Teorema da convergência dominada

Teorema da convergência dominada Na teoria da medida, O teorema da convergência dominada de Lebesgue fornece condições suficientes sob as quais quase toda a convergência de uma sequência de funções implica convergência na norma L1. Seu poder e utilidade são duas das principais vantagens teóricas da integração de Lebesgue sobre a integração de Riemann.

Além de sua aparição frequente em análises matemáticas e equações diferenciais parciais, é amplamente utilizado na teoria da probabilidade, uma vez que dá uma condição suficiente para a convergência de valores esperados de variáveis ​​aleatórias.

Conteúdo 1 Declaração 2 Prova 3 Discussão das premissas 4 Teorema da convergência limitada 4.1 Prova 5 Convergência dominada em espaços Lp (corolário) 6 Extensões 7 Veja também 8 Notas 9 References Statement Lebesgue's dominated convergence theorem.[1] Deixar {estilo de exibição (f_{n})} ser uma sequência de funções mensuráveis ​​de valor complexo em um espaço de medida {estilo de exibição (S,Sigma ,dentro )} . Suponha que a sequência convirja pontualmente para uma função {estilo de exibição f} e é dominado por alguma função integrável {estilo de exibição g} no sentido de que {estilo de exibição |f_{n}(x)|leq g(x)} para todos os números n no conjunto índice da sequência e todos os pontos {estilo de exibição xin S} . Então f é integrável (no sentido de Lebesgue) e {displaystyle lim _{até o infinito }int_{S}|f_{n}-f|,dm = 0} o que também implica {displaystyle lim _{até o infinito }int_{S}f_{n},sangue = você _{S}f,dmu } Observação 1. A declaração "g é integrável" significa que a função mensurável {estilo de exibição g} é Lebesgue integrável; ou seja.

{estilo de exibição int _{S}|g|,dmu n} , e zero em qualquer outro lugar. As séries (fn) converge no sentido de 0, então f é identicamente zero, mas {estilo de exibição |f_{n}-f|=f_{n}} não é Riemann integrável, já que sua imagem em cada intervalo finito é {estilo de exibição {0,1}} e assim as integrais de Darboux superior e inferior são 1 e 0, respectivamente.

Proof Without loss of generality, pode-se supor que f é real, porque se pode dividir f em suas partes reais e imaginárias (lembre-se que uma sequência de números complexos converge se e somente se suas contrapartes reais e imaginárias convergem) e aplique a desigualdade triangular no final.

O teorema da convergência dominada de Lebesgue é um caso especial do teorema de Fatou-Lebesgue. Abaixo de, Contudo, é uma prova direta que usa o lema de Fatou como ferramenta essencial.

Como f é o limite pontual da sequência (fn) de funções mensuráveis ​​que são dominadas por g, também é mensurável e dominado por g, por isso é integrável. Além disso, (estes serão necessários mais tarde), {estilo de exibição |f-f_{n}|leq |f|+|f_{n}|leq 2g} para todo n e {displaystyle limsup _{até o infinito }|f-f_{n}|=0.} A segunda delas é trivialmente verdadeira (pela própria definição de f). Usando linearidade e monotonicidade da integral de Lebesgue, {estilo de exibição à esquerda|int_{S}{f,dmu }-int_{S}{f_{n},dmu }certo|= esquerda|int_{S}{(f-f_{n}),dmu }certo|leq int _{S}{|f-f_{n}|,dmu }.} Pelo lema de Fatou reverso (é aqui que usamos o fato de que |f−fn| é limitado acima por uma função integrável) {displaystyle limsup _{até o infinito }int_{S}|f-f_{n}|,dmu leq int _{S}limsup_{até o infinito }|f-f_{n}|,dm = 0,} o que implica que o limite existe e se anula, ou seja,.

{displaystyle lim _{até o infinito }int_{S}|f-f_{n}|,dm = 0.} Finalmente, desde {displaystyle lim _{até o infinito }deixei|int_{S}fdmu - você _{S}f_{n}dmu certo|leq lim _{até o infinito }int_{S}|f-f_{n}|,dm = 0.} nós temos isso {displaystyle lim _{até o infinito }int_{S}f_{n},sangue = você _{S}f,dmu .} O teorema agora segue.

Se as suposições valem apenas μ-quase em todos os lugares, then there exists a μ-null set N ∈ Σ such that the functions fn 1S  N satisfy the assumptions everywhere on S. Então a função f(x) definido como o limite pontual de fn(x) para x ∈ S  N e por f(x) = 0 para x ∈ N, é mensurável e é o limite pontual desta sequência de função modificada. The values of these integrals are not influenced by these changes to the integrands on this μ-null set N, então o teorema continua valendo.

DCT é válido mesmo se fn converge para f na medida (medida finita) e a função dominante é não negativa em quase todos os lugares.

Discussion of the assumptions The assumption that the sequence is dominated by some integrable g cannot be dispensed with. Isso pode ser visto a seguir: definir fn(x) = n para x no intervalo (0, 1/n] e fn(x) = 0 por outro lado. Qualquer g que domine a sequência também deve dominar o supremo pontual h = supn fn. Observe aquilo {estilo de exibição int _{0}^{1}h(x),você gosta _{fratura {1}{m}}^{1}{h(x),dx}=soma _{n=1}^{m-1}int_{deixei({fratura {1}{n+1}},{fratura {1}{n}}certo]}{h(x),dx}soma geq _{n=1}^{m-1}int_{deixei({fratura {1}{n+1}},{fratura {1}{n}}certo]}{n,dx}=soma _{n=1}^{m-1}{fratura {1}{n+1}}para infty qquad {texto{Como }}rio infinito } pela divergência da série harmônica. Por isso, a monotonicidade da integral de Lebesgue nos diz que não existe nenhuma função integrável que domine a sequência em [0,1]. Um cálculo direto mostra que a integração e o limite pontual não comutam para esta sequência: {estilo de exibição int _{0}^{1}lim_{até o infinito }f_{n}(x),dx=0neq 1=lim _{até o infinito }int_{0}^{1}f_{n}(x),dx,} porque o limite pontual da sequência é a função zero. Observe que a sequência (fn) não é uniformemente integrável, portanto, também o teorema da convergência de Vitali não é aplicável.

Bounded convergence theorem One corollary to the dominated convergence theorem is the bounded convergence theorem, que afirma que se (fn) é uma sequência de funções mensuráveis ​​de valor complexo uniformemente limitadas que convergem pontualmente em um espaço de medida limitado (S, S, m) (ou seja. aquele em que µ(S) é finito) para uma função f, então o limite f é uma função integrável e {displaystyle lim _{até o infinito }int_{S}{f_{n},dmu }=int_{S}{f,dmu }.} Observação: A convergência pontual e o limite uniforme da sequência podem ser relaxados para manter apenas μ-quase em todos os lugares, desde o espaço de medida (S, S, m) é completa ou f é escolhida como uma função mensurável que concorda μ-quase em todo lugar com o limite pontual μ-quase em todo lugar existente.

Proof Since the sequence is uniformly bounded, existe um número real M tal que |fn(x)| ≤ M para todo x ∈ S e para todo n. Definir g(x) = M para todo x ∈ S. Então a sequência é dominada por g. Além disso, g é integrável, pois é uma função constante em um conjunto de medida finita. Portanto, o resultado segue do teorema da convergência dominada.

Se as suposições valem apenas μ-quase em todos os lugares, then there exists a μ-null set N ∈ Σ such that the functions fn1SN satisfy the assumptions everywhere on S.

Convergência dominada em espaços Lp (corolário) Deixar {estilo de exibição (Ómega ,{matemática {UMA}},dentro )} ser um espaço de medida, {estilo de exibição 1leq p

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