Théorème de convergence dominé
Théorème de convergence dominée En théorie de la mesure, Le théorème de convergence dominée de Lebesgue fournit des conditions suffisantes dans lesquelles presque partout la convergence d'une séquence de fonctions implique la convergence dans la norme L1. Sa puissance et son utilité sont deux des principaux avantages théoriques de l'intégration de Lebesgue par rapport à l'intégration de Riemann.
En plus de son apparition fréquente dans l'analyse mathématique et les équations aux dérivées partielles, il est largement utilisé dans la théorie des probabilités, car il donne une condition suffisante pour la convergence des valeurs attendues des variables aléatoires.
Contenu 1 Déclaration 2 Preuve 3 Discussion des hypothèses 4 Théorème de convergence bornée 4.1 Preuve 5 Convergence dominée dans les espaces Lp (corollaire) 6 Rallonges 7 Voir également 8 Remarques 9 References Statement Lebesgue's dominated convergence theorem.[1] Laisser {style d'affichage (F_{n})} être une séquence de fonctions mesurables à valeurs complexes sur un espace de mesure {style d'affichage (S,Sigma ,dans )} . Supposons que la suite converge ponctuellement vers une fonction {style d'affichage f} et est dominé par une fonction intégrable {style d'affichage g} dans le sens où {style d'affichage |F_{n}(X)|leqg(X)} pour tous les nombres n dans l'ensemble d'indices de la séquence et tous les points {style d'affichage xin S} . Alors f est intégrable (au sens de Lebesgue) et {style d'affichage lim _{pas trop }entier _{S}|F_{n}-F|,dmu =0} ce qui implique aussi {style d'affichage lim _{pas trop }entier _{S}F_{n},sang = toi _{S}F,dmu } Remarque 1. La déclaration "g est intégrable" signifie que la fonction mesurable {style d'affichage g} est Lebesgue intégrable; c'est à dire.
{style d'affichage entier _{S}|g|,dmu
Proof Without loss of generality, on peut supposer que f est réel, car on peut décomposer f en ses parties réelles et imaginaires (rappelez-vous qu'une suite de nombres complexes converge si et seulement si ses homologues réels et imaginaires convergent) et appliquer l'inégalité triangulaire à la fin.
Le théorème de convergence dominée de Lebesgue est un cas particulier du théorème de Fatou-Lebesgue. Dessous, toutefois, est une preuve directe qui utilise le lemme de Fatou comme outil essentiel.
Puisque f est la limite ponctuelle de la suite (fn) de fonctions mesurables dominées par g, elle est aussi mesurable et dominée par g, il est donc intégrable. Par ailleurs, (ceux-ci seront nécessaires plus tard), {style d'affichage |f-f_{n}|leq |F|+|F_{n}|leq 2g} pour tout n et {style d'affichage limsup _{pas trop }|f-f_{n}|=0.} La seconde d'entre elles est trivialement vraie (par la définition même de f). Utilisation de la linéarité et de la monotonie de l'intégrale de Lebesgue, {style d'affichage à gauche|entier _{S}{F,dmu }-entier _{S}{F_{n},dmu }droit|=gauche|entier _{S}{(f-f_{n}),dmu }droit|leq entier _{S}{|f-f_{n}|,dmu }.} Par le lemme de Fatou inverse (c'est ici qu'on utilise le fait que |f−fn| est majoré par une fonction intégrable) {style d'affichage limsup _{pas trop }entier _{S}|f-f_{n}|,dmu leq entier _{S}limsup _{pas trop }|f-f_{n}|,dmu =0,} ce qui implique que la limite existe et disparaît, c'est-à-dire.
{style d'affichage lim _{pas trop }entier _{S}|f-f_{n}|,dmu =0.} Pour terminer, puisque {style d'affichage lim _{pas trop }la gauche|entier _{S}fdmu - vous _{S}F_{n}dmu à droite|leq lim _{pas trop }entier _{S}|f-f_{n}|,dmu =0.} on a ça {style d'affichage lim _{pas trop }entier _{S}F_{n},sang = toi _{S}F,dmu .} Le théorème suit maintenant.
Si les hypothèses ne tiennent que μ-presque partout, then there exists a μ-null set N ∈ Σ such that the functions fn 1S N satisfy the assumptions everywhere on S. Alors la fonction f(X) défini comme la limite ponctuelle de fn(X) pour x ∈ S N et par f(X) = 0 pour x ∈ N, est mesurable et est la limite ponctuelle de cette séquence de fonctions modifiée. The values of these integrals are not influenced by these changes to the integrands on this μ-null set N, donc le théorème reste valable.
DCT est valable même si fn converge vers f en mesure (mesure finie) et la fonction dominante est positive presque partout.
Discussion of the assumptions The assumption that the sequence is dominated by some integrable g cannot be dispensed with. Cela peut être vu comme suit: définir fn(X) = n pour x dans l'intervalle (0, 1/n] et fn(X) = 0 Par ailleurs. Tout g qui domine la suite doit aussi dominer le supremum ponctuel h = supn fn. Observe ceci {style d'affichage entier _{0}^{1}h(X),aimez-vous _{frac {1}{m}}^{1}{h(X),dx}=somme _{n=1}^{m-1}entier _{la gauche({frac {1}{n+1}},{frac {1}{n}}droit]}{h(X),dx}geq somme _{n=1}^{m-1}entier _{la gauche({frac {1}{n+1}},{frac {1}{n}}droit]}{n,dx}=somme _{n=1}^{m-1}{frac {1}{n+1}}à infty qquad {texte{comme }}rivière infty } par la divergence de la série harmonique. Ainsi, la monotonicité de l'intégrale de Lebesgue nous dit qu'il n'existe pas de fonction intégrable qui domine la suite sur [0,1]. Un calcul direct montre que l'intégration et la limite ponctuelle ne commutent pas pour cette séquence: {style d'affichage entier _{0}^{1}lim _{pas trop }F_{n}(X),dx=0neq 1=lim _{pas trop }entier _{0}^{1}F_{n}(X),dx,} car la limite ponctuelle de la suite est la fonction zéro. A noter que la séquence (fn) n'est même pas uniformément intégrable, donc aussi le théorème de convergence de Vitali n'est pas applicable.
Bounded convergence theorem One corollary to the dominated convergence theorem is the bounded convergence theorem, qui stipule que si (fn) est une séquence de fonctions mesurables à valeurs complexes uniformément bornées qui converge ponctuellement sur un espace de mesure borné (S, S, m) (c'est à dire. un dans lequel μ(S) est fini) à une fonction f, alors la limite f est une fonction intégrable et {style d'affichage lim _{pas trop }entier _{S}{F_{n},dmu }=int _{S}{F,dmu }.} Remarque: La convergence ponctuelle et la délimitation uniforme de la séquence peuvent être assouplies pour ne contenir que μ-presque partout, fourni l'espace de mesure (S, S, m) est complet ou f est choisi comme une fonction mesurable qui s'accorde μ-presque partout avec la limite ponctuelle existante μ-presque partout.
Proof Since the sequence is uniformly bounded, il existe un nombre réel M tel que |fn(X)| ≤ M pour tout x ∈ S et pour tout n. Définir g(X) = M pour tout x ∈ S. Alors la suite est dominée par g. Par ailleurs, g est intégrable puisque c'est une fonction constante sur un ensemble de mesure finie. Par conséquent, le résultat découle du théorème de convergence dominée.
Si les hypothèses ne tiennent que μ-presque partout, then there exists a μ-null set N ∈ Σ such that the functions fn1SN satisfy the assumptions everywhere on S.
Convergence dominée dans les espaces Lp (corollaire) Laisser {style d'affichage (Oméga ,{mathématique {UN}},dans )} être un espace de mesure, {style d'affichage 1leq p
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