Discontinuità di funzioni monotone

Discontinuità di funzioni monotone (Redirected from Froda's theorem) Jump to navigation Jump to search In the mathematical field of analysis, a well-known theorem describes the set of discontinuities of a monotone real-valued function of a real variable; all discontinuities of such a (monotone) function are necessarily jump discontinuities and there are at most countably many of them.

Di solito, this theorem appears in literature without a name. It is called Froda's theorem in some recent works; in his 1929 dissertation, Alexandru Froda stated that the result was previously well-known and had provided his own elementary proof for the sake of convenience.[1] Prior work on discontinuities had already been discussed in the 1875 memoir of the French mathematician Jean Gaston Darboux.[2] Contenuti 1 Definizioni 2 Affermazione precisa 3 Prove 3.1 Proof when the domain is closed and bounded 3.1.1 Prova 1 3.1.2 Prova 2 3.2 Proof of general case 4 Jump functions 5 Guarda anche 6 Appunti 7 Riferimenti 8 Bibliography Definitions Denote the limit from the left by {stile di visualizzazione deviato(x^{-}Giusto):=lim _{znearrow x}f(z)=lim _{pila {hto 0}{h>0}}f(x-h)} and denote the limit from the right by {stile di visualizzazione deviato(x^{+}Giusto):=lim _{zsearrow x}f(z)=lim _{pila {hto 0}{h>0}}f(x+h).} Se {stile di visualizzazione deviato(x^{+}Giusto)} e {stile di visualizzazione deviato(x^{-}Giusto)} exist and are finite then the difference {stile di visualizzazione deviato(x^{+}Giusto)-deviato(x^{-}Giusto)} is called the jump[3] di {stile di visualizzazione f} a {displaystyle x.} Consider a real-valued function {stile di visualizzazione f} of real variable {stile di visualizzazione x} defined in a neighborhood of a point {displaystyle x.} Se {stile di visualizzazione f} is discontinuous at the point {stile di visualizzazione x} then the discontinuity will be a removable discontinuity, or an essential discontinuity, or a jump discontinuity (also called a discontinuity of the first kind).[4] If the function is continuous at {stile di visualizzazione x} then the jump at {stile di visualizzazione x} è zero. Inoltre, Se {stile di visualizzazione f} is not continuous at {stile di visualizzazione x,} the jump can be zero at {stile di visualizzazione x} Se {stile di visualizzazione deviato(x^{+}Giusto)= lasciato(x^{-}Giusto)neq f(X).} Precise statement Let {stile di visualizzazione f} be a real-valued monotone function defined on an interval {displaystyle I.} Then the set of discontinuities of the first kind is at most countable.

One can prove[5][3] that all points of discontinuity of a monotone real-valued function defined on an interval are jump discontinuities and hence, by our definition, del primo tipo. With this remark the theorem takes the stronger form: Permettere {stile di visualizzazione f} be a monotone function defined on an interval {displaystyle I.} Then the set of discontinuities is at most countable.

Proofs This proof starts by proving the special case where the function's domain is a closed and bounded interval {stile di visualizzazione [un,b].} [6][7] The proof of the general case follows from this special case.

Proof when the domain is closed and bounded Two proofs of this special case are given.

Prova 1 Permettere {stile di visualizzazione I:=[un,b]} be an interval and let {stile di visualizzazione f:Questo mathbb {R} } be a non-decreasing function (such as an increasing function). Then for any {stile di visualizzazione a0} e lascia {stile di visualizzazione x_{1}while if {displaystyle fsearrow } then pick {stile di visualizzazione y_{d}in matematica bb {Q} } affinché {stile di visualizzazione deviato(d^{-}Giusto)>y_{d}>fleft(d^{+}Giusto)} tiene).

It will now be shown that if {stile di visualizzazione d,ein D} sono distinti, say with {stile di visualizzazione ddeviato(d^{+}Giusto)geq fleft(e^{-}Giusto)>y_{e}.} In entrambi i casi, {stile di visualizzazione y_{d}neq y_{e}.} Thus every {displaystyle din D} is associated with a unique rational number (said differently, the map {displaystyle Dto mathbb {Q} } definito da {displaystyle dmapsto y_{d}} è iniettivo). Da {displaystyle mathbb {Q} } is countable, the same must be true of {displaystyle D.} {stile di visualizzazione quadrato nero } Proof of general case Suppose that the domain of {stile di visualizzazione f} (a monotone real-valued function) is equal to a union of countably many closed and bounded intervals; say its domain is {displaystyle tazza grande _{n}sinistra[un_{n},b_{n}Giusto]} (no requirements are placed on these closed and bounded intervals[un]). It follows from the special case proved above that for every index {stile di visualizzazione n,} the restriction {stile di visualizzazione f{big vert }_{sinistra[un_{n},b_{n}Giusto]}:sinistra[un_{n},b_{n}Giusto]a matematicabb {R} } di {stile di visualizzazione f} to the interval {stile di visualizzazione a sinistra[un_{n},b_{n}Giusto]} has at most countably many discontinuities; denote this (countable) set of discontinuities by {stile di visualizzazione D_{n}.} Se {stile di visualizzazione f} has a discontinuity at a point {stile di visualizzazione x_{0}in bigcup _{n}sinistra[un_{n},b_{n}Giusto]} in its domain then either {stile di visualizzazione x_{0}} is equal to an endpoint of one of these intervals (questo è, {stile di visualizzazione x_{0}in left{un_{1},b_{1},un_{2},b_{2},ldots right}} ) or else there exists some index {stile di visualizzazione n} tale che {stile di visualizzazione a_{n}must be a point of discontinuity for {stile di visualizzazione f{big vert }_{sinistra[un_{n},b_{n}Giusto]}} (questo è, {stile di visualizzazione x_{0}in D_{n}} ). Thus the set {stile di visualizzazione D} of all points of at which {stile di visualizzazione f} is discontinuous is a subset of {stile di visualizzazione a sinistra{un_{1},b_{1},un_{2},b_{2},ldots right}cup bigcup _{n}D_{n},} which is a countable set (because it is a union of countably many countable sets) so that its subset {stile di visualizzazione D} must also be countable (because every subset of a countable set is countable). In particolare, because every interval (including open intervals and half open/closed intervals) of real numbers can be written as a countable union of closed and bounded intervals, it follows that any monotone real-valued function defined on an interval has at most countable many discontinuities. To make this argument more concrete, suppose that the domain of {stile di visualizzazione f} is an interval {stile di visualizzazione I} that is not closed and bounded (and hence by Heine–Borel theorem not compact). Then the interval can be written as a countable union of closed and bounded intervals {stile di visualizzazione I_{n}} with the property that any two consecutive intervals have an endpoint in common: {displaystyle I=cup _{n=1}^{infty }IO_{n}.} Se {stile di visualizzazione I=(un,b]{testo{ insieme a }}ageq -infty } poi {stile di visualizzazione I_{1}= sinistra[alfa _{1},bright], IO_{2}= sinistra[alfa _{2},alfa _{1}Giusto],ldot ,IO_{n}= sinistra[alfa _{n},alfa _{n-1}Giusto],ldot } dove {stile di visualizzazione a sinistra(alfa _{n}Giusto)_{n=1}^{infty }} is a strictly decreasing sequence such that {displaystyle alfa _{n}rightarrow a.} In a similar way if {stile di visualizzazione I=[un,b),{testo{ insieme a }}bleq +infty } or if {stile di visualizzazione I=(un,b){testo{ insieme a }}-infty leq a 0 for each n. Definire {stile di visualizzazione f_{n}(X)=0,,} per {stile di visualizzazione ,,XX_{n}.} Then the jump function, or saltus-function, definito da {stile di visualizzazione f(X)=,,somma _{n=1}^{infty }f_{n}(X)=,,somma _{X_{n}leq x}lambda _{n}+somma _{X_{n}

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