Descontinuidades de funções monótonas

Descontinuidades de funções monótonas (Redirected from Froda's theorem) Jump to navigation Jump to search In the mathematical field of analysis, a well-known theorem describes the set of discontinuities of a monotone real-valued function of a real variable; all discontinuities of such a (monotone) function are necessarily jump discontinuities and there are at most countably many of them.

Usualmente, this theorem appears in literature without a name. It is called Froda's theorem in some recent works; in his 1929 dissertation, Alexandru Froda stated that the result was previously well-known and had provided his own elementary proof for the sake of convenience.[1] Prior work on discontinuities had already been discussed in the 1875 memoir of the French mathematician Jean Gaston Darboux.[2] Conteúdo 1 Definições 2 Precise statement 3 Provas 3.1 Proof when the domain is closed and bounded 3.1.1 Prova 1 3.1.2 Prova 2 3.2 Proof of general case 4 Jump functions 5 Veja também 6 Notas 7 Referências 8 Bibliography Definitions Denote the limit from the left by {estilo de exibição esquerdo(x^{-}certo):=lim_{znearrow x}f(z)=lim_{pilha {hto 0}{h>0}}f(x-h)} and denote the limit from the right by {estilo de exibição esquerdo(x^{+}certo):=lim_{zsearrow x}f(z)=lim_{pilha {hto 0}{h>0}}f(x+h).} Se {estilo de exibição esquerdo(x^{+}certo)} e {estilo de exibição esquerdo(x^{-}certo)} exist and are finite then the difference {estilo de exibição esquerdo(x^{+}certo)-abandonou(x^{-}certo)} is called the jump[3] do {estilo de exibição f} no {displaystyle x.} Consider a real-valued function {estilo de exibição f} of real variable {estilo de exibição x} defined in a neighborhood of a point {displaystyle x.} Se {estilo de exibição f} is discontinuous at the point {estilo de exibição x} then the discontinuity will be a removable discontinuity, or an essential discontinuity, or a jump discontinuity (also called a discontinuity of the first kind).[4] If the function is continuous at {estilo de exibição x} then the jump at {estilo de exibição x} é zero. Além disso, E se {estilo de exibição f} is not continuous at {estilo de exibição x,} the jump can be zero at {estilo de exibição x} E se {estilo de exibição esquerdo(x^{+}certo)=fleft(x^{-}certo)neq f(x).} Precise statement Let {estilo de exibição f} be a real-valued monotone function defined on an interval {displaystyle I.} Then the set of discontinuities of the first kind is at most countable.

One can prove[5][3] that all points of discontinuity of a monotone real-valued function defined on an interval are jump discontinuities and hence, by our definition, do primeiro tipo. With this remark the theorem takes the stronger form: Deixar {estilo de exibição f} be a monotone function defined on an interval {displaystyle I.} Then the set of discontinuities is at most countable.

Proofs This proof starts by proving the special case where the function's domain is a closed and bounded interval {estilo de exibição [uma,b].} [6][7] The proof of the general case follows from this special case.

Proof when the domain is closed and bounded Two proofs of this special case are given.

Prova 1 Deixar {estilo de exibição I:=[uma,b]} be an interval and let {estilo de exibição f:Ito mathbb {R} } be a non-decreasing function (such as an increasing function). Then for any {estilo de exibição a0} e deixar {estilo de exibição x_{1}while if {displaystyle fsearrow } then pick {estilo de exibição y_{d}em matemática {Q} } de modo a {estilo de exibição esquerdo(d^{-}certo)>y_{d}>fleft(d^{+}certo)} detém).

It will now be shown that if {estilo de exibição d,ein D} são distintos, say with {estilo de exibição dabandonou(d^{+}certo)geq fleft(e^{-}certo)>y_{e}.} De qualquer jeito, {estilo de exibição y_{d}neq y_{e}.} Thus every {displaystyle din D} is associated with a unique rational number (said differently, the map {displaystyle Dto mathbb {Q} } definido por {displaystyle dmapsto y_{d}} é injetivo). Desde {estilo de exibição mathbb {Q} } is countable, the same must be true of {displaystyle D.} {displaystyle blacksquare } Proof of general case Suppose that the domain of {estilo de exibição f} (a monotone real-valued function) is equal to a union of countably many closed and bounded intervals; say its domain is {displaystyle bigcup _{n}deixei[uma_{n},b_{n}certo]} (no requirements are placed on these closed and bounded intervals[uma]). It follows from the special case proved above that for every index {estilo de exibição m,} the restriction {estilo de exibição f{big vert }_{deixei[uma_{n},b_{n}certo]}:deixei[uma_{n},b_{n}certo]para mathbb {R} } do {estilo de exibição f} to the interval {estilo de exibição à esquerda[uma_{n},b_{n}certo]} has at most countably many discontinuities; denote this (countable) set of discontinuities by {displaystyle D_{n}.} Se {estilo de exibição f} has a discontinuity at a point {estilo de exibição x_{0}in bigcup _{n}deixei[uma_{n},b_{n}certo]} in its domain then either {estilo de exibição x_{0}} is equal to an endpoint of one of these intervals (isso é, {estilo de exibição x_{0}in left{uma_{1},b_{1},uma_{2},b_{2},ldots right}} ) or else there exists some index {estilo de exibição m} de tal modo que {estilo de exibição a_{n}must be a point of discontinuity for {estilo de exibição f{big vert }_{deixei[uma_{n},b_{n}certo]}} (isso é, {estilo de exibição x_{0}in D_{n}} ). Thus the set {estilo de exibição D} of all points of at which {estilo de exibição f} is discontinuous is a subset of {estilo de exibição à esquerda{uma_{1},b_{1},uma_{2},b_{2},ldots right}cup bigcup _{n}D_{n},} which is a countable set (because it is a union of countably many countable sets) so that its subset {estilo de exibição D} must also be countable (because every subset of a countable set is countable). Em particular, because every interval (including open intervals and half open/closed intervals) of real numbers can be written as a countable union of closed and bounded intervals, it follows that any monotone real-valued function defined on an interval has at most countable many discontinuities. To make this argument more concrete, suppose that the domain of {estilo de exibição f} is an interval {estilo de exibição I} that is not closed and bounded (and hence by Heine–Borel theorem not compact). Then the interval can be written as a countable union of closed and bounded intervals {estilo de exibição I_{n}} with the property that any two consecutive intervals have an endpoint in common: {displaystyle I=cup _{n=1}^{infty }EU_{n}.} Se {estilo de exibição I=(uma,b]{texto{ com }}ageq -infty } então {estilo de exibição I_{1}= esquerda[alfa _{1},bright], EU_{2}= esquerda[alfa _{2},alfa _{1}certo],ldots ,EU_{n}= esquerda[alfa _{n},alfa _{n-1}certo],ldots } Onde {estilo de exibição à esquerda(alfa _{n}certo)_{n=1}^{infty }} is a strictly decreasing sequence such that {alfa de estilo de exibição _{n}rightarrow a.} In a similar way if {estilo de exibição I=[uma,b),{texto{ com }}bleq +infty } or if {estilo de exibição I=(uma,b){texto{ com }}-infty leq a 0 for each n. Definir {estilo de exibição f_{n}(x)=0,,} por {estilo de exibição ,,xx_{n}.} Then the jump function, or saltus-function, definido por {estilo de exibição f(x)=,,soma _{n=1}^{infty }f_{n}(x)=,,soma _{x_{n}leq x}lambda _{n}+soma _{x_{n}

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