Satz von der dominierten Konvergenz

Satz der dominierten Konvergenz in der Maßtheorie, Lebesgues Satz über die dominierte Konvergenz liefert ausreichende Bedingungen, unter denen fast überall die Konvergenz einer Folge von Funktionen die Konvergenz in der L1-Norm impliziert. Seine Leistungsfähigkeit und Nützlichkeit sind zwei der wichtigsten theoretischen Vorteile der Lebesgue-Integration gegenüber der Riemann-Integration.

Zusätzlich zu seinem häufigen Auftreten in der mathematischen Analyse und in partiellen Differentialgleichungen, es wird häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet, da es eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von Erwartungswerten von Zufallsvariablen gibt.

Inhalt 1 Aussage 2 Nachweisen 3 Diskussion der Annahmen 4 Satz der beschränkten Konvergenz 4.1 Nachweisen 5 Dominierte Konvergenz in Lp-Räumen (logische Folge) 6 Erweiterungen 7 Siehe auch 8 Anmerkungen 9 References Statement Lebesgue's dominated convergence theorem.[1] Lassen {Anzeigestil (f_{n})} eine Folge komplexwertiger messbarer Funktionen auf einem Maßraum sein {Anzeigestil (S,Sigma ,in )} . Angenommen, die Folge konvergiert punktweise gegen eine Funktion {Anzeigestil f} und wird von einer integrierbaren Funktion dominiert {Anzeigestil g} in dem Sinne, dass {Anzeigestil |f_{n}(x)|leq g(x)} für alle Zahlen n in der Indexmenge der Folge und alle Punkte {Anzeigestil xin S} . Dann ist f integrierbar (im Sinne von Lebesgue) und {Anzeigestil lim _{nto infty }int _{S}|f_{n}-f|,dmu = 0} was auch impliziert {Anzeigestil lim _{nto infty }int _{S}f_{n},Blut = du _{S}f,dmu } Anmerkung 1. Die Aussage "g ist integrierbar" bedeutet, dass messbare Funktion {Anzeigestil g} ist Lebesgue-integrierbar; d.h.

{Anzeigestil int _{S}|g|,dmu n} , und überall sonst null. Die Serie (fn) konvergiert punktweise zu 0, also ist f identisch null, aber {Anzeigestil |f_{n}-f|=f_{n}} ist nicht Riemann-integrierbar, da sein Bild in jedem endlichen Intervall ist {Anzeigestil {0,1}} und damit sind das obere und das untere Darboux-Integral 1 und 0, beziehungsweise.

Proof Without loss of generality, man kann davon ausgehen, dass f reell ist, weil man f in Real- und Imaginärteil zerlegen kann (Denken Sie daran, dass eine Folge komplexer Zahlen genau dann konvergiert, wenn sowohl ihre realen als auch ihre imaginären Gegenstücke konvergieren) und wende am Ende die Dreiecksungleichung an.

Lebesgues Satz über die dominierte Konvergenz ist ein Sonderfall des Satzes von Fatou-Lebesgue. Unter, jedoch, ist ein direkter Beweis, der das Lemma von Fatou als wesentliches Werkzeug verwendet.

Da f der punktweise Grenzwert der Folge ist (fn) von messbaren Funktionen, die von g dominiert werden, es ist auch messbar und wird von g dominiert, daher ist es integrierbar. Außerdem, (diese werden später benötigt), {Anzeigestil |f-f_{n}|leq |f|+|f_{n}|leq 2g} für alle n und {displaystyle limsup _{nto infty }|f-f_{n}|=0.} Das zweite davon ist trivialerweise wahr (nach der Definition von f). Verwendung von Linearität und Monotonie des Lebesgue-Integrals, {Anzeigestil links|int _{S}{f,dmu }-int _{S}{f_{n},dmu }Rechts|=links|int _{S}{(f-f_{n}),dmu }Rechts|leq int _{S}{|f-f_{n}|,dmu }.} Durch das umgekehrte Fatou-Lemma (hier verwenden wir die Tatsache, dass |f-fn| nach oben durch eine integrierbare Funktion begrenzt ist) {displaystyle limsup _{nto infty }int _{S}|f-f_{n}|,dmu leq int _{S}limsup _{nto infty }|f-f_{n}|,dmu = 0,} was impliziert, dass die Grenze existiert und verschwindet, d.h.

{Anzeigestil lim _{nto infty }int _{S}|f-f_{n}|,dmu = 0.} Endlich, seit {Anzeigestil lim _{nto infty }links|int _{S}fdmu - du _{S}f_{n}dmu stimmt|leq lim _{nto infty }int _{S}|f-f_{n}|,dmu = 0.} wir haben das {Anzeigestil lim _{nto infty }int _{S}f_{n},Blut = du _{S}f,dmu .} Nun folgt der Satz.

Wenn die Annahmen nur μ-fast überall gelten, then there exists a μ-null set N ∈ Σ such that the functions fn 1S  N satisfy the assumptions everywhere on S. Dann die Funktion f(x) definiert als punktweise Grenze von fn(x) für x ∈ S  N und durch f(x) = 0 für x ∈ N, ist messbar und ist der punktweise Grenzwert dieser modifizierten Funktionsfolge. The values of these integrals are not influenced by these changes to the integrands on this μ-null set N, der Satz gilt also weiterhin.

DCT gilt auch dann, wenn fn im Maß gegen f konvergiert (endliches Maß) und die dominierende Funktion ist fast überall nichtnegativ.

Discussion of the assumptions The assumption that the sequence is dominated by some integrable g cannot be dispensed with. Dies kann wie folgt gesehen werden: definiere fn(x) = n für x im Intervall (0, 1/n] und Fn(x) = 0 Andernfalls. Jedes g, das die Folge dominiert, muss auch das punktweise Supremum h = supn fn dominieren. Beachten Sie das {Anzeigestil int _{0}^{1}h(x),mögen Sie _{frac {1}{m}}^{1}{h(x),dx}= Summe _{n=1}^{m-1}int _{links({frac {1}{n+1}},{frac {1}{n}}Rechts]}{h(x),dx}geq Summe _{n=1}^{m-1}int _{links({frac {1}{n+1}},{frac {1}{n}}Rechts]}{n,dx}= Summe _{n=1}^{m-1}{frac {1}{n+1}}bis infty qquad {Text{wie }}Fluss unendlich } durch die Divergenz der harmonischen Reihe. Somit, Die Monotonie des Lebesgue-Integrals sagt uns, dass es keine integrierbare Funktion gibt, die die Folge dominiert [0,1]. Eine direkte Rechnung zeigt, dass Integration und punktweise Grenze für diese Folge nicht kommutieren: {Anzeigestil int _{0}^{1}lim _{nto infty }f_{n}(x),dx=0neq 1=lim _{nto infty }int _{0}^{1}f_{n}(x),dx,} weil der punktweise Grenzwert der Folge die Nullfunktion ist. Beachten Sie, dass die Reihenfolge (fn) ist nicht einmal gleichmäßig integrierbar, daher ist auch der Konvergenzsatz von Vitali nicht anwendbar.

Bounded convergence theorem One corollary to the dominated convergence theorem is the bounded convergence theorem, was besagt, dass wenn (fn) ist eine Folge gleichmäßig begrenzter komplexwertiger messbarer Funktionen, die punktweise auf einem begrenzten Maßraum konvergiert (S, S, m) (d.h. eine, in der μ(S) ist endlich) zu einer Funktion f, dann ist der Grenzwert f eine integrierbare Funktion und {Anzeigestil lim _{nto infty }int _{S}{f_{n},dmu }=int _{S}{f,dmu }.} Anmerkung: Die punktweise Konvergenz und gleichmäßige Beschränktheit der Folge kann gelockert werden, um nur μ-fast überall zu halten, den Maßraum zur Verfügung gestellt (S, S, m) vollständig ist oder f als messbare Funktion gewählt wird, die μ-fast überall mit dem μ-fast überall vorhandenen punktweisen Grenzwert übereinstimmt.

Proof Since the sequence is uniformly bounded, es gibt eine reelle Zahl M so dass |fn(x)| ≤ M für alle x ∈ S und für alle n. Definiere g(x) = M für alle x ∈ S. Dann wird die Folge von g dominiert. Außerdem, g ist integrierbar, da es eine konstante Funktion auf einer Menge endlicher Maße ist. Deswegen, das Ergebnis folgt aus dem Satz über die dominierte Konvergenz.

Wenn die Annahmen nur μ-fast überall gelten, then there exists a μ-null set N ∈ Σ such that the functions fn1SN satisfy the assumptions everywhere on S.

Dominierte Konvergenz in Lp-Räumen (logische Folge) Lassen {Anzeigestil (Omega ,{mathematisch {EIN}},in )} ein Maßraum sein, {Anzeigestil 1leq p

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