Hüllkurvensatz

Hüllkurvensatz Dieser Artikel ist für die meisten Leser möglicherweise zu technisch, um ihn zu verstehen. Bitte helfen Sie mit, es zu verbessern, damit es für Laien verständlich wird, ohne die technischen Details zu entfernen. (November 2021) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlagennachricht entfernen können) In Mathematik und Wirtschaftswissenschaften, Das Hüllkurventheorem ist ein wichtiges Ergebnis über die Differenzierbarkeitseigenschaften der Wertfunktion eines parametrisierten Optimierungsproblems.[1] Wenn wir die Parameter des Ziels ändern, das zeigt der Hüllkurvensatz, in gewissem Sinne, Änderungen im Optimierer des Ziels tragen nicht zur Änderung der Zielfunktion bei. Das Hüllkurventheorem ist ein wichtiges Werkzeug für die vergleichende Statik von Optimierungsmodellen.[2] Der Begriff Hüllkurve leitet sich von der Beschreibung des Graphen der Wertfunktion als ab "oberen Umschlag" der Graphen der parametrisierten Funktionsschar {Anzeigestil links{geflogen(x,cdot richtig)Rechts}_{xin X}} die optimiert sind.

Inhalt 1 Aussage 2 Für beliebige Auswahlmengen 3 Anwendungen 3.1 Anwendungen in der Produzententheorie 3.2 Anwendungen zum Mechanismusdesign und zur Auktionstheorie 3.3 Anwendungen auf mehrdimensionale Parameterräume 3.4 Anwendungen auf parametrisierte Einschränkungen 3.5 Andere Anwendungen 4 Siehe auch 5 Referenzen Statement Let {Anzeigestil f(x,Alpha )} und {Anzeigestil g_{j}(x,Alpha ),j=1,2,lPunkte ,m} reellwertige stetig differenzierbare Funktionen sein {Anzeigestil mathbb {R} ^{n+l}} , wo {Anzeigestil xin mathbb {R} ^{n}} sind Wahlvariablen und {displaystyle alpha in mathbb {R} ^{l}} sind Parameter, und betrachte das Problem der Wahl {Anzeigestil x} , für ein gegebenes {Anzeigestil alpha } , um: {Anzeigestil max _{x}f(x,Alpha )} unterliegen {Anzeigestil g_{j}(x,Alpha )geq 0,j=1,2,ldots ,m} und {Anzeigestil xgeq 0} .

Der Lagrange-Ausdruck dieses Problems ist gegeben durch {Anzeigestil {mathematisch {L}}(x,Lambda ,Alpha )= f(x,Alpha )+Lambda cdot g(x,Alpha )} wo {Anzeigestil Lambda in mathbb {R} ^{m}} sind die Lagrange-Multiplikatoren. Nun lass {Anzeigestil x^{Ast }(Alpha )} und {Anzeigestil Lambda ^{Ast }(Alpha )} zusammen die Lösung sein, die die Zielfunktion f unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen maximiert (und sind daher Sattelpunkte des Lagrange), {Anzeigestil {mathematisch {L}}^{Ast }(Alpha )Äquivalent f(x^{Ast }(Alpha ),Alpha )+Lambda ^{Ast }(Alpha )cdot g(x^{Ast }(Alpha ),Alpha ),} und definiere die Wertfunktion {Anzeigestil V(Alpha )Äquivalent f(x^{Ast }(Alpha ),Alpha ).} Dann haben wir den folgenden Satz.[3][4] Satz: Annehmen, dass {Anzeigestil V} und {Anzeigestil {mathematisch {L}}} sind stetig differenzierbar. Dann {Anzeigestil {frac {teilweise v(Alpha )}{teilweise Alpha _{k}}}={frac {teilweise {mathematisch {L}}^{Ast }(Alpha )}{teilweise Alpha _{k}}}={frac {teilweise {mathematisch {L}}(x^{Ast }(Alpha ),Lambda ^{Ast }(Alpha ),Alpha )}{teilweise Alpha _{k}}},k=1,2,lPunkte ,l} wo {Anzeigestil teilweise {mathematisch {L}}/teilweise Alpha _{k}=teil f/teil alpha _{k}+Lambda cdot partiell g/partiell alpha _{k}} .

Für beliebige Auswahlmengen sei Let {Anzeigestil X} bezeichne die Auswahlmenge und sei der relevante Parameter {displaystyle zinnhalter 0,1]} . Vermietung {Anzeigestil f:Xtimes lbrack 0,1]Rechtspfeil R} bezeichnen die parametrisierte Zielfunktion, die Wertfunktion {Anzeigestil V} und die optimale Wahlkorrespondenz (satzwertige Funktion) {Anzeigestil X^{Ast }} werden von gegeben: {Anzeigestil V(t)=sup _{xin X}f(x,t)} (1) {Anzeigestil X^{Ast }(t)={xin X:f(x,t)=V(t)}} (2) "Hüllkurvensätze" beschreiben hinreichende Bedingungen für die Wertfunktion {Anzeigestil V} im Parameter differenzierbar sein {Anzeigestil t} und beschreibe seine Ableitung als {Anzeigestil V^{prim }links(recht)=f_{t}links(x,recht){Text{ für jeden }}xin X^{Ast }links(recht),} (3) wo {Anzeigestil f_{t}} bezeichnet die partielle Ableitung von {Anzeigestil f} in Gedenken an {Anzeigestil t} . Nämlich, die Ableitung der Wertfunktion in Bezug auf den Parameter ist gleich der partiellen Ableitung der Zielfunktion in Bezug auf {Anzeigestil t} Festhalten des Maximierers auf seinem optimalen Niveau.

Herkömmliche Ableitungen des Hülltheorems verwenden die Bedingung erster Ordnung für (1), was erfordert, dass die Auswahl gesetzt wird {Anzeigestil X} haben die konvexe und topologische Struktur, und die Zielfunktion {Anzeigestil f} in der Variablen differenzierbar sein {Anzeigestil x} . (Das Argument ist, dass Änderungen im Maximierer nur a haben "Effekt zweiter Ordnung" im Optimum und kann daher vernachlässigt werden.) Jedoch, in vielen Anwendungen wie der Analyse von Anreizbeschränkungen in der Vertragstheorie und Spieltheorie, nichtkonvexe Produktionsprobleme, und "monoton" oder "robust" Vergleichende Statistiken, den Auswahlmengen und Zielfunktionen fehlen im Allgemeinen die Topologie- und Konvexitätseigenschaften, die von den traditionellen Hüllkurventheoremen gefordert werden.

Paul Milgrom und Segal (2002) Beachten Sie, dass die traditionelle Hüllkurvenformel für Optimierungsprobleme mit beliebigen Auswahlmengen an jedem Differenzierbarkeitspunkt der Wertfunktion gilt,[5] sofern die Zielfunktion im Parameter differenzierbar ist: Satz 1: Lassen {Displaystyle-Dose links(0,1Rechts)} und {Anzeigestil xin X^{Ast }links(recht)} . Wenn beides {Anzeigestil V^{prim }links(recht)} und {Anzeigestil f_{t}links(x,recht)} existieren, die Hüllformel (3) hält.

Nachweisen: Gleichung (1) impliziert, dass für {Anzeigestil xin X^{Ast }links(recht)} , {Anzeigestil max _{Sünde übrig[0,1Rechts]}links[geflogen(x,klar)-Gültigkeit(klar)Rechts]= links(x,recht)-Gültigkeit(recht)=0.} Unter den Annahmen, die Zielfunktion des dargestellten Maximierungsproblems ist bei differenzierbar {Anzeigestil s=t} , und die Bedingung erster Ordnung für diese Maximierung ist genau die Gleichung (3). Q.E.D.

Während die Differenzierbarkeit der Wertfunktion im Allgemeinen starke Annahmen erfordert, in vielen Anwendungen schwächere Bedingungen wie absolute Kontinuität, Differenzierbarkeit fast überall, oder links- und Rechtsdifferenzierbarkeit, genügen. Im Speziellen, Milgrom und Segals (2002) Satz 2 bietet eine hinreichende Bedingung für {Anzeigestil V} absolut stetig sein,[5] was bedeutet, dass es fast überall differenzierbar ist und als Integral seiner Ableitung dargestellt werden kann: Satz 2: Nehme an, dass {Anzeigestil f(x,cdot )} ist absolut kontinuierlich für alle {Anzeigestil xin X} . Nehmen Sie außerdem an, dass es eine integrierbare Funktion gibt {Anzeigestil b:[0,1]} {Anzeigestil Rechtspfeil } {Anzeigestil mathbb {R} _{+}} so dass {Anzeigestil |f_{t}(x,t)|leq b(t)} für alle {Anzeigestil xin X} und fast alle {displaystyle zinnhalter 0,1]} . Dann {Anzeigestil V} ist absolut stetig. Vermuten, zusätzlich, das {Anzeigestil f(x,cdot )} ist für alle differenzierbar {Anzeigestil xin X} , und das {Anzeigestil X^{Ast }(t)neq varnothing } fast überall auf {Anzeigestil [0,1]} . Dann für eine beliebige Auswahl {Anzeigestil x^{Ast }(t)in X^{Ast }(t)} , {Anzeigestil V(t)=V(0)+int _{0}^{t}f_{t}(x^{Ast }(s),s)DS.} (4) Nachweisen: Verwenden (1)(1), Beachten Sie das für alle {Anzeigestil t^{prim },t^{Primzahl Primzahl }in lbrack 0,1]} mit {Anzeigestil t^{prim }0} für alle {Displaystyle-Dose links[0,1Rechts]} . Unter diesen Annahmen, Es ist wohlbekannt, dass das obige beschränkte Optimierungsprogramm als ein Sattelpunktproblem für die Lagrange-Funktion dargestellt werden kann {Anzeigestil links(x,Lambda ,recht)= f(x,t)+Lambda cdot gleft(x,recht)} , wo {Anzeigestil Lambda in mathbb {R} _{+}^{K}} ist der Vektor der Lagrange-Multiplikatoren, der vom Gegner gewählt wird, um den Lagrange-Operator zu minimieren.[20][Seite benötigt][21][Seite benötigt] Dies ermöglicht die Anwendung von Milgrom und Segal (2002, Satz 4) Hüllkurvensatz für Sattelpunktprobleme,[5] unter den zusätzlichen Annahmen, dass {Anzeigestil X} ist eine kompakte Menge in einem normierten linearen Raum, {Anzeigestil f} und {Anzeigestil g} sind durchgehend drin {Anzeigestil x} , und {Anzeigestil f_{t}} und {Anzeigestil g_{t}} sind durchgehend drin {Anzeigestil links(x,recht)} . Im Speziellen, vermieten {Anzeigestil links(x^{Ast }(t),Lambda ^{Ast }links(recht)Rechts)} bezeichnen den Lagrange-Sattelpunkt für den Parameterwert {Anzeigestil t} , der Satz impliziert das {Anzeigestil V} ist absolut stetig und erfüllt {Anzeigestil V(t)=V(0)+int _{0}^{t}L_{t}(x^{Ast }(s),Lambda ^{Ast }links(klar),s)DS.} Für den Sonderfall, in dem {displaystyle fleft(x,recht)} ist unabhängig von {Anzeigestil t} , {Anzeigestil K=1} , und {Anzeigestil gleft(x,recht)= links(xrichtig)+t} , die Formel impliziert das {Anzeigestil V^{prim }(t)=L_{t}(x^{Ast }(t),Lambda ^{Ast }links(recht),t)=Lambda ^{Ast }links(recht)} für a.e. {Anzeigestil t} . Das ist, der Lagrange-Multiplikator {Anzeigestil Lambda ^{Ast }links(recht)} auf die Einschränkung ist seine "Schattenpreis" im Optimierungsprogramm.[21][Seite benötigt] Andere Anwendungen Milgrom und Segal (2002) zeigen, dass die verallgemeinerte Version der Hüllkurventheoreme auch auf die konvexe Programmierung angewendet werden kann, ständige Optimierungsprobleme, Sattelpunktprobleme, und optimale Halteprobleme.[5] Siehe auch Maximumsatz Satz von Danskin Lemma von Hotelling Prinzip von Le Chatelier Roys Identität Wertfunktion Referenzen ^ Grenze, Kim C. (2019). "Verschiedene Anmerkungen zur Optimierungstheorie und verwandten Themen" (Pdf). Vorlesungsnotizen. Kalifornisches Institut der Technologie: 154. ^ Carter, Michael (2001). Grundlagen der mathematischen Ökonomie. Cambridge: MIT Press. pp. 603–609. ISBN 978-0-262-53192-4. ^ Afrika, S. N. (1971). "Theorie der Maxima und die Methode von Lagrange". 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