Théorème de rotation d'Euler

Théorème de rotation d'Euler Cet article a besoin de citations supplémentaires pour vérification. Aidez-nous à améliorer cet article en ajoutant des citations à des sources fiables. Le matériel non sourcé peut être contesté et supprimé. Trouver des sources: "Théorème de rotation d'Euler" – actualités · journaux · livres · universitaires · JSTOR (Septembre 2010) (Découvrez comment et quand supprimer ce modèle de message) Une rotation représentée par un axe et un angle d'Euler.

En géométrie, Le théorème de rotation d'Euler stipule que, dans un espace tridimensionnel, tout déplacement d'un corps rigide tel qu'un point du corps rigide reste fixe, équivaut à une rotation unique autour d'un axe passant par le point fixe. Cela signifie aussi que la composition de deux rotations est aussi une rotation. Par conséquent, l'ensemble des rotations a une structure de groupe, connu sous le nom de groupe de rotation.

Le théorème porte le nom de Leonhard Euler, qui l'a prouvé dans 1775 au moyen d'une géométrie sphérique. L'axe de rotation est appelé axe d'Euler, typiquement représenté par un vecteur unitaire ê. Son produit par l'angle de rotation est appelé vecteur axe-angle. L'extension du théorème à la cinématique donne le concept d'axe de rotation instantané, une ligne de points fixes.

En termes d'algèbre linéaire, le théorème dit que, dans l'espace 3D, deux systèmes de coordonnées cartésiens quelconques ayant une origine commune sont liés par une rotation autour d'un axe fixe. Cela signifie également que le produit de deux matrices de rotation est à nouveau une matrice de rotation et que pour une matrice de rotation non identique, une valeur propre est 1 et les deux autres sont complexes, ou les deux égaux à −1. Le vecteur propre correspondant à cette valeur propre est l'axe de rotation reliant les deux systèmes.

Contenu 1 Théorème d'Euler (1776) 1.1 Preuve 1.1.1 Analyse précédente 1.1.2 Construction du meilleur point candidat 1.1.3 Preuve de son invariance sous la transformation 1.1.4 Notes finales sur la construction 2 Épreuve matricielle 3 Équivalence d'une matrice orthogonale à une matrice de rotation 3.1 Incursion dans la théorie des matrices 4 Classes d'équivalence 5 Applications 5.1 Générateurs de rotations 5.2 Quaternions 6 Généralisations 7 Voir également 8 Remarques 9 Références 10 Liens externes Théorème d'Euler (1776) Euler énonce le théorème comme suit:[1] Théorème. Peu importe comment la sphère tourne autour de son centre, le diamètre peut toujours être attribué, dont la direction dans la position translatée doit coïncider avec la position initiale.

ou (En anglais): Lorsqu'une sphère est déplacée autour de son centre, il est toujours possible de trouver un diamètre dont la direction dans la position déplacée est la même que dans la position initiale.

Chiffre 1: Le grand cercle bleu sur la sphère se transforme en grand cercle rouge lorsqu'il tourne autour du diamètre à travers O. Preuve La preuve originale d'Euler a été faite en utilisant la géométrie sphérique et donc chaque fois qu'il parle de triangles, ils doivent être compris comme des triangles sphériques.

Analyse précédente Pour arriver à une preuve, Euler analyse à quoi ressemblerait la situation si le théorème était vrai. À cette fin, supposons que la ligne jaune dans la figure 1 passe par le centre de la sphère et est l'axe de rotation recherché, et le point O est l'un des deux points d'intersection de cet axe avec la sphère. Puis il considère un grand cercle arbitraire qui ne contient pas O (le cercle bleu), et son image après rotation (le cercle rouge), qui est un autre grand cercle ne contenant pas O. Il étiquette un point sur leur intersection comme point A. (Si les cercles coïncident, alors A peut être pris comme n'importe quel point sur l'un ou l'autre; sinon A est l'un des deux points d'intersection.) Chiffre 2: Arcs reliant la préimage α et l'image a de A à la bissectrice AO de l'angle en A.

Maintenant A est sur le cercle initial (le cercle bleu), donc son image sera sur le cercle transporté (rouge). Il qualifie cette image de point a. Puisque A est aussi sur le cercle transporté (rouge), c'est l'image d'un autre point qui était sur le cercle initial (bleu) et il étiquette cette préimage comme α (voir figure 2). Puis il considère les deux arcs joignant α et a à A. Ces arcs ont la même longueur car l'arc αA est mappé sur l'arc Aa. Aussi, puisque O est un point fixe, le triangle αOA est mis en correspondance avec le triangle AOa, donc ces triangles sont isocèles, et l'arc AO divise en deux l'angle ∠αAa.

Chiffre 3: O va à O′, mais O' doit coïncider avec O. Construction du meilleur point candidat Construisons un point qui pourrait être invariant en utilisant les considérations précédentes. On commence par le grand cercle bleu et son image sous la transformation, qui est le grand cercle rouge comme sur la figure 1. Soit le point A un point d'intersection de ces cercles. Si l'image de A sous la transformation est le même point alors A est un point fixe de la transformation, et puisque le centre est aussi un point fixe, le diamètre de la sphère contenant A est l'axe de rotation et le théorème est prouvé.

Sinon, nous étiquetons l'image de A comme a et sa préimage comme α, et reliez ces deux points à A par les arcs αA et Aa. Ces arcs ont la même longueur. Construire le grand cercle qui coupe en deux ∠αAa et situer le point O sur ce grand cercle pour que les arcs AO et aO aient la même longueur, et appelons la région de la sphère contenant O et délimitée par les grands cercles bleu et rouge l'intérieur de ∠αAa. (C'est-à-dire, la région jaune de la figure 3.) Alors puisque αA = Aa et O est sur la bissectrice de ∠αAa, on a aussi αO = aO.

Preuve de son invariance sous la transformation Supposons maintenant que O′ est l'image de O. Alors on sait ∠αAO = ∠AaO′ et l'orientation est conservée,[un] donc O′ doit être intérieur à ∠αAa. Maintenant AO est transformé en aO′, donc AO = aO′. Puisque AO a aussi la même longueur que aO, ∠AaO = ∠aAO. Mais ∠aAO = ∠AaO′, donc ∠AaO = ∠AaO′ et donc O′ est le même point que O. Autrement dit, O est un point fixe de la transformation, et puisque le centre est aussi un point fixe, le diamètre de la sphère contenant O est l'axe de rotation.

Notes finales sur la construction Le dessin original d'Euler Euler souligne également que O peut être trouvé en coupant la bissectrice perpendiculaire de Aa avec la bissectrice de ∠αAO, une construction qui pourrait être plus facile en pratique. Il a également proposé l'intersection de deux plans: le plan de symétrie de l'angle ∠αAa (qui passe par le centre C de la sphère), et le plan de symétrie de l'arc Aa (qui passe aussi par C). Proposition. Ces deux plans se coupent en un diamètre. Ce diamètre est celui que nous recherchons. Preuve. Appelons O l'une ou l'autre des extrémités (il y en a deux) de ce diamètre sur la surface de la sphère. Puisque αA est appliqué sur Aa et que les triangles ont les mêmes angles, il s'ensuit que le triangle OαA est transporté sur le triangle OAa. Donc le point O doit rester fixe sous le mouvement. Corollaires. Cela montre également que la rotation de la sphère peut être vue comme deux réflexions consécutives autour des deux plans décrits ci-dessus. Les points dans un plan miroir sont invariants par réflexion, et donc les points à leur intersection (une ligne: l'axe de rotation) sont invariants sous les deux réflexions, et donc sous la rotation.

Une autre façon simple de trouver l'axe de rotation est de considérer le plan sur lequel les points α, UN, un mensonge. L'axe de rotation est évidemment orthogonal à ce plan, et passe par le centre C de la sphère.

Sachant que pour un corps rigide tout mouvement qui laisse un axe invariant est une rotation, cela prouve également que toute composition arbitraire de rotations équivaut à une seule rotation autour d'un nouvel axe.

Preuve matricielle Une rotation spatiale est une application linéaire en correspondance biunivoque avec une 3 × 3 matrice de rotation R qui transforme un vecteur de coordonnées x en X, c'est Rx = X. Par conséquent, une autre version du théorème d'Euler est que pour chaque rotation R, il existe un vecteur n non nul pour lequel Rn = n; c'est exactement l'affirmation selon laquelle n est un vecteur propre de R associé à la valeur propre 1. Il suffit donc de prouver que 1 est une valeur propre de R; l'axe de rotation de R sera la droite μn, où n est le vecteur propre de valeur propre 1.

Une matrice de rotation a la propriété fondamentale que son inverse est sa transposée, C'est {style d'affichage mathbf {R} ^{mathématiques {J}}mathbf {R} = mathbf {R} mathbf {R} ^{mathématiques {J}}= mathbf {je} ,} où je suis le 3 × 3 matrice d'identité et l'exposant T indique la matrice transposée.

Calculer le déterminant de cette relation pour trouver qu'une matrice de rotation a un déterminant ±1. En particulier, {style d'affichage {commencer{aligné}1= ça(mathbf {je} )&=det left(mathbf {R} ^{mathématiques {J}}mathbf {R} droit)= c'est parti(mathbf {R} ^{mathématiques {J}}droit)la(mathbf {R} )= ça(mathbf {R} )^{2}\Longrightarrow qquad it(mathbf {R} )&=pm 1.end{aligné}}} Une matrice de rotation avec déterminant +1 est une bonne rotation, et un avec un déterminant négatif -1 est une rotation incorrecte, c'est-à-dire une réflexion combinée à une rotation appropriée.

On va maintenant montrer qu'une matrice de rotation propre R a au moins un vecteur invariant n, c'est à dire., Rn = n. Car cela nécessite que (R - je)n = 0, on voit que le vecteur n doit être un vecteur propre de la matrice R de valeur propre λ = 1. Ainsi, cela revient à montrer que det(R - je) = 0.

Utiliser les deux relations {l'afficher(-mathbf {UN} )=(-1)^{3}la(mathbf {UN} )=-que(mathbf {UN} )quad } pour toute 3 × 3 matrice A et {style d'affichage à gauche(mathbf {R} ^{-1}droit)=1quadruple } (depuis que(R) = 1) calculer {style d'affichage {commencer{aligné}&det(mathbf {R} -mathbf {je} )= c'est parti((mathbf {R} -mathbf {je} )^{mathématiques {J}}droit)\{}={}&det left(mathbf {R} ^{mathématiques {J}}-mathbf {je} droit)= c'est parti(mathbf {R} ^{-1}-mathbf {R} ^{-1}mathbf {R} droit)\{}={}&det left(mathbf {R} ^{-1}(mathbf {je} -mathbf {R} )droit)= c'est parti(mathbf {R} ^{-1}droit),la(-(mathbf {R} -mathbf {je} ))\{}={}&-det(mathbf {R} -mathbf {je} )\[3pt]Flèche longue droite 0={}&det(mathbf {R} -mathbf {je} ).fin{aligné}}} Cela montre que λ = 1 est une racine (solution) de l'équation caractéristique, C'est, {l'afficher(mathbf {R} -mathbf lambda {je} )=0quad {hbox{pour}}quadlambda=1.} Autrement dit, la matrice R − I est singulière et a un noyau non nul, C'est, il existe au moins un vecteur non nul, dis n, Pour qui {style d'affichage (mathbf {R} -mathbf {je} )mathbf {n} = mathbf {0} quad Longleftrightarrow quad mathbf {R} mathbf {n} = mathbf {n} .} La droite μn pour μ réel est invariante sous R, c'est à dire., μn est un axe de rotation. Cela prouve le théorème d'Euler.

Équivalence d'une matrice orthogonale à une matrice de rotation Deux matrices (représentant des cartes linéaires) sont dits équivalents s'il y a un changement de base qui rend l'un égal à l'autre. Une matrice orthogonale propre est toujours équivalente (dans ce sens) à la matrice suivante ou à sa réflexion verticale: {style d'affichage mathbf {R} sim {commencer{pmatrice}cos phi &-sin phi &0\sin phi &cos phi &0\0&0&1\end{pmatrice}},qquad 0leq phi leq 2pi .} Alors, toute matrice orthogonale est soit une rotation, soit une rotation incorrecte. Une matrice orthogonale générale n'a qu'une seule valeur propre réelle, Soit +1 ou −1. Lorsqu'il est +1 la matrice est une rotation. Quand −1, la matrice est une mauvaise rotation.

Si R a plus d'un vecteur invariant alors φ = 0 et R = je. Tout vecteur est un vecteur invariant de I.

Incursion dans la théorie des matrices Afin de prouver l'équation précédente, certains faits de la théorie des matrices doivent être rappelés.

Une matrice m × m A a m vecteurs propres orthogonaux si et seulement si A est normal, C'est, si A†A = AA†.[b] Ce résultat équivaut à dire que les matrices normales peuvent être amenées à la forme diagonale par une transformation de similarité unitaire: {style d'affichage mathbf {UN} mathbf {tu} = mathbf {tu} ;nom de l'opérateur {diagnostic} (Alpha _{1},ldots ,Alpha _{m})quad Longleftrightarrow quad mathbf {tu} ^{dague }mathbf {UN} mathbf {tu} =nomopérateur {diagnostic} (Alpha _{1},ldots ,Alpha _{m}),} et U est unitaire, C'est, {style d'affichage mathbf {tu} ^{dague }= mathbf {tu} ^{-1}.} Les valeurs propres α1, ..., αm sont les racines de l'équation caractéristique. Si la matrice A est unitaire (et notez que les matrices unitaires sont normales), alors {style d'affichage à gauche(mathbf {tu} ^{dague }mathbf {UN} mathbf {tu} droit)^{dague }=nomopérateur {diagnostic} la gauche(Alpha _{1}^{*},ldots ,Alpha _{m}^{*}droit)= mathbf {tu} ^{dague }mathbf {UN} ^{-1}mathbf {tu} =nomopérateur {diagnostic} la gauche({frac {1}{Alpha _{1}}},ldots ,{frac {1}{Alpha _{m}}}droit)} et il s'ensuit que les valeurs propres d'une matrice unitaire sont sur le cercle unité dans le plan complexe: {style d'affichage alpha _{k}^{*}={frac {1}{Alpha _{k}}}quad Longleftrightarrow quad alpha _{k}^{*}Alpha _{k}=gauche|Alpha _{k}droit|^{2}=1,qquad k=1,ldots ,M.} Aussi un orthogonal (réel unitaire) la matrice a des valeurs propres sur le cercle unitaire dans le plan complexe. En outre, puisque son équation caractéristique (un polynôme d'ordre m en λ) a des coefficients réels, il s'ensuit que ses racines apparaissent en paires conjuguées complexes, C'est, si α est une racine alors α∗ l'est aussi. Il y a 3 racines, donc au moins l'un d'entre eux doit être purement réel (+1 ou −1).

Après rappel de ces faits généraux de la théorie des matrices, on revient à la matrice de rotation R. Il découle de sa réalité et de son orthogonalité que nous pouvons trouver un U tel que: {style d'affichage mathbf {R} mathbf {tu} = mathbf {tu} {commencer{pmatrice}e ^{où est-il }&0&0\0&e^{-où est-il }&0\0&0&pm 1\end{pmatrice}}} Si une matrice U peut être trouvée qui donne la forme ci-dessus, et il n'y a qu'une seule composante purement réelle et c'est −1, alors nous définissons R comme une rotation impropre. Considérons seulement le cas, alors, de matrices R qui sont des rotations propres (la troisième valeur propre est juste 1). La troisième colonne du 3 × 3 la matrice U sera alors égale au vecteur invariant n. Ecrire u1 et u2 pour les deux premières colonnes de U, cette équation donne {style d'affichage mathbf {R} mathbf {tu} _{1}=e^{où est-il },mathbf {tu} _{1}quad {hbox{et}}quad mathbf {R} mathbf {tu} _{2}=e^{-où est-il },mathbf {tu} _{2}.} Si u1 a une valeur propre 1, alors φ = 0 et u2 a aussi une valeur propre 1, ce qui implique que dans ce cas R = E.

Pour terminer, l'équation matricielle est transformée au moyen d'une matrice unitaire, {style d'affichage mathbf {R} mathbf {tu} {commencer{pmatrice}{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {je}{sqrt {2}}}&0\{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {-je}{sqrt {2}}}&0\0&0&1\end{pmatrice}}= mathbf {tu} sous-couche {{commencer{pmatrice}{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {je}{sqrt {2}}}&0\{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {-je}{sqrt {2}}}&0\0&0&1\end{pmatrice}}{commencer{pmatrice}{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {1}{sqrt {2}}}&0\{frac {-je}{sqrt {2}}}&{frac {je}{sqrt {2}}}&0\0&0&1\end{pmatrice}}} _{=;mathbf {je} }{commencer{pmatrice}e ^{où est-il }&0&0\0&e^{-où est-il }&0\0&0&1\end{pmatrice}}{commencer{pmatrice}{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {je}{sqrt {2}}}&0\{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {-je}{sqrt {2}}}&0\0&0&1\end{pmatrice}}} qui donne {style d'affichage mathbf {Tu'} ^{dague }mathbf {R} mathbf {Tu'} ={commencer{pmatrice}cos phi &-sin phi &0\sin phi &cos phi &0\0&0&1\end{pmatrice}}quad {texte{ avec }}quad mathbf {Tu'} = mathbf {tu} {commencer{pmatrice}{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {je}{sqrt {2}}}&0\{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {-je}{sqrt {2}}}&0\0&0&1\end{pmatrice}}.} Les colonnes de U′ sont orthonormées. La troisième colonne est toujours n, les deux autres colonnes sont perpendiculaires à n. Nous pouvons maintenant voir comment notre définition de rotation incorrecte correspond à l'interprétation géométrique: une mauvaise rotation est une rotation autour d'un axe (ici, l'axe correspondant à la troisième coordonnée) et une réflexion sur un plan perpendiculaire à cet axe. Si on se limite aux matrices à déterminant 1, nous pouvons donc voir qu'il doit s'agir de rotations propres. Ce résultat implique que toute matrice orthogonale R correspondant à une rotation propre est équivalente à une rotation d'un angle φ autour d'un axe n.

Classes d'équivalence La trace (somme des éléments diagonaux) de la matrice de rotation réelle donnée ci-dessus est 1 + 2 parce que f. Puisqu'une trace est invariante sous une transformation de similarité matricielle orthogonale, {style d'affichage mathrm {Tr} la gauche[mathbf {UN} mathbf {R} mathbf {UN} ^{mathématiques {J}}droit]= mathrm {Tr} la gauche[mathbf {R} mathbf {UN} ^{mathématiques {J}}mathbf {UN} droit]= mathrm {Tr} [mathbf {R} ]quad {texte{ avec }}quad mathbf {UN} ^{mathématiques {J}}= mathbf {UN} ^{-1},} il s'ensuit que toutes les matrices équivalentes à R par de telles transformations matricielles orthogonales ont la même trace: la trace est une fonction de classe. Cette transformation matricielle est clairement une relation d'équivalence, C'est, toutes ces matrices équivalentes forment une classe d'équivalence.

En réalité, toute bonne rotation 3 × 3 les matrices de rotation forment un groupe, généralement noté SO(3) (le groupe orthogonal spécial dans 3 dimensions) et toutes les matrices avec la même trace forment une classe d'équivalence dans ce groupe. Tous les éléments d'une telle classe d'équivalence partagent leur angle de rotation, mais toutes les rotations se font autour d'axes différents. Si n est un vecteur propre de R de valeur propre 1, alors An est aussi un vecteur propre de ARAT, aussi avec valeur propre 1. A moins que A = I, n et An sont différents.

Applications Générateurs de rotations Articles principaux: Matrice de rotation, Groupe de rotation SO(3), et Transformation infinitésimale Supposons que nous spécifions un axe de rotation par un vecteur unitaire [X, y, z], et supposons que nous ayons une rotation infiniment petite d'angle Δθ autour de ce vecteur. Développer la matrice de rotation comme une addition infinie, et en adoptant l'approche du premier ordre, la matrice de rotation ΔR est représentée par: {style d'affichage Delta R={commencer{bmatrice}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{bmatrice}}+{commencer{bmatrice}0&z&-y\-z&0&x\y&-x&0end{bmatrice}},Delta thêta = mathbf {je} +mathbf {UN} ,Delta thêta .} Une rotation finie d'angle θ autour de cet axe peut être vue comme une succession de petites rotations autour du même axe. Approximation de Δθ comme θ / N où N est un grand nombre, une rotation de θ autour de l'axe peut être représentée par: {style d'affichage R=gauche(mathbf {1} +{frac {mathbf {UN} thêta }{N}}droit)^{N}environ e ^{mathbf {UN} thêta }.} On peut voir que le théorème d'Euler stipule essentiellement que toutes les rotations peuvent être représentées sous cette forme. Le produit Aθ est le "Générateur" de la rotation particulière, étant le vecteur (X,y,z) associé à la matrice A. Cela montre que la matrice de rotation et le format axe-angle sont liés par la fonction exponentielle.

On peut dériver une expression simple pour le générateur G. On part d'un plan quelconque (dans l'espace euclidien) défini par une paire de vecteurs unitaires perpendiculaires a et b. Dans ce plan on peut choisir un vecteur arbitraire x de perpendiculaire y. On résout alors pour y en termes de x et en remplaçant dans une expression une rotation dans un plan on obtient la matrice de rotation R qui inclut le générateur G = baT − abT.

{style d'affichage {commencer{aligné}mathbf {X} &=mathbf {un} cos alpha + mathbf {b} sin alpha mathbf {y} &=-mathbf {un} sin alpha +mathbf {b} cos alpha \[8pt]cos alpha &=mathbf {un} ^{mathématiques {J}}mathbf {X} \sin alpha &=mathbf {b} ^{mathématiques {J}}mathbf {X} \[8pixels]mathbf {y} &=-mathbf {un B} ^{mathématiques {J}}mathbf {X} +mathbf {ba} ^{mathématiques {J}}mathbf {X} =gauche(mathbf {ba} ^{mathématiques {J}}-mathbf {un B} ^{mathématiques {J}}droit)mathbf {X} \[8pixels]mathbf {X} '&=mathbf {X} cos bêta + mathbf {y} sin beta \&=left(mathbf {je} cos beta +gauche(mathbf {ba} ^{mathématiques {J}}-mathbf {un B} ^{mathématiques {J}}droit)péché bêta droit)mathbf {X} \[8pixels]mathbf {R} &=mathbf {je} cos beta +gauche(mathbf {ba} ^{mathématiques {J}}-mathbf {un B} ^{mathématiques {J}}droit)sin beta \&=mathbf {je} cos bêta + mathbf {g} sa version bêta \[8pixels]mathbf {g} &=mathbf {ba} ^{mathématiques {J}}-mathbf {un B} ^{mathématiques {J}}fin{aligné}}} Pour inclure des vecteurs en dehors du plan dans la rotation, il faut modifier l'expression ci-dessus pour R en incluant deux opérateurs de projection qui partitionnent l'espace. Cette matrice de rotation modifiée peut être réécrite comme une fonction exponentielle.

{style d'affichage {commencer{aligné}mathbf {P_{un B}} &=-mathbf {g} ^{2}\mathbf {R} &=mathbf {je} -mathbf {P_{un B}} +la gauche(mathbf {je} cos bêta + mathbf {g} péché bêta droit)mathbf {P_{un B}} =e^{mathbf {g} bêta }fin{aligné}}} L'analyse est souvent plus facile en termes de ces générateurs, plutôt que la matrice de rotation complète. L'analyse en termes de générateurs est connue sous le nom d' algèbre de Lie du groupe de rotation.

Quaternions Articles principaux: Opérateur de rotation tridimensionnelle et Quaternions et rotation spatiale Il découle du théorème d'Euler que l'orientation relative de toute paire de systèmes de coordonnées peut être spécifiée par un ensemble de trois nombres indépendants. Parfois, un quatrième nombre redondant est ajouté pour simplifier les opérations avec l'algèbre des quaternions. Trois de ces nombres sont les cosinus directeurs qui orientent le vecteur propre. Le quatrième est l'angle autour du vecteur propre qui sépare les deux ensembles de coordonnées. Un tel ensemble de quatre nombres s'appelle un quaternion.

Alors que le quaternion tel que décrit ci-dessus, n'implique pas de nombres complexes, si les quaternions sont utilisés pour décrire deux rotations successives, ils doivent être combinés à l'aide de l'algèbre de quaternion non commutative dérivée par William Rowan Hamilton grâce à l'utilisation de nombres imaginaires.

Le calcul de la rotation via des quaternions est venu remplacer l'utilisation des cosinus directeurs dans les applications aérospatiales grâce à leur réduction des calculs requis, et leur capacité à minimiser les erreurs d'arrondi. Aussi, en infographie, la possibilité d'effectuer une interpolation sphérique entre les quaternions avec une relative facilité est intéressante.

Généralisations Voir aussi: Rotations dans l'espace euclidien à 4 dimensions En dimensions supérieures, tout mouvement rigide qui préserve un point de dimension 2n ou 2n + 1 est une composition d'au plus n rotations dans des plans de rotation orthogonaux, bien que ces plans n'aient pas besoin d'être déterminés de manière unique, et un mouvement rigide peut fixer plusieurs axes.

Un mouvement de vis.

Un mouvement rigide en trois dimensions qui ne fixe pas nécessairement un point est un "mouvement de vis". En effet, une composition d'une rotation avec une translation perpendiculaire à l'axe est une rotation autour d'un axe parallèle, tandis que la composition avec une translation parallèle à l'axe produit un mouvement de vis; voir axe de vis. Cela donne lieu à la théorie de la vis.

Voir aussi Angles d'Euler Paramètres d'Euler – Rodrigues Formalismes de rotation en trois dimensions Vitesse angulaire Rotation autour d'un axe fixe Matrice exponentielle Représentation axe-angle Théorème de Chasles (cinématique), pour une extension concernant les déplacements généraux des corps rigides. Remarques ^ L'orientation est préservée dans le sens où si αA est tourné autour de A dans le sens antihoraire pour s'aligner avec OA, alors Aa doit être tourné d'environ un dans le sens inverse des aiguilles d'une montre pour s'aligner sur O'a. De même si les rotations sont dans le sens des aiguilles d'une montre. ^ Le symbole du poignard † représente une conjugaison complexe suivie d'une transposition. Pour les matrices réelles, la conjugaison complexe ne fait rien et poignarder une matrice réelle revient à la transposer. Références ^ Nouveaux commentaires de l'Académie pétropolitaine des sciences 20, 1776, pp. 189–207 (E478) Cet article incorpore du matériel de l'article Citizendium "Théorème d'Euler (rotation)", qui est sous licence Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Licence non portée mais pas sous la GFDL. Le théorème d'Euler et sa preuve sont contenus dans les paragraphes 24 à 26 de l'annexe (Ajout. pp. 201–203) de L. Euler (Léonhard Euler), Formules générales pour le transfert de tout corps rigide (Formules générales pour la translation de corps rigides arbitraires), présenté au St. Académie de Saint-Pétersbourg en octobre 9, 1775, et publié pour la première fois dans New Commentaries of the Petropolitan Academy of Sciences 20, 1776, pp. 189–207 (E478) et a été réimprimé dans Théorie du mouvement des corps rigides, éd. nova, 1790, pp. 449–460 (E478a) et plus tard dans ses œuvres complètes Opera Omnia, Série 2, Le volume 9, pp. 84–98. Palais, Bob; Palais, Richard; Rodi, Étienne (2009). "Un regard désorientant sur le théorème d'Euler sur l'axe d'une rotation". Mensuel mathématique américain. 116 (10): 892–909. est ce que je:10.4169/000298909x477014. Liens externes Traité original d'Euler dans The Euler Archive: entrée sur E478, première parution 1776 (pdf) Texte original d'Euler (en latin) et traduction en anglais (par Johan Sten) Projet de démonstration Wolfram pour le théorème de rotation d'Euler (par Tom Verhoeff) hide vte Leonhard Euler Equation d'Euler–LagrangeEquation d'Euler–LotkaFormule d'Euler–MaclaurinMéthode d'Euler–MaruyamaConstante d'Euler–MascheroniEquation d'Euler–Poisson–DarbouxFormule d'Euler–RodriguesEquation d'Euler–TricomiFormule de la fraction continue d'EulerCharge critique d'EulerFormule d'EulerIdentité des quatre carrés d'EulerIdentité d'EulerEquation de la pompe et de la turbine d'EulerThéorème de rotation d'EulerSomme d'Euler de puissances conjecturethéorème d'Euleréquations d'Euler (dynamique des fluides)Fonction d'EulerMéthode d'EulerNombre d'EulerNombre d'Euler (la physique)Théorie des faisceaux d'Euler – Bernoulli Homonymes Catégorie Catégories: Symétries euclidiennesThéorèmes de géométrieRotation en trois dimensionsLeonhard Euler