3 mostra como tornar os parâmetros identificáveis ​​de maneira conveniente, definindo {estilo de exibição C=-log p_{k} .} Isso efetivamente "pivôs" por aí {estilo de exibição p_{k}} e faz com que o último parâmetro natural tenha o valor constante de 0. Todas as fórmulas restantes são escritas de uma forma que não acessa {estilo de exibição p_{k} } , de modo que efetivamente o modelo tenha apenas {estilo de exibição k-1} parâmetros, tanto do tipo usual quanto natural.

variantes 1 e 2 não são realmente famílias exponenciais padrão. Em vez disso, são famílias exponenciais curvas, ou seja. existem {estilo de exibição k-1} parâmetros independentes embutidos em um {estilo de exibição k} -espaço de parâmetro dimensional.[12] Muitos dos resultados padrão para famílias exponenciais não se aplicam a famílias exponenciais curvas. Um exemplo é a função log-partition {estilo de exibição A(x) } , que tem o valor de 0 nos casos curvos. Em famílias exponenciais padrão, as derivadas desta função correspondem aos momentos (mais tecnicamente, os cumulantes) das estatísticas suficientes, por exemplo. a média e variância. No entanto, um valor de 0 sugere que a média e a variância de todas as estatísticas suficientes são uniformemente 0, Considerando que, na verdade, a média do {estilo de exibição eu} esta estatística suficiente deve ser {estilo de exibição p_{eu} } . (Isso surge corretamente ao usar a forma de {estilo de exibição A(x) } mostrado na variante 3.) Momentos e cumulantes da estatística suficiente Normalização da distribuição Começamos com a normalização da distribuição de probabilidade. No geral, qualquer função não negativa f(x) que serve como o núcleo de uma distribuição de probabilidade (a parte que codifica toda a dependência de x) pode ser feito em uma distribuição apropriada normalizando: ou seja.

{estilo de exibição p(x)={fratura {1}{Z}}f(x)} Onde {estilo de exibição Z=int _{x}f(x),dx.} O fator Z às vezes é chamado de normalizador ou função de partição, baseado em uma analogia com a física estatística.

No caso de uma família exponencial onde {estilo de exibição p(x;{símbolo em negrito {e }})=g({símbolo em negrito {e }})h(x)e^{{símbolo em negrito {e }}cdot mathbf {T} (x)},} o kernel é {estilo de exibição K(x)=h(x)e^{{símbolo em negrito {e }}cdot mathbf {T} (x)}} e a função de partição é {estilo de exibição Z=int _{x}h(x)e^{{símbolo em negrito {e }}cdot mathbf {T} (x)},dx.} Como a distribuição deve ser normalizada, temos {estilo de exibição 1 = int _{x}g({símbolo em negrito {e }})h(x)e^{{símbolo em negrito {e }}cdot mathbf {T} (x)},dx=g({símbolo em negrito {e }})int_{x}h(x)e^{{símbolo em negrito {e }}cdot mathbf {T} (x)},dx=g({símbolo em negrito {e }})Z.} Em outras palavras, {estilo de exibição g({símbolo em negrito {e }})={fratura {1}{Z}}} ou equivalente {estilo de exibição A({símbolo em negrito {e }})=-log g({símbolo em negrito {e }})= log Z.} Isso justifica chamar A de normalizador de log ou função de partição de log.

Função geradora de momento da estatística suficiente Agora, a função geradora de momento de T(x) é {estilo de exibição M_{T}(você)equiv E[e^{u^{topo }T(x)}o que fazer ]=int_{x}h(x)e^{(e +u)^{topo }T(x)-UMA(e )},dx=e^{UMA(e +u)-UMA(e )}} provando a afirmação anterior de que {estilo de exibição K(molhado e )=A(e +u)-UMA(e )} é a função geradora cumulante para T.

Uma importante subclasse de famílias exponenciais são as famílias exponenciais naturais, que têm uma forma semelhante para a função geradora de momento para a distribuição de x.

Identidades diferenciais para cumulantes Em particular, usando as propriedades da função geradora cumulante, {nome do operador de estilo de exibição {E} (T_{j})={fratura {parcial A(e )}{parcial e _{j}}}} e {nome do operador de estilo de exibição {aqueles} deixei(T_{eu}, T_{j}certo)={fratura {parcial ^{2}UMA(e )}{parcial e _{eu},parcial e _{j}}}.} Os dois primeiros momentos brutos e todos os segundos momentos mistos podem ser recuperados dessas duas identidades. Momentos e cumulantes de ordem superior são obtidos por derivadas superiores. Essa técnica geralmente é útil quando T é uma função complicada dos dados, cujos momentos são difíceis de calcular por integração.

Outra maneira de ver isso que não depende da teoria dos cumulantes é partir do fato de que a distribuição de uma família exponencial deve ser normalizada, e diferenciar. Ilustramos usando o caso simples de um parâmetro unidimensional, mas uma derivação análoga vale mais geralmente.

No caso unidimensional, temos {estilo de exibição p(x)=g(e )h(x)e^{eta T(x)}.} Isso deve ser normalizado, assim {estilo de exibição 1 = int _{x}p(x),dx=int_{x}g(e )h(x)e^{eta T(x)},dx=g(e )int_{x}h(x)e^{eta T(x)},dx.} Obtenha a derivada de ambos os lados em relação a η: {estilo de exibição {começar{alinhado}0&=g(e ){fratura {d}{dados }}int_{x}h(x)e^{eta T(x)},dx+g'(e )int_{x}h(x)e^{eta T(x)},dx\&=g(e )int_{x}h(x)deixei({fratura {d}{dados }}e^{eta T(x)}certo),dx+g'(e )int_{x}h(x)e^{eta T(x)},dx\&=g(e )int_{x}h(x)e^{eta T(x)}T(x),dx+g'(e )int_{x}h(x)e^{eta T(x)},dx\&=int _{x}T(x)g(e )h(x)e^{eta T(x)},dx+{fratura {g'(e )}{g(e )}}int_{x}g(e )h(x)e^{eta T(x)},dx\&=int _{x}T(x)p(x),dx+{fratura {g'(e )}{g(e )}}int_{x}p(x),dx\&=operatorname {E} [T(x)]+{fratura {g'(e )}{g(e )}}\&=operatorname {E} [T(x)]+{fratura {d}{dados }}log g(e )fim{alinhado}}} Portanto, {nome do operador de estilo de exibição {E} [T(x)]=-{fratura {d}{dados }}log g(e )={fratura {d}{dados }}UMA(e ).} Exemplo 1 Como um exemplo introdutório, considere a distribuição gama, cuja distribuição é definida por {estilo de exibição p(x)={fratura {beta ^{alfa }}{Gama (alfa )}}x^{alfa -1}e^{-beta x}.} Referindo-se à tabela acima, podemos ver que o parâmetro natural é dado por {estilo de exibição eta _{1}= alfa -1,} {estilo de exibição eta _{2}=-beta ,} as substituições inversas são {estilo de exibição alfa = eta _{1}+1,} {estilo de exibição beta =-eta _{2},} as estatísticas suficientes são {estilo de exibição (log x,x),} e a função de partição de log é {estilo de exibição A(e _{1},e _{2})=log Gama (e _{1}+1)-(e _{1}+1)registro(-e _{2}).} Podemos encontrar a média das estatísticas suficientes da seguinte maneira. Primeiro, para η1: {estilo de exibição {começar{alinhado}nome do operador {E} [log x]&={fratura {parcial A(e _{1},e _{2})}{parcial e _{1}}}={fratura {parcial }{parcial e _{1}}}deixei(log Gama (e _{1}+1)-(e _{1}+1)registro(-e _{2})certo)\&=psi (e _{1}+1)-registro(-e _{2})\&=psi (alfa )-log beta ,fim{alinhado}}} Onde {estilo de exibição psi (x)} é a função digama (derivada de log gama), e usamos as substituições inversas na última etapa.

Agora, para η2: {estilo de exibição {começar{alinhado}nome do operador {E} [x]&={fratura {parcial A(e _{1},e _{2})}{parcial e _{2}}}={fratura {parcial }{parcial e _{2}}}deixei(log Gama (e _{1}+1)-(e _{1}+1)registro(-e _{2})certo)\&=-(e _{1}+1){fratura {1}{-e _{2}}}(-1)={fratura {e _{1}+1}{-e _{2}}}\&={fratura {alfa }{beta }},fim{alinhado}}} novamente fazendo a substituição reversa na última etapa.

Para calcular a variância de x, nós apenas diferenciamos novamente: {estilo de exibição {começar{alinhado}nome do operador {Era} (x)&={fratura {parcial ^{2}esquerda(e _{1},e _{2}certo)}{parcial e _{2}^{2}}}={fratura {parcial }{parcial e _{2}}}{fratura {e _{1}+1}{-e _{2}}}\&={fratura {e _{1}+1}{e _{2}^{2}}}\&={fratura {alfa }{beta ^{2}}}.fim{alinhado}}} Todos esses cálculos podem ser feitos usando integração, fazendo uso de várias propriedades da função gama, mas isso requer muito mais trabalho.

Exemplo 2 Como outro exemplo, considere uma variável aleatória de valor real X com densidade {estilo de exibição p_{teta }(x)={fratura {teta e^{-x}}{deixei(1+e^{-x}certo)^{teta +1}}}} indexado pelo parâmetro de forma {estilo de exibição teta em (0,infty )} (isso é chamado de distribuição logística assimétrica). A densidade pode ser reescrita como {estilo de exibição {fratura {e^{-x}}{1+e^{-x}}}exp esquerda(-theta log esquerda(1+e^{-x}certo)+registro(teta )certo)} Observe que esta é uma família exponencial com parâmetro natural {estilo de exibição eta =-theta ,} estatística suficiente {displaystyle T = log esquerda(1+e^{-x}certo),} e função de partição de log {estilo de exibição A(e )=-log(teta )=-log(-e )} Então, usando a primeira identidade, {nome do operador de estilo de exibição {E} (registro(1+e^{-X}))=nome do operador {E} (T)={fratura {parcial A(e )}{parcial e }}={fratura {parcial }{parcial e }}[-registro(-e )]={fratura {1}{-e }}={fratura {1}{teta }},} e usando a segunda identidade {nome do operador de estilo de exibição {era} (log à esquerda(1+e^{-X}certo))={fratura {parcial ^{2}UMA(e )}{parcial e ^{2}}}={fratura {parcial }{parcial e }}deixei[{fratura {1}{-e }}certo]={fratura {1}{(-e )^{2}}}={fratura {1}{teta ^{2}}}.} Este exemplo ilustra um caso onde usar este método é muito simples, mas o cálculo direto seria quase impossível.

Exemplo 3 O exemplo final é aquele em que a integração seria extremamente difícil. Este é o caso da distribuição Wishart, que é definido sobre matrizes. Mesmo derivando é um pouco complicado, pois envolve cálculo matricial, mas as respectivas identidades estão listadas nesse artigo.

Da tabela acima, podemos ver que o parâmetro natural é dado por {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }}_{1}=-{fratura {1}{2}}mathbf {V} ^{-1},} {estilo de exibição eta _{2}={fratura {n-p-1}{2}},} as substituições inversas são {estilo de exibição mathbf {V} =-{fratura {1}{2}}{{símbolo em negrito {e }}_{1}}^{-1},} {estilo de exibição n=2eta _{2}+p+1,} e as estatísticas suficientes são {estilo de exibição (mathbf {X} ,registro |mathbf {X} |).} A função de partição de log é escrita em várias formas na tabela, para facilitar a diferenciação e a substituição reversa. Usamos os seguintes formulários: {estilo de exibição A({símbolo em negrito {e }}_{1},n)=-{fratura {n}{2}}registro |-{símbolo em negrito {e }}_{1}|+log Gama _{p}deixei({fratura {n}{2}}certo),} {estilo de exibição A(mathbf {V} ,e _{2})= esquerda(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo)(plog 2+log |mathbf {V} |)+log Gama _{p}deixei(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo).} Expectativa de X (associado a η1) Para diferenciar em relação a η1, precisamos da seguinte identidade de cálculo de matriz: {estilo de exibição {fratura {registro parcial |amathbf {X} |}{matemática parcial {X} }}=(mathbf {X} ^{-1})^{rm {T}}} Então: {estilo de exibição {começar{alinhado}nome do operador {E} [mathbf {X} ]&={fratura {parcial à esquerda({símbolo em negrito {e }}_{1},cdots certo)}{parcial {símbolo em negrito {e }}_{1}}}\&={fratura {parcial }{parcial {símbolo em negrito {e }}_{1}}}deixei[-{fratura {n}{2}}registro |-{símbolo em negrito {e }}_{1}|+log Gama _{p}deixei({fratura {n}{2}}certo)certo]\&=-{fratura {n}{2}}({símbolo em negrito {e }}_{1}^{-1})^{rm {T}}\&={fratura {n}{2}}(-{símbolo em negrito {e }}_{1}^{-1})^{rm {T}}\&=n(mathbf {V} )^{rm {T}}\&=nmathbf {V} fim{alinhado}}} A última linha usa o fato de que V é simétrico, e, portanto, é o mesmo quando transposto.

Expectativa de registro |X| (associado a η2) Agora, para η2, primeiro precisamos expandir a parte da função de partição de log que envolve a função gama multivariada: {registro de estilo de exibição Gama _{p}(uma)= logar à esquerda(pi^{fratura {p(p-1)}{4}}prod _{j=1}^{p}gama esquerda(a+{fratura {1-j}{2}}certo)certo)={fratura {p(p-1)}{4}}log pi +soma _{j=1}^{p}log gama esquerda[a+{fratura {1-j}{2}}certo]} Também precisamos da função digamma: {estilo de exibição psi (x)={fratura {d}{dx}}log Gama (x).} Então: {estilo de exibição {começar{alinhado}nome do operador {E} [registro |mathbf {X} |]&={fratura {parcial à esquerda(ldots ,e _{2}certo)}{parcial e _{2}}}\&={fratura {parcial }{parcial e _{2}}}deixei[-deixei(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo)(plog 2+log |mathbf {V} |)+log Gama _{p}deixei(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo)certo]\&={fratura {parcial }{parcial e _{2}}}deixei[deixei(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}certo)(plog 2+log |mathbf {V} |)+{fratura {p(p-1)}{4}}log pi +soma _{j=1}^{p}log gama esquerda(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}+{fratura {1-j}{2}}certo)certo]\&=plog 2+log |mathbf {V} |+soma _{j=1}^{p}psi esquerda(e _{2}+{fratura {p+1}{2}}+{fratura {1-j}{2}}certo)\&=plog 2+log |mathbf {V} |+soma _{j=1}^{p}psi esquerda({fratura {n-p-1}{2}}+{fratura {p+1}{2}}+{fratura {1-j}{2}}certo)\&=plog 2+log |mathbf {V} |+soma _{j=1}^{p}psi esquerda({fratura {n+1-d}{2}}certo)fim{alinhado}}} Esta última fórmula está listada no artigo de distribuição da Wishart. Ambas as expectativas são necessárias ao derivar as equações de atualização de Bayes variacional em uma rede de Bayes envolvendo uma distribuição de Wishart (que é o conjugado a priori da distribuição normal multivariada).

Calcular essas fórmulas usando integração seria muito mais difícil. O primeiro, por exemplo, exigiria integração de matriz.

Entropia Entropia relativa A entropia relativa (Divergência de Kullback-Leibler, divergência KL) de duas distribuições em uma família exponencial tem uma expressão simples como a divergência de Bregman entre os parâmetros naturais com relação ao log-normalizador.[13] A entropia relativa é definida em termos de uma integral, enquanto a divergência de Bregman é definida em termos de uma derivada e produto interno, e, portanto, é mais fácil de calcular e tem uma expressão de forma fechada (assumindo que a derivada tem uma expressão de forma fechada). Mais longe, a divergência de Bregman em termos dos parâmetros naturais e o log-normalizador é igual à divergência de Bregman dos parâmetros duais (parâmetros de expectativa), na ordem oposta, para a função conjugada convexa.[14] Corrigindo uma família exponencial com log-normalizador {estilo de exibição A} (com conjugado convexo {estilo de exibição A^{*}} ), escrita {estilo de exibição P_{UMA,teta }} para a distribuição nesta família correspondente a um valor fixo do parâmetro natural {estilo de exibição teta } (escrita {estilo de exibição teta '} por outro valor, e com {estilo de exibição eta ,e '} para os correspondentes parâmetros duplos de expectativa/momento), escrevendo KL para a divergência KL, e {estilo de exibição B_{UMA}} para a divergência de Bregman, as divergências estão relacionadas como: {estilo de exibição {rm {{KL}(P_{UMA,teta }paralelo P_{UMA,teta'})=B_{UMA}(teta 'teta paralelo )=B_{A^{*}}(eta paralelo eta').}}} A divergência KL é escrita convencionalmente em relação ao primeiro parâmetro, enquanto a divergência de Bregman é escrita convencionalmente em relação ao segundo parâmetro, e, portanto, isso pode ser lido como "a entropia relativa é igual à divergência de Bregman definida pelo log-normalizador nos parâmetros naturais trocados", ou equivalente como "igual à divergência de Bregman definida pelo dual para o log-normalizador nos parâmetros de expectativa".

Derivação de máxima entropia As famílias exponenciais surgem naturalmente como a resposta à seguinte pergunta: qual é a distribuição de entropia máxima consistente com as restrições dadas nos valores esperados?

A entropia de informação de uma distribuição de probabilidade dF(x) só pode ser calculado em relação a alguma outra distribuição de probabilidade (ou, De forma geral, uma medida positiva), e ambas as medidas devem ser mutuamente absolutamente contínuas. De acordo, precisamos escolher uma medida de referência dH(x) com o mesmo suporte que dF(x).

A entropia de dF(x) em relação a dH(x) é {estilo de exibição S[dFmid dH]=-int {fratura {dF}{dH}}registro {fratura {dF}{dH}},dH} ou {estilo de exibição S[dFmid dH]=int registro {fratura {dH}{dF}},dF} onde dF/dH e dH/dF são derivados Radon-Nikodym. A definição comum de entropia para uma distribuição discreta suportada em um conjunto I, nomeadamente {estilo de exibição S=-soma _{em mim}p_{eu}log p_{eu}} assume, embora isso raramente seja apontado, que dH é escolhido para ser a medida de contagem em I.

Considere agora uma coleção de quantidades observáveis (variáveis ​​aleatórias) De. A distribuição de probabilidade dF cuja entropia em relação a dH é maior, sujeito às condições de que o valor esperado de Ti seja igual a ti, é uma família exponencial com dH como medida de referência e (T1, ..., Tn) como estatística suficiente.

A derivação é um cálculo variacional simples usando multiplicadores de Lagrange. A normalização é imposta deixando T0 = 1 ser uma das restrições. Os parâmetros naturais da distribuição são os multiplicadores de Lagrange, e o fator de normalização é o multiplicador de Lagrange associado a T0.

Para exemplos de tais derivações, veja Distribuição de probabilidade de entropia máxima.

Papel nas estatísticas Estimativa clássica: suficiência De acordo com o teorema de Pitman-Koopman-Darmois, entre famílias de distribuições de probabilidade cujo domínio não varia com o parâmetro que está sendo estimado, apenas em famílias exponenciais existe uma estatística suficiente cuja dimensão permanece limitada à medida que o tamanho da amostra aumenta.

menos conciso, suponha que Xk, (onde k = 1, 2, 3, ... n) são independentes, variáveis ​​aleatórias identicamente distribuídas. Somente se sua distribuição for uma da família exponencial de distribuições, haverá uma estatística T suficiente(X1, ..., Xn) cujo número de componentes escalares não aumenta à medida que o tamanho da amostra n aumenta; a estatística T pode ser um vetor ou um único número escalar, mas seja o que for, seu tamanho não aumentará nem diminuirá quando mais dados forem obtidos.

Como um contra-exemplo, se essas condições forem relaxadas, a família de distribuições uniformes (seja discreta ou contínua, com um ou ambos os limites desconhecidos) tem uma estatística suficiente, ou seja, o máximo da amostra, amostra mínima, e tamanho da amostra, mas não forma uma família exponencial, como o domínio varia com os parâmetros.

estimativa bayesiana: distribuições conjugadas As famílias exponenciais também são importantes na estatística bayesiana. Nas estatísticas Bayesianas, uma distribuição anterior é multiplicada por uma função de verossimilhança e então normalizada para produzir uma distribuição posterior. No caso de uma verossimilhança pertencente a uma família exponencial existe uma priori conjugada, que muitas vezes também está em uma família exponencial. Um π anterior conjugado para o parâmetro {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }}} de uma família exponencial {estilo de exibição f(xmid {símbolo em negrito {e }})=h(x)exp esquerda({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}mathbf {T} (x)-UMA({símbolo em negrito {e }})certo)} É dado por {estilo de exibição p_{pi }({símbolo em negrito {e }}meio {símbolo em negrito {chi }},não )=f({símbolo em negrito {chi }},não )exp esquerda({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}{símbolo em negrito {chi }}-nao fiz({símbolo em negrito {e }})certo),} ou equivalente {estilo de exibição p_{pi }({símbolo em negrito {e }}meio {símbolo em negrito {chi }},não )=f({símbolo em negrito {chi }},não )g({símbolo em negrito {e }})^{não }exp esquerda({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}{símbolo em negrito {chi }}certo),qquad {símbolo em negrito {chi }}em matemática {R} ^{s}} onde s é a dimensão de {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }}} e {displaystyle nu >0} e {estilo de exibição {símbolo em negrito {chi }}} são hiperparâmetros (parâmetros controlando parâmetros). {estilo de exibição não } corresponde ao número efetivo de observações que a distribuição a priori contribui, e {estilo de exibição {símbolo em negrito {chi }}} corresponde à quantidade total que essas pseudo-observações contribuem para a estatística suficiente sobre todas as observações e pseudo-observações. {estilo de exibição f({símbolo em negrito {chi }},não )} é uma constante de normalização que é determinada automaticamente pelas funções restantes e serve para garantir que a função fornecida seja uma função de densidade de probabilidade (ou seja. está normalizado). {estilo de exibição A({símbolo em negrito {e }})} e de forma equivalente {estilo de exibição g({símbolo em negrito {e }})} são as mesmas funções que na definição da distribuição sobre a qual π é o conjugado anterior.

Uma priori conjugada é aquela que, quando combinado com a probabilidade e normalizado, produz uma distribuição posterior que é do mesmo tipo que a anterior. Por exemplo, se alguém está estimando a probabilidade de sucesso de uma distribuição binomial, então, se alguém optar por usar uma distribuição beta como prévia, a posterior é outra distribuição beta. Isso torna o cálculo do posterior particularmente simples. De forma similar, se alguém estiver estimando o parâmetro de uma distribuição de Poisson, o uso de um gama anterior levará a outro gama posterior. Prioridades conjugadas são muitas vezes muito flexíveis e podem ser muito convenientes. No entanto, se a crença de alguém sobre o valor provável do parâmetro teta de um binômio é representada por (dizer) um bimodal (duas corcundas) distribuição prévia, então isso não pode ser representado por uma distribuição beta. No entanto, pode ser representado usando uma densidade de mistura como o anterior, aqui uma combinação de duas distribuições beta; esta é uma forma de hiperprior.

Uma verossimilhança arbitrária não pertencerá a uma família exponencial, e assim, em geral, não existe anterior conjugado. O posterior terá então que ser calculado por métodos numéricos.

Para mostrar que a distribuição a priori acima é uma priori conjugada, podemos derivar a posteriori.

Primeiro, assume que a probabilidade de uma única observação segue uma família exponencial, parametrizado usando seu parâmetro natural: {estilo de exibição p_{F}(xmid {símbolo em negrito {e }})=h(x)g({símbolo em negrito {e }})exp esquerda({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}mathbf {T} (x)certo)} Então, para dados {estilo de exibição mathbf {X} =(x_{1},ldots ,x_{n})} , a probabilidade é calculada da seguinte forma: {estilo de exibição p(mathbf {X} meio {símbolo em negrito {e }})= esquerda(prod _{i=1}^{n}h(x_{eu})certo)g({símbolo em negrito {e }})^{n}exp esquerda({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}soma _{i=1}^{n}mathbf {T} (x_{eu})certo)} Então, para o anterior conjugado acima: {estilo de exibição {começar{alinhado}p_{pi }({símbolo em negrito {e }}meio {símbolo em negrito {chi }},não )&=f({símbolo em negrito {chi }},não )g({símbolo em negrito {e }})^{não }exp({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}{símbolo em negrito {chi }})exatamente g({símbolo em negrito {e }})^{não }exp({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}{símbolo em negrito {chi }})fim{alinhado}}} Podemos então calcular o posterior da seguinte forma: {estilo de exibição {começar{alinhado}p({símbolo em negrito {e }}midmathbf {X} ,{símbolo em negrito {chi }},não )&propto p(mathbf {X} meio {símbolo em negrito {e }})p_{pi }({símbolo em negrito {e }}meio {símbolo em negrito {chi }},não )\&=left(prod _{i=1}^{n}h(x_{eu})certo)g({símbolo em negrito {e }})^{n}exp esquerda({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}soma _{i=1}^{n}mathbf {T} (x_{eu})certo)f({símbolo em negrito {chi }},não )g({símbolo em negrito {e }})^{não }exp({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}{símbolo em negrito {chi }})\&propto g({símbolo em negrito {e }})^{n}exp esquerda({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}soma _{i=1}^{n}mathbf {T} (x_{eu})certo)g({símbolo em negrito {e }})^{não }exp({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}{símbolo em negrito {chi }})\&propto g({símbolo em negrito {e }})^{agora +n}exp esquerda({símbolo em negrito {e }}^{rm {T}}deixei({símbolo em negrito {chi }}+soma _{i=1}^{n}mathbf {T} (x_{eu})certo)certo)fim{alinhado}}} A última linha é o kernel da distribuição posterior, ou seja.

{estilo de exibição p({símbolo em negrito {e }}midmathbf {X} ,{símbolo em negrito {chi }},não )=p_{pi }deixei({símbolo em negrito {e }}deixei|~{símbolo em negrito {chi }}+soma _{i=1}^{n}mathbf {T} (x_{eu}),nu +nright.right)} Isso mostra que o posterior tem a mesma forma que o anterior.

O dado X entra nessa equação apenas na expressão {estilo de exibição mathbf {T} (mathbf {X} )=soma _{i=1}^{n}mathbf {T} (x_{eu}),} que é chamada de estatística suficiente dos dados. Aquilo é, o valor da estatística suficiente é suficiente para determinar completamente a distribuição posterior. Os próprios pontos de dados reais não são necessários, e todos os conjuntos de pontos de dados com a mesma estatística suficiente terão a mesma distribuição. Isso é importante porque a dimensão da estatística suficiente não cresce com o tamanho dos dados — ela tem apenas tantos componentes quantos os componentes de {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }}} (equivalentemente, o número de parâmetros da distribuição de um único ponto de dados).

As equações de atualização são as seguintes: {estilo de exibição {começar{alinhado}{símbolo em negrito {chi }}'&={símbolo em negrito {chi }}+mathbf {T} (mathbf {X} )\&={símbolo em negrito {chi }}+soma _{i=1}^{n}mathbf {T} (x_{eu})\nu '&=nu +nend{alinhado}}} Isso mostra que as equações de atualização podem ser escritas simplesmente em termos do número de pontos de dados e da estatística suficiente dos dados. Isso pode ser visto claramente nos vários exemplos de equações de atualização mostrados na página anterior conjugada. Por causa da maneira como a estatística suficiente é calculada, envolve necessariamente somas de componentes dos dados (em alguns casos disfarçados de produtos ou outras formas — um produto pode ser escrito em termos de uma soma de logaritmos). Os casos em que as equações de atualização para distribuições específicas não correspondem exatamente às formas acima são casos em que a priori conjugada foi expressa usando uma parametrização diferente daquela que produz uma priori conjugada da forma acima - geralmente especificamente porque a forma acima é definido sobre o parâmetro natural {estilo de exibição {símbolo em negrito {e }}} enquanto os priores conjugados são geralmente definidos sobre o parâmetro real {estilo de exibição {símbolo em negrito {teta }}.} Testando hipóteses: testes uniformemente mais poderosos Mais informações: Teste uniformemente mais poderoso Uma família exponencial de um parâmetro tem uma razão de verossimilhança monótona não decrescente na estatística suficiente T(x), desde que η(eu) é não decrescente. Como consequência, existe um teste uniformemente mais poderoso para testar a hipótese H0: θ ≥ θ0 vs. H1: eu < θ0. Generalized linear models Exponential families form the basis for the distribution functions used in generalized linear models, a class of model that encompass many of the commonly used regression models in statistics. See also Exponential dispersion model Gibbs measure Modified half-normal distribution Natural exponential family Footnotes ^ For example, the family of normal distributions includes the standard normal distribution N(0, 1) with mean 0 and variance 1, as well as other normal distributions with different mean and variance. ^ "Partition function" is often used in statistics as a synonym of "normalization factor". ^ These distributions are often not themselves exponential families. Common examples of non-exponential families arising from exponential ones are the Student's t-distribution, beta-binomial distribution and Dirichlet-multinomial distribution. References Citations ^ Kupperman, M. (1958). 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