Teorema di convergenza dominata

Teorema della convergenza dominata Nella teoria della misura, Il teorema della convergenza dominata di Lebesgue fornisce condizioni sufficienti in cui quasi ovunque la convergenza di una sequenza di funzioni implica la convergenza nella norma L1. La sua potenza e utilità sono due dei principali vantaggi teorici dell'integrazione di Lebesgue rispetto all'integrazione di Riemann.

Oltre alla sua frequente apparizione nell'analisi matematica e nelle equazioni alle derivate parziali, è ampiamente utilizzato nella teoria della probabilità, poiché fornisce una condizione sufficiente per la convergenza dei valori attesi di variabili casuali.

Contenuti 1 Dichiarazione 2 Prova 3 Discussione delle ipotesi 4 Teorema della convergenza limitata 4.1 Prova 5 Convergenza dominata negli spazi Lp (corollario) 6 Estensioni 7 Guarda anche 8 Appunti 9 References Statement Lebesgue's dominated convergence theorem.[1] Permettere {stile di visualizzazione (f_{n})} essere una sequenza di funzioni misurabili a valori complessi su uno spazio di misure {stile di visualizzazione (S,Sigma ,in )} . Supponiamo che la successione converga in modo puntuale a una funzione {stile di visualizzazione f} ed è dominato da qualche funzione integrabile {stile di visualizzazione g} nel senso che {stile di visualizzazione |f_{n}(X)|leq g(X)} per tutti i numeri n nell'insieme di indici della sequenza e tutti i punti {stile di visualizzazione xin S} . Allora f è integrabile (nel senso di Lebesgue) e {displaystyle lim _{infty }int _{S}|f_{n}-f|,dm =0} il che implica anche {displaystyle lim _{infty }int _{S}f_{n},sangue = tu _{S}f,dm } Nota 1. La dichiarazione "g è integrabile" significa quella funzione misurabile {stile di visualizzazione g} è Lebesgue integrabile; cioè.

{displaystyle int _{S}|g|,dm n} , e zero ovunque. La serie (fn) converge puntualmente a 0, quindi f è identicamente zero, ma {stile di visualizzazione |f_{n}-f|=f_{n}} non è Riemann integrabile, poiché la sua immagine in ogni intervallo finito è {stile di visualizzazione {0,1}} e quindi sono gli integrali di Darboux superiore e inferiore 1 e 0, rispettivamente.

Proof Without loss of generality, si può presumere che f sia reale, perché si può dividere f nelle sue parti reali e immaginarie (ricorda che una sequenza di numeri complessi converge se e solo se convergono sia la sua controparte reale che quella immaginaria) e applica la disuguaglianza triangolare alla fine.

Il teorema della convergenza dominata di Lebesgue è un caso speciale del teorema di Fatou-Lebesgue. Sotto, però, è una prova diretta che utilizza il lemma di Fatou come strumento essenziale.

Poiché f è il limite puntuale della successione (fn) di funzioni misurabili dominate da g, è anche misurabile e dominato da g, quindi è integrabile. Inoltre, (questi saranno necessari in seguito), {stile di visualizzazione |f-f_{n}|leq |f|+|f_{n}|leq 2g} per tutti n e {displaystyle limsup _{infty }|f-f_{n}|=0.} Il secondo di questi è banalmente vero (per la stessa definizione di f). Utilizzo della linearità e della monotonia dell'integrale di Lebesgue, {stile di visualizzazione a sinistra|int _{S}{f,dm }-int _{S}{f_{n},dm }Giusto|= sinistra|int _{S}{(f-f_{n}),dm }Giusto|leq int _{S}{|f-f_{n}|,dm }.} Per il lemma di Fatou inverso (è qui che usiamo il fatto che |f-fn| è delimitata in alto da una funzione integrabile) {displaystyle limsup _{infty }int _{S}|f-f_{n}|,dmu leq int _{S}limare _{infty }|f-f_{n}|,dm =0,} il che implica che il limite esiste e svanisce, cioè.

{displaystyle lim _{infty }int _{S}|f-f_{n}|,dm =0.} Infine, da {displaystyle lim _{infty }sinistra|int _{S}fdmu - tu _{S}f_{n}dm giusto|leq lim _{infty }int _{S}|f-f_{n}|,dm =0.} abbiamo quello {displaystyle lim _{infty }int _{S}f_{n},sangue = tu _{S}f,dm .} Segue ora il teorema.

Se le ipotesi valgono solo μ-quasi ovunque, then there exists a μ-null set N ∈ Σ such that the functions fn 1S  N satisfy the assumptions everywhere on S. Quindi la funzione f(X) definito come il limite puntuale di fn(X) per x ∈ S  N e per f(X) = 0 per x ∈ N, è misurabile ed è il limite puntuale di questa sequenza di funzioni modificata. The values of these integrals are not influenced by these changes to the integrands on this μ-null set N, quindi il teorema continua a valere.

DCT vale anche se fn converge a f in misura (misura finita) e la funzione dominante è non negativa quasi ovunque.

Discussion of the assumptions The assumption that the sequence is dominated by some integrable g cannot be dispensed with. Questo può essere visto come segue: definire fn(X) = n per x nell'intervallo (0, 1/n] e fn(X) = 0 altrimenti. Qualsiasi g che domini la successione deve anche dominare il supremum puntuale h = supn fn. Osservalo {displaystyle int _{0}^{1}h(X),ti piace _{frac {1}{m}}^{1}{h(X),dx}=somma _{n=1}^{m-1}int _{sinistra({frac {1}{n+1}},{frac {1}{n}}Giusto]}{h(X),dx}somma geq _{n=1}^{m-1}int _{sinistra({frac {1}{n+1}},{frac {1}{n}}Giusto]}{n,dx}=somma _{n=1}^{m-1}{frac {1}{n+1}}a infty qquad {testo{come }}fiume infty } dalla divergenza della serie armonica. Quindi, la monotonia dell'integrale di Lebesgue ci dice che non esiste alcuna funzione integrabile che domini la sequenza su [0,1]. Un calcolo diretto mostra che l'integrazione e il limite puntuale non commutano per questa sequenza: {displaystyle int _{0}^{1}lim _{infty }f_{n}(X),dx=0neq 1=lim _{infty }int _{0}^{1}f_{n}(X),dx,} perché il limite puntuale della sequenza è la funzione zero. Si noti che la sequenza (fn) non è nemmeno uniformemente integrabile, quindi anche il teorema di convergenza di Vitali non è applicabile.

Bounded convergence theorem One corollary to the dominated convergence theorem is the bounded convergence theorem, che afferma che se (fn) è una sequenza di funzioni misurabili a valori complessi uniformemente limitate che converge in modo puntuale su uno spazio di misura limitato (S, S, m) (cioè. uno in cui μ(S) è finito) ad una funzione f, allora il limite f è una funzione integrabile e {displaystyle lim _{infty }int _{S}{f_{n},dm }=int _{S}{f,dm }.} Nota: La convergenza puntuale e la limitatezza uniforme della sequenza possono essere rilassate per contenere solo μ-quasi ovunque, fornito lo spazio di misura (S, S, m) è completo oppure f è scelto come funzione misurabile che concorda μ-quasi ovunque con il limite puntuale esistente di μ-quasi ovunque.

Proof Since the sequence is uniformly bounded, esiste un numero reale M tale che |fn(X)| ≤ M per ogni x ∈ S e per ogni n. Definisci g(X) = M per ogni x ∈ S. Quindi la sequenza è dominata da g. Inoltre, g è integrabile poiché è una funzione costante su un insieme di misura finita. Perciò, il risultato segue dal teorema della convergenza dominata.

Se le ipotesi valgono solo μ-quasi ovunque, then there exists a μ-null set N ∈ Σ such that the functions fn1SN satisfy the assumptions everywhere on S.

Convergenza dominata negli spazi Lp (corollario) Permettere {stile di visualizzazione (Omega ,{matematico {UN}},in )} essere uno spazio di misura, {displaystyle 1leq p

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